新人教版九上数学22.3实际问题与二次函数——拱桥问题
一．选择题（共10小题）
1．（2015?石家庄校级模拟）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，当水面下降1m时，水面的宽度为（ ）
A．3 B．2 C．3 D．2
2．（2016?当涂县三模）如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y=﹣x2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）
A．6m B．12m C．8m D．10m
3．（2016?微山县一模）赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣，当水面离桥拱顶的高度DO是2m时，这时水面宽度AB为（ ）
A．﹣10m B．﹣5m C．5m D．10m
4．（2015?金华）图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（ ）
A．16米 B．米 C．16米 D．米
5．（2015?路南区二模）设计师以y=2x2﹣4x+8的图形为灵感设计杯子如图所示，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE=（ ）
A．17 B．11 C．8 D．7
6．（2015春?沂源县期末）竖直向上发射的小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为h=at2+bt，其图象如图所示．若小球在发射后第2s与第6s时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是第（ ）
A．3s B．3.5s C．4s D．6.5s
7．（2015秋?麒麟区校级月考）如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是（ ）
A．2m B．3m C．4m D．5m
8．（2015秋?武汉校级月考）在某次投篮中，球从出手到投中篮圈中心的运动路径是抛物线y=﹣x2+3.5的一部分（如图），则他与篮底的水平距离l（如图）是（ ）
A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m
9．（2015秋?重庆校级月考）如图为一座抛物线型的拱桥，AB、CD分别表示两个不同位置的水面宽度，O为拱桥顶部，水面AB宽为10米，AB距桥顶O的高度为12.5米，水面上升2.5米到达警戒水位CD位置时，水面宽为（ ）米．
A．5 B．2 C．4 D．8
10．（2015秋?蒙城县校级月考）如图，庄子大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx，小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需（ ）
A．18秒 B．36秒 C．38秒 D．46秒
新人教版九上数学22.3实际问题与二次函数——拱桥问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2015?石家庄校级模拟）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，当水面下降1m时，水面的宽度为（ ）
A．3 B．2 C．3 D．2
【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
设顶点式y=ax2+2，代入A点坐标（﹣2，0），
得出：a=﹣0.5，
所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，
当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：
﹣1=﹣0.5x2+2，
解得：x=±，
所以水面宽度增加到2米，
故选：B．
2．（2016?当涂县三模）如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y=﹣x2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）
A．6m B．12m C．8m D．10m
【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】依题意，该二次函数与x轴的交点的x值为所求．即在抛物线解析式中．令y=0，求x的正数值．
【解答】解：把y=0代入y=﹣x2+x+得：
﹣x2+x+=0，
解之得：x1=10，x2=﹣2．
又x＞0，解得x=10．
故选D．
3．（2016?微山县一模）赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣，当水面离桥拱顶的高度DO是2m时，这时水面宽度AB为（ ）
A．﹣10m B．﹣5m C．5m D．10m
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【分析】根据题意，把y=﹣2直接代入解析式即可解答．
【解答】解：根据题意，当y=﹣2时，有﹣2=﹣，
解得：x=±5，
∴A（﹣5，﹣2），B（5，﹣2），
∴所有水面宽度AB=2×5=10m．
故选：D．
4．（2015?金华）图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（ ）
A．16米 B．米 C．16米 D．米
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【分析】先确定C点的横坐标，然后根据抛物线上点的坐标特征求出C点的纵坐标，从而可得到AC的长．
【解答】解：∵AC⊥x轴，OA=10米，
∴点C的横坐标为﹣10，
当x=﹣10时，y=﹣（x﹣80）2+16=﹣（﹣10﹣80）2+16=﹣，
∴C（﹣10，﹣），
∴桥面离水面的高度AC为m．
故选B．
5．（2015?路南区二模）设计师以y=2x2﹣4x+8的图形为灵感设计杯子如图所示，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE=（ ）
A．17 B．11 C．8 D．7
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【分析】首先由y=2x2﹣4x+8求出D点的坐标为（1，6），然后根据AB=4，可知B点的横坐标为x=3，代入y=2x2﹣4x+8，得到y=14，所以CD=14﹣6=8，又DE=3，所以可知杯子高度．
【解答】解：∵y=2x2﹣4x+8=2（x﹣1）2+6，
∴抛物线顶点D的坐标为（1，6），
∵AB=4，
∴B点的横坐标为x=3，
把x=3代入y=2x2﹣4x+8，得到y=14，
∴CD=14﹣6=8，
∴CE=CD+DE=8+3=11．
故选：B．
6．（2015春?沂源县期末）竖直向上发射的小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为h=at2+bt，其图象如图所示．若小球在发射后第2s与第6s时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是第（ ）
A．3s B．3.5s C．4s D．6.5s
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【分析】根据题中已知条件求出函数h=at2+bt的对称轴t=4，四个选项中的时间越接近4小球就越高．
【解答】解：由题意可知：h（2）=h（6），则函数h=at2+bt的对称轴t==4，
故在t=4s时，小球的高度最高，
故选：C．
7．（2015秋?麒麟区校级月考）如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是（ ）
A．2m B．3m C．4m D．5m
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【分析】由题意可以知道M（1，），A（0，10）用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y=0时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值．
【解答】解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+，由题意，得
10=a+，
a=﹣．
∴抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣1）2+．
当y=0时，
0=﹣（x﹣1）2+，
解得：x1=﹣1（舍去），x2=3．
OB=3m．
故选：B．
8．（2015秋?武汉校级月考）在某次投篮中，球从出手到投中篮圈中心的运动路径是抛物线y=﹣x2+3.5的一部分（如图），则他与篮底的水平距离l（如图）是（ ）
A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m
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【分析】当y=3.05时，求出对应的横坐标，与2.5m相加即可．
【解答】解：把y=3.05代入y=﹣x2+3.5中得：
x1=1.5，x2=﹣1.5（舍去），
∴L=2.5+1.5=4米，
故选：B．
9．（2015秋?重庆校级月考）如图为一座抛物线型的拱桥，AB、CD分别表示两个不同位置的水面宽度，O为拱桥顶部，水面AB宽为10米，AB距桥顶O的高度为12.5米，水面上升2.5米到达警戒水位CD位置时，水面宽为（ ）米．
A．5 B．2 C．4 D．8
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【分析】设出抛物线的解析式，由图中点在抛物线上，用待定系数法求出抛物线解析式，根据水位上升2.5m，设出D点的坐标，解出横坐标x，从而求出水面宽度．
【解答】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，
∵水面AB宽为10米，AB距桥顶O的高度为12.5米，
∴B（5，﹣12.5），
设抛物线的解析式为：y=ax2，
把B（5，﹣12.5）代入y=ax2得﹣12.5=25a，
∴a=﹣，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2，
∵水面上升2.5米到达警戒水位CD位置，
∴设D（m，﹣10），代入y=﹣x2得：﹣10=﹣x2，
∴x=±2，
∴CD=4，
∴水面宽为4米．
故选C．
10．（2015秋?蒙城县校级月考）如图，庄子大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx，小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需（ ）
A．18秒 B．36秒 C．38秒 D．46秒
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【分析】10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则A，B一定是关于对称轴对称的点，据此即可确定对称轴，则O到对称轴的时间可以求得，进而即可求得OC之间的时间．
【解答】解：如图所示：
设在10秒时到达A点，在26秒时到达B，
∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同，
∴A，B关于对称轴对称．则从A到B需要16秒，则从A到D需要8秒．
∴从O到D需要10+8=18秒．
∴从O到C需要2×18=36秒．
故选：B．
课件9张PPT。22.3 实际问题与二次函数授课:乐乐老师人教版《数学》 九年级上册[慕联教育同步课程]
课程编号：TS1609010202R9122030301LL
慕课联盟课程开发中心：www.moocun.com拱桥问题学习目标能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，正确建立坐标系，并运用二次函数的图象、性质解决实际问题．拱桥问题探究3 图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m时，水面宽4m. 水面下降1m，水面宽度增加多少？分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数.为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系(如图).拱桥问题解：设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.由抛物线经过点（2，-2），可得这条抛物线表示的二次函数为当水面下降1m时，水面的纵坐标为-3.此时水面的宽度为∴水面下降1m，水面宽度增加拱桥问题探究3 图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m时，水面宽4m. 水面下降1m，水面宽度增加多少？练一练 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．
（1）如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数解析式；
（2）设正常水位时桥下的水深为 2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 18m．求水深超过多少 m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行．解:设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.由抛物线经过点（10，-4），可得这条抛物线表示的函数解析式为练一练OAByx20 mh当x=9时，得此时水面上升水深为所以水深超过2.76m时就会影响过往船只在桥下的顺利航行. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．
（1）如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数解析式；
（2）设正常水位时桥下的水深为 2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 18m．求水深超过多少 m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行．知识小结拱桥问题慕联提示亲爱的同学，课后请做一个习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见！
下节课我们不见不散！
