新人教版九上数学24.1.2垂直于弦的直径
一．选择题（共10小题）
1．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（ ）
A．3 B．2.5 C．4 D．3.5
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（ ）
A．cm B．3cm C．3cm D．6cm
3．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣1，0） D．（﹣1，﹣1）
4．已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD=6，AE=1，则⊙O的直径为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，则圆上到弦AB所在的直线距离为2的点有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．0
6．如图，在⊙O中，弦AB⊥AC，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若AB=8cm，AC=6cm，则⊙O的半径OA的长为（ ）
A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm
7．如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为H，CD=2，BD=，则AB的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接BC，BD，AC，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．∠ACB=90° B．DE=CE C．OE=BE D．∠ACE=∠ABC
9．如图，在等边△ABC中，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN=1，那么BC的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm，水深GF=2cm，若水面上升2cm（即EG=2cm），则此时水面宽AB为（ ）
A．8cm B．16cm C．8cm D．16cm
新人教版九上数学24.1.2垂直于弦的直径
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2016?牡丹江）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（ ）
A．3 B．2.5 C．4 D．3.5
【考点】垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有
【分析】连接OA，根据垂径定理得到AP=AB，利用勾股定理得到答案．
【解答】解：连接OA，
∵AB⊥OP，
∴AP==3，∠APO=90°，又OA=5，
∴OP===4，
故选C．
2．（2016?黔南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（ ）
A．cm B．3cm C．3cm D．6cm
【考点】垂径定理．菁优网版权所有
【分析】根据垂径定理知圆心O到弦CD的距离为OE；由圆周角定理知∠COB=2∠CDB=60°，已知半径OC的长，即可在Rt△OCE中求OE的长度．
【解答】解：连接CB．
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴圆心O到弦CD的距离为OE；
∵∠COB=2∠CDB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∠CDB=30°，
∴∠COB=60°；
在Rt△OCE中，
OC=5cm，OE=OC?cos∠COB，
∴OE=cm．
故选A．
3．（2016?汕头校级自主招生）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣1，0） D．（﹣1，﹣1）
【考点】垂径定理；坐标与图形性质．菁优网版权所有
【分析】根据图形作线段AB和BC的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出 即可．
【解答】解：如图线段AB的垂直平分线EQ和线段CD的垂直平分线NF的交点M，即为弧的圆
即圆心的坐标是（﹣1，1），
故选B．
4．（2016?延庆县一模）已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD=6，AE=1，则⊙O的直径为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有
【分析】连接OC，根据题意OE=OC﹣1，CE=3，结合勾股定理，可求出OC的长度，即可求出直径的长度．
【解答】解：连接OC，
∵弦CD⊥AB于E，CD=6，AE=1，
∴OE=OC﹣1，CE=3，
∴OC2=（OC﹣1）2+32，
∴OC=5，
∴AB=10．
故选C．
5．（2016?龙岩模拟）如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，则圆上到弦AB所在的直线距离为2的点有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．0
【考点】垂径定理．菁优网版权所有
【分析】作圆的直径CE⊥AB于点D，连接OA，根据勾股定理求出OE的长，求得C、E到弦AB所在的直线距离，与2比较大小，即可判断．
【解答】解：作圆的直径CE⊥AB于点D，连接OA，
∵AB=8，
∴AD=4．
∵OA=5，
∴OD==3，
∴CD=OC﹣3=5﹣3=2，即C到弦AB所在的直线距离为2，
∴在劣弧AB上，到弦AB所在的直线距离为2的点只有CD；
∵DE=5+3=8＞2，
∴在优弧AEB上到弦AB所在的直线距离为2的点有2个，即圆上到弦AB所在的直线距离为2的点有3个．
故选C．
6．（2016?曲靖一模）如图，在⊙O中，弦AB⊥AC，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若AB=8cm，AC=6cm，则⊙O的半径OA的长为（ ）
A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm
【考点】垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有
【分析】根据垂径定理求得OD，AD的长，并且在直角△AOD中运用勾股定理即可求解．
【解答】解：∵弦AB⊥AC，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，
∴四边形OEAD是矩形，AD=AB=4cm，AE=AC=3cm，
∴OD=AE=3cm，
∴OA===5（cm）；
故选：C．
7．（2016?红桥区二模）如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为H，CD=2，BD=，则AB的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有
【分析】连接OD，利用吹径定理求得HD的长，在直角△BDH中，利用勾股定理求得BH的长，然后设半径是r，在直角△OHD中利用勾股定理列方程求得半径，则直径即可求得．
【解答】解：连接OD．
∵CD⊥AB，
∴DH=CD=×2=．
∴在直角△BDH中，BH==1，
则OH=OB﹣BH=r﹣1，
在△ODH中，OD2=HD2+OH2，
则r2=（）2+（r﹣1）2，
解得：r=，
则AB=3．
故选B．
8．（2016?厦门校级模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接BC，BD，AC，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．∠ACB=90° B．DE=CE C．OE=BE D．∠ACE=∠ABC
【考点】垂径定理．菁优网版权所有
【分析】利用圆周角定理对A进行判断；根据垂径定理对B、C进行判断；根据垂径定理可圆周角定理对D进行判断．
【解答】解：A、由于AB为直径，则∠ACB=90°，所以A选项的结论正确；
B、由于弦CD⊥直径AB，则DE=CE，所以B选项的结论正确；
C、由于弦CD⊥直径AB，则DE=CE，而OE≠BE，所以C选项的结论不确；
D、由于弦CD⊥直径AB，则=，所以∠ACE=∠ABC，所以D选项的结论正确．
故选C．
9．（2016?屏东县校级模拟）如图，在等边△ABC中，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN=1，那么BC的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】垂径定理；等边三角形的性质；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【分析】先根据垂径定理得出M、N分别是AB与AC的中点，故MN是△ABC的中位线，由三角形的中位线定理即可得出结论．
【解答】解：∵OM⊥AB，ON⊥AC垂足分别为M、N，
∴M、N分别是AB与AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴BC=2MN=2，
故选：B．
10．（2016?新泰市二模）如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm，水深GF=2cm，若水面上升2cm（即EG=2cm），则此时水面宽AB为（ ）
A．8cm B．16cm C．8cm D．16cm
【考点】垂径定理的应用．菁优网版权所有
【分析】连接OA、OC．设⊙O的半径是R，则OG=R﹣2，OE=R﹣4．根据垂径定理，得CG=10．在直角三角形OCG中，根据勾股定理求得R的值，再进一步在直角三角形OAE中，根据勾股定理求得AE的长，从而再根据垂径定理即可求得AB的长．
【解答】解：如图所示，连接OA、OC．
设⊙O的半径是R，则OG=R﹣2，OE=R﹣4．
∵OF⊥CD，
∴CG=CD=10cm．
在直角三角形COG中，根据勾股定理，得
R2=102+（R﹣2）2，
解，得R=26．
在直角三角形AOE中，根据勾股定理，得
AE==8cm．
根据垂径定理，得AB=16（cm），
故选B．
课件10张PPT。24.1.2 垂直于弦的直径授课:乐乐老师人教版《数学》 九年级上册[慕联教育同步课程]
课程编号：TS1610010202R9124010201LL
慕课联盟课程开发中心：www.moocun.com学习目标1.理解圆的轴对称性；2.掌握垂径定理及其推论，会运用垂径定理及其推论解决有关的证明、计算和作图问题．圆的轴对称性探究 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.圆的轴对称性的证明分析：要证明圆的轴对称性，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上. 如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点，过点A作AA'⊥CD，交⊙O于点A'，垂足为M，连接OA，OA'.在△OAA'中，∵OA=OA'，∴△OAA'是等腰三角形.又AA'⊥CD，∴AM=MA'. 即CD是AA'的垂直平分线.这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A'，因此⊙O关于直线CD对称.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.垂径定理及其推论如果⊙O的直径CD垂直于弦AA'，垂足为M，那么点A和点A'是对称点.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.A'垂径定理及其推论例2 赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）是 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）．ABCD垂径定理及其推论由题设可知AB=37，CD=7.23，所以在Rt△OAD中，由勾股定理，得即解得因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m. 在圆中，解决有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线.实际上，只需从圆心作一条与弦垂直的线段即可.这样，把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径r，圆心到弦的距离d，弦长a之间的关系式练一练 如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E.求证：四边形ADOE是正方形.∵OD⊥AB，OE⊥AC,∵AB=AC,∴AD=AE.知识小结1.圆的轴对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.2.垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.慕联提示亲爱的同学，课后请做一个习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见！
下节课我们不见不散！
