新人教版九上数学24.3正多边形和圆（2）——正多边的画法
一．选择题（共7小题）
1．如图，正八边形ABCDEFGH内接于圆，点P是弧GH上的任意一点，则∠CPE的度数为（ ）
A．30° B．15° C．60° D．45°
2．如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（ ）
A．△OAB是等边三角形
B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C．OC平分弦AB
D．∠BAC=30°
3．连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形，下列说法错误的是（ ）
A．△ACF是等边三角形
B．连接BF，则BF分别平分∠AFC和∠ABC
C．整个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形
D．四边形AFGH与四边形CFED的面积相等
4．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点M为BC中点，点N为DE中点，则∠MON的大小为（ ）
A．108° B．144° C．150° D．166°
5．边长为4的正方形的外接圆与内切圆组成的圆环的面积为（ ）
A．2π B．4π C．8π D．16π
6．如图是由5个形状、大小完全相同的正六边形组成的图案，我们把正六边形的顶点称为格点．若Rt△ABC的顶点都在格点上，且AB为Rt△ABC的斜边，则Rt△ABC的个数有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
7．把一张圆形纸片和一张含45°角的扇形纸片如图所示的方式分别剪得一个正方形，如果所剪得的两个正方形边长都是1，那么圆形纸片和扇形纸片的面积比是（ ）
A．4：5 B．2：5 C．：2 D．：
二．解答题（共3小题）
8．如图，已知⊙O，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD．（写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）
9．作图与证明：
如图，已知⊙O和⊙O上的一点A，请完成下列任务：
（1）作⊙O的内接正六边形ABCDEF；
（2）连接BF，CE，判断四边形BCEF的形状并加以证明．
10．在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学设计了一个画圆内接正三角形的方法：
（1）如图，作直径AD；
（2）作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点；
（3）联结AB、AC、BC，那么△ABC为所求的三角形．
请你判断两位同学的作法是否正确，如果正确，请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC，然后给出△ABC是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由．
新人教版九上数学24.3正多边形和圆（2）——正多边的画法
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2016?无锡一模）如图，正八边形ABCDEFGH内接于圆，点P是弧GH上的任意一点，则∠CPE的度数为（ ）
A．30° B．15° C．60° D．45°
【考点】正多边形和圆．菁优网版权所有
【分析】连接OD、OC、OE，根据正多边形和圆的知识求出正八边形的中心角的度数，根据圆周角定理求出∠CPE的度数．
【解答】解：连接OD、OC、OE，如图所示：
∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴∠COD=∠DOE==45°，
∴∠COE=45°+45°=90°，
∴∠CPE=∠COE=45°．
故选：D．
2．（2016?长沙模拟）如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（ ）
A．△OAB是等边三角形
B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C．OC平分弦AB
D．∠BAC=30°
【考点】正多边形和圆；垂径定理．菁优网版权所有
【分析】由OA=AB得出△0AB为等边三角形，再根据OC⊥AB可得出OC平分弧AB，得出弧AC等于弧BC，根据圆周角定理得出∠AOC=∠BOC=30°，再进行选择即可．
【解答】解：∵OA=AB=OB，
∴△OAB是等边三角形，选项A正确，
∴∠AOB=60°，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=30°，AC=BC，弧AC=弧BC，
∴=12，∠BAC=∠BOC=15°，
∴选项B、C正确，选项D错误，
故选D．
3．（2016?石家庄二模）连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形，下列说法错误的是（ ）
A．△ACF是等边三角形
B．连接BF，则BF分别平分∠AFC和∠ABC
C．整个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形
D．四边形AFGH与四边形CFED的面积相等
【考点】正多边形和圆；轴对称图形；中心对称图形．菁优网版权所有
【分析】由正八边形的性质得出A不正确，B、C、D正确，即可得出结论．
【解答】解：∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴AB=CB=AH=GH=GF=EF=DE=CD，AF=CF，∠AFC=90°﹣45°=45°，
∴∠FAC=∠FCA=（180°﹣45°）=67.5°，
∴△ACF不是等边三角形，选项A错误；
∵正八边形是轴对称图形，直线BF是对称轴，
∴连接BF，则BF分别平分∠AFC和∠ABC，
∴选项B、C正确；
∵四边形AFGH与四边形CFED的面积相等，
∴选项D正确；
故选：A．
4．（2016?江东区一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点M为BC中点，点N为DE中点，则∠MON的大小为（ ）
A．108° B．144° C．150° D．166°
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【分析】由垂径定理得出∠OMC=∠OND=90°，由正五边形的性质得出∠C=∠D=108°，由五边形内角和即可求出结果．
【解答】解：∵点M为BC中点，点N为DE中点，
∴OM⊥BC，ON⊥DE，
∴∠OMC=∠OND=90°，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠C=∠D=（5﹣2）×180°÷5=108°，
∴∠MON=（5﹣2）×180°﹣2×90°﹣2×108°=144°；
故选：B．
5．（2015?泗洪县校级模拟）边长为4的正方形的外接圆与内切圆组成的圆环的面积为（ ）
A．2π B．4π C．8π D．16π
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【分析】先根据题意画出正方形的外接圆与内切圆，由正方形的边长求出OD、OA的长，由圆的面积公式分别求出两圆的面积，再求出其差即可．
【解答】解：如图所示，
∵正方形的边长为4，
∴AD=OD=2，
∴OA===2，
∴此正方形外接圆的面积为：S1=π（OA）2=π（2）2=8π，
此正方形内切圆的面积为：S2=π（OD）2=π?22=4π，
∴此圆环的面积为：S1﹣S2=8π﹣4π=4π．
故选B．
6．（2015?石家庄二模）如图是由5个形状、大小完全相同的正六边形组成的图案，我们把正六边形的顶点称为格点．若Rt△ABC的顶点都在格点上，且AB为Rt△ABC的斜边，则Rt△ABC的个数有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【考点】正多边形和圆；勾股定理；勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
【分析】根据正六边形的性质，分AB是直角边和斜边两种情况确定出点C的位置即可得解
【解答】解：如图，AB是斜边时，点C共有4个位置，
即有4个直角三角形，
故选：B．
7．（2015秋?汶上县期末）把一张圆形纸片和一张含45°角的扇形纸片如图所示的方式分别剪得一个正方形，如果所剪得的两个正方形边长都是1，那么圆形纸片和扇形纸片的面积比是（ ）
A．4：5 B．2：5 C．：2 D．：
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【分析】首先分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出比值即可．
【解答】解：如图1，连接OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=1，
∵∠AOB=45°，
∴OB=AB=1，
由勾股定理得：OD==，
∴扇形的面积是=π；
如图2，连接MB、MC，
∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，
∴∠BMC=90°，MB=MC，
∴∠MCB=∠MBC=45°，
∵BC=1，
∴MC=MB=，
∴⊙M的面积是π×（）2=π，
∴扇形和圆形纸板的面积比是π÷（π）=，
即圆形纸片和扇形纸片的面积比是4：5．
故选A．
二．解答题（共3小题）
8．（2016?兰州）如图，已知⊙O，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD．（写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）
【考点】正多边形和圆；作图—复杂作图．菁优网版权所有
【分析】画圆的一条直径AC，作这条直径的中垂线交⊙O于点BD，连结ABCD就是圆内接正四边形ABCD．
【解答】解：如图所示，四边形ABCD即为所求：
9．（2016?山西模拟）作图与证明：
如图，已知⊙O和⊙O上的一点A，请完成下列任务：
（1）作⊙O的内接正六边形ABCDEF；
（2）连接BF，CE，判断四边形BCEF的形状并加以证明．
【考点】正多边形和圆；作图—复杂作图．菁优网版权所有
【分析】（1）由正六边形ABCDEF的中心角为60°，可得△OAB是等边三角形，继而可得正六边形的边长等于半径，则可画出⊙O的内接正六边形ABCDEF；
（2）首先连接OE，由六边形ABCDEF是正六边形，易得EF=BC，=，则可得BF=CE，证得四边形BCEF是平行四边形，然后由∠EDC=∠DEF=120°，∠DEC=30°，求得∠CEF=90°，则可证得结论．
【解答】解：（1）如图1，首先作直径AD，然后分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交⊙O于点B，F，C，E，连接AB，BC，CD，DE，EF，AF，
则正六边形ABCDEF即为⊙O所求；
（2）四边形BCEF是矩形．
理由：如图2，连接OE，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB=AF=DE=DC，FE=BC，
∴===，
∴=，
∴BF=CE，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∵∠EOD==60°，OE=OD，
∴△EOD是等边三角形，
∴∠OED=∠ODE=60°，
∴∠EDC=∠FED=2∠ODE=120°，
∵DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE=30°，
∴∠CEF=∠DEF﹣∠CED=90°，
∴四边形BCEF是矩形．
10．（2014?嘉定区二模）在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学设计了一个画圆内接正三角形的方法：
（1）如图，作直径AD；
（2）作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点；
（3）联结AB、AC、BC，那么△ABC为所求的三角形．
请你判断两位同学的作法是否正确，如果正确，请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC，然后给出△ABC是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由．
【考点】正多边形和圆；垂径定理．菁优网版权所有
【分析】利用锐角三角函数关系得出∠BOE=60°，进而得出∠COE=∠BOE=60°，再利用圆心角定理得出答案．
【解答】解：两位同学的方法正确．
连BO、CO，
∵BC垂直平分OD，
∴直角△OEB中．cos∠BOE==，
∠BOE=60°，由垂径定理得∠COE=∠BOE=60°，
由于AD为直径，∴∠AOB=∠AOC=120°，
∴AB=BC=CA，
即△ABC为等边三角形．
课件7张PPT。24.3 正多边形和圆授课:乐乐老师人教版《数学》 九年级上册[慕联教育同步课程]
课程编号：TS1611010202R9124030201LL
慕课联盟课程开发中心：www.moocun.com正多边形的画法学习目标 会利用等分圆周的方法画正多边形，会利用尺规作图的方法画一些特殊的正多边形.正多边形的画法 由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形.正多边形的画法练一练用等分圆周的方法画出下列图案：知识小结正多边形的画法慕联提示亲爱的同学，课后请做一个习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见！
下节课我们不见不散！
