22.3 第1课时 图形面积的最值问题(要点讲解+当堂检测+答案)

人教版数学九年级上册同步学案
第二十二章　二次函数
22.3　实际问题与二次函数
第1课时　图形面积的最值问题
要 点 讲 解
要点一　求二次函数的最大(或最小)值
将二次函数解析式配方成顶点式y＝a(x－h)2＋k即可得出最大(最小)值.a>0时，k是最小值；a<0时，k是最大值.
要点二　利用二次函数求图形面积的最值问题
“求最大面积”的问题是二次函数的一类应用题，首先要分析几何图形，求得两个变量(其中一个变量为图形的面积)之间的二次函数关系，然后利用二次函数的性质求最大面积.
“求最大面积”的问题是代数、几何的综合题，涉及的图形有三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等，因此深入研究几何图形的大小关系、列出关于两个变量的关系式尤为重要.
经典例题1　如图①，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长18米)，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米.
求：(1)若鸡场面积为150平方米，鸡场的长和宽各为多少米？
(2)鸡场面积可能达到200平方米吗？
(3)如图②，若在鸡场内要用竹篱笆加建一道隔栏，则鸡场最大面积可达多少平方米？
解：(1)设宽为x米，则x(33－2x＋2)＝150，解得x1＝10，x2＝7.5(不合题意，舍去)，
∴长为15米，宽为10米.
(2)不能.理由如下：
解方程x(33－2x＋2)＝200，
整理，得－2x2＋35x－200＝0.
∵b2－4ac＝352－4×(－2)×(－200)＝－375<0，
∴方程无实数根.
∴鸡场面积不能达到200平方米.
(3)设此时面积为S平方米，宽为x米，则
S＝x(33－3x＋2)＝－3(x－)2＋，
∴此时鸡场面积最大值为平方米.
点拨：利用图形面积公式或把不规则图形分割、组合等，列出图形面积与相关线段的二次函数关系式，然后利用二次函数的最值求出面积的最值.
易错易混警示　在应用二次函数知识解决实际问题时忽略自变量的取值范围而出错
利用二次函数解决实际问题时，忽略了实际问题中自变量的取值范围，使所求的解不符合实际意义.
经典例题2　如图所示，有长为24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2.
(1)求S关于x的函数解析式.
(2)如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？
(3)能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由.
解：(1)∵宽AB＝xm，则长BC＝(24－3x)m，
∴面积S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x.
(2)由S＝－3x2＋24x＝45，即x2－8x＋15＝0，解得x1＝5，x2＝3.
∵0<24－3x≤10，解得≤x<8，∴仅有x1＝5符合题意.
∴AB＝5m，即花圃的宽AB为5m.
(3)能.∵S＝－3x2＋24x＝－3(x－4)2＋48，∴当≤x<8时，S最大值在x＝处取得，当花圃宽AB＝m，长BC＝10m时，S最大值＝46>45.
即花圃的长取10m，宽取4m时，达到最大面积46m2.
点拨：本题易忽视墙的最大可用长度为10m，即0<24－3x≤10，即x的取值范围为≤x<8；第(2)问x＝3不在此范围内，应舍去；第(3)问x＝4也不在此范围内，应根据函数的增减性求解，x＝时S最大.
当 堂 检 测
1. 如图，抛物线的顶点P的坐标是(1，－3)，则此抛物线对应的二次函数有(　　)
A. 最大值1 B. 最小值－3
C. 最大值－3 D. 最小值1

第1题 第2题
2. 如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是(　　)
A. 60m2 B. 63m2 C. 64m2 D. 66m2
3. 用一根长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，那么a的值不可能为(　　)
A. 20 B. 40 C. 100 D. 120
4. 把二次函数y＝x2＋6x＋4配方成y＝a(x－h)2＋k的形式，得 ，当x＝ 时，它的最小值是 .
5. 将一根长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是　 　cm2.
6. 如图，已知?ABCD的周长为8cm，∠B＝30°，若边长AB为xcm.
(1)写出?ABCD的面积y(cm2)与x(cm)的函数解析式，并求自变量x的取值范围；
(2)当x取什么值时，y的值最大？并求出最大值.
7. 某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元.设矩形一边长为x米，面积为S平方米.
(1)求S与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)设计费能达到24000元吗？为什么？
(3)当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？
当堂检测参考答案
1. B 2. C 3. D
4. y＝(x＋3)2－5 －3 －5
5. 
6. 解：(1)过A点作AE⊥BC交于点E，∵∠B＝30°，AB＝x，∴AE＝x.又∵平行四边形ABCD的周长为8cm，∴BC＝4－x.∴y＝AE·BC＝x(4－x)，即y＝－x2＋2x(0＜x＜4).　
(2)y＝－x2＋2x＝－(x－2)2＋2，∵a＝－<0，∴当x＝2时，y有最大值，其最大值为2.
7. 解：(1)∵矩形的一边长为x米，周长为16米，∴另一边长为(8－x)米.∴S＝x(8－x)＝－x2＋8x，其中0(2)能.理由：当设计费为24000元时，广告牌的面积为24000÷2000＝12(平方米).即－x2＋8x＝12，解得x＝2或x＝6.∵x＝2和x＝6在0