22.3 第2课时 销售中的最值问题(要点讲解+当堂检测+答案)

人教版数学九年级上册同步学案
第二十二章　二次函数
22.3　实际问题与二次函数
第2课时　销售中的最值问题
要 点 讲 解
要点　二次函数的最值在销售问题中的应用
利用二次函数解决实际生活中的利润问题，应认清变量所表示的实际意义，注意隐含条件的使用，同时考虑问题要全面.此类问题一般是先运用“总利润＝总售价－总成本”或“总利润＝每件商品所获利润×销售数量”，建立利润与价格之间的二次函数解析式，求出这个函数解析式的顶点坐标，即求得最大利润.
经典例题1　某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销.据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本.
(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数解析式；
(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大.最大利润是多少？
(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？(每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量)
解：(1)y＝(x－50)[50＋5(100－x)]
＝(x－50)(－5x＋550)＝－5x2＋800x－27500，
∴y＝－5x2＋800x－27500(50≤x≤100).
(2)y＝－5x2＋800x－27500＝－5(x－80)2＋4500，
∵a＝－5<0，
∴抛物线开口向下.
∵50≤x≤100，对称轴是直线x＝80，
∴当x＝80时，y最大值＝4500.
∴销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大销售利润为4500元.
(3)当y＝4000时，－5(x－80)2＋4500＝4000，
解这个方程，得x1＝70，x2＝90.
∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元.
由每天的总成本不超过7000元，得50(－5x＋550)≤7000，
解这个不等式，得x≥82.∴82≤x≤90.
∵50≤x≤100，∴销售单价应该控制在82元至90元之间.
点拨：二次函数y＝ax2＋bx＋c，当a<0时，函数有最大值，最大值为，此时x＝－.因此我们可以利用二次函数的这个性质解决商品销售中的最大利润问题，但一定要考虑二次函数的顶点的取值是否在自变量的取值范围之内.
易错易混警示　忽视自变量的取值范围
经典例题2　某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元).设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围.
(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
解析：(1)每件商品的售价上涨x元时，每件商品的利润为(50＋x－40)元，每个月的销售量为(210－10x)件，可列出解析式.(2)利用二次函数的性质可求出最大利润.
解：(1)y＝(210－10x)(50＋x－40)＝－10x2＋110x＋2100(0(2)y＝－10(x－5.5)2＋2402.5
∵a＝－10<0，∴当x＝5.5时，y有最大值2402.5.
又∵0当x＝5时，50＋x＝55，y＝2400(元)；当x＝6时，50＋x＝56，y＝2400(元).
∴当售价定为每件55元或56元时，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元.
点拨：本题易出现的错误是解答第(2)问时直接由x＝5.5时，y有最大值2402.5而得出结论：当售价定为每件55.5元时，每个月的利润最大，最大的月利润是2402.5元.出现这种错误的原因是忽略了自变量的取值范围，本题中的x不仅要求0当 堂 检 测
1. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价.若每件商品售价为x元，则可卖出(350－10x)件商品，那么卖出商品所赚钱y元与售价x元之间的函数解析为(　　)
A. y＝－10x2－560x＋7350 B. y＝－10x2＋560x－7350
C. y＝－10x2＋350x D. y＝－10x2＋350x－7350
2. 某商店在销售十二生肖吉祥物时，已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y＝－x2＋24x＋2956，则获利最多为(　　)
A. 3144元 B. 3100元 C. 144元 D. 2956元
3. 一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件.根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为(　　)
A. 5元 B. 10元 C. 0元 D. 6元
4. 出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出(6－x)个，则当x＝ 元时，一天出售该种文具盒的总利润最大.
5. 某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子.设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种 棵橘子树，橘子总个数最多.
6. 一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1个档次(最低档次)的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？
7. 某商人将每件进价为8元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出20件.他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件.
(1)写出每天所得的利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数解析式；
(2)每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？
当堂检测参考答案
1. B 2. B 3. A
4. 3
5. 10
6. 解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，则w＝[12＋2(x－1)][80－4(x－1)]＝(10＋2x)(84－4x)＝－8x2＋128x＋840＝－8(x－8)2＋1352.当x＝8时，w有最大值，w最大＝1352.答：该工艺师生产第8档次的产品，可使每天获得的利润最大，最大利润为1352元.
7. 解：(1)由题意，得y＝(x－8)[20－4(x－9)]，化简，得y＝－4x2＋88x－448(9≤x≤14).