22.3 第3课时 “抛物线”型最值问题(要点讲解+当堂检测+答案)

人教版数学九年级上册同步学案
第二十二章　二次函数
22.3　实际问题与二次函数
第3课时　“抛物线”型最值问题
要 点 讲 解
要点　利用二次函数解“抛物线”型问题
常见情形
具体方法
抛物线形
建筑物
常见的抛物线形建筑物有拱形桥洞、涵洞、隧道洞门、拱形门窗等
(1)建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放置在坐标系中；
(2)从已知和图象中获得求二次函数解析式所需要的条件；
(3)利用待定系数法求出抛物线的解析式；
(4)运用已求出的抛物线的解析式去解决相关问题
运动路
线问题
运动员空中跳跃轨迹、球类运行的轨迹、喷头喷出的水的轨迹等
解题
技巧
一般把抛物线的顶点作为坐标系的原点建立平面直角坐标系，用待定系数法求二次函数的解析式时，可设解析式为y＝ax2
经典例题　如图1所示是某市第一座特大型桥梁，大桥桥体造型新颖，气势恢宏，两条拱肋如长虹卧波，极具时代气息，大桥为中承式悬索拱桥，大桥的主拱肋ACB是抛物线的一部分(如图2)，跨径AB为100m，拱高OC为25m，抛物线顶点C到桥面的距离为17m.
(1)请建立适当的坐标系，求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)七月份汛期来临，河水水位上涨，假设水位比AB所在直线高出1.96m，这时位于水面上的拱肋的跨径是多少？在不计桥面厚度的情况下，一条高出水面4.6m的游船是否能够顺利通过大桥？
解：(1)以AB所在直线为x轴，直线OC为y轴，建立直角坐标系，如图所示：
设抛物线所对应的函数解析式为y＝ax2＋c，
由题意得B(50，0)，C(0，25)，
∴解得a＝－，c＝25.
∴抛物线对应的函数解析式是y＝－x2＋25(－50≤x≤50).
(2)当水位比AB所在直线高出1.96m时，
将y＝1.96代入函数解析式得1.96＝－x2＋25，
解得x＝±48.∴48×2＝96(m).
故位于水面上的拱肋的跨径是96m.
根据题意，游船的最高点到桥面的距离为(25－17)－(1.96＋4.6)＝1.44(m)，
∴游船能顺利通过大桥.
点拨：利用二次函数与抛物线的知识解决实际问题，有时必须建立直角坐标系，建立直角坐标系时，一般要以图形的对称轴为坐标轴.
当 堂 检 测
1. 如图1是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m，水面宽4m.如图2建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是(　　)
图1 图2
A. y＝－2x2 B. y＝2x2 C. y＝－x2 D. y＝x2
2. 如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门底部地面宽4米，顶部距地面的高度为4.4米，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为2.4米，该车要想通过此门，装货后的高度应小于(　　)
A. 2.80米 B. 2.816米 C. 2.82米 D. 2.826米

第2题 第3题
3. 如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m.已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y＝－(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线的解析式是　 　.
4. 如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面OA为1m，球路的最高点为B(8，9)，则这个二次函数的解析式为　 　，小孩将球抛出约 米.

第4题 第5题
5. 某隧道横截面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示.以隧道横截面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求得该抛物线对应的函数解析式为　 　.
6. 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看作一个点)的路线是抛物线y＝－x2＋3x＋1的一部分，如图所示.
(1)求演员弹跳离地面的最大高度；
(2)已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由.
当堂检测参考答案
1. C 2. B
3. y＝－(x＋6)2＋4
4. y＝－x2＋2x＋1 16.5
5. y＝－x2
6. 解：(1)将二次函数y＝－x2＋3x＋1化成y＝－(x－)2＋，当x＝时，y有最大值，为，因此演员弹跳离场面的最大高度是4.75米.