人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》
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章 末 知 识 复 习
类型一 二次函数的图象与性质
要点简介：1. 二次函数的图象；2. 二次函数的性质；3. 二次函数图象上点的特征.
经典例题1 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2(m≠0)与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B.
(1)求点A，B的坐标；
(2)设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；
(3)若该抛物线在－2
解析：(1)根据抛物线与y轴交于点A，令x＝0，求出y的值，即可得到A点坐标；根据对称轴为直线x＝－＝1，且与x轴交于点B，可得到B点坐标；(2)先表示出点A关于直线x＝1的对称点的坐标，再用待定系数法求出直线l的解析式即可；(3)由抛物线对称轴为直线x＝1可知抛物线在2解：如图.(1)当x＝0时，y＝－2，∴点A的坐标为(0，－2).
将y＝mx2－2mx－2配方，得y＝m(x－1)2－m－2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
∴点B的坐标为(1，0).
(2)由题意，点A关于直线x＝1的对称点的坐标为(2，－2).
设直线l的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
∵点(1，0)和(2，－2)在直线l上，
∴解得
∴直线l的解析式为y＝－2x＋2.
(3)由题意可知，抛物线关于直线x＝1对称，直线AB和直线l也关于直线x＝1对称.
∵抛物线在2又∵抛物线在－2∴由直线l的解析式y＝－2x＋2可得这个交点的坐标为(－1，4).
∵抛物线y＝mx2－2mx－2经过点(－1，4)，∴m＝2.
∴所求抛物线的解析式为y＝2x2－4x－2.
点拨：本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，第(3)小题较难，根据二次函数的对称性求出抛物线经过的点(－1，4)是解题的关键.
类型二 待定系数法求二次函数的解析式
要点简介：1. 用待定系数法求二次函数的解析式；2. 二次函数的平移.
经典例题2 已知抛物线C：y＝－x2＋bx＋c经过A(－3，0)和B(0，3)两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N.
(1)求抛物线C的解析式；
(2)求点M的坐标；
(3)将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′.如果以点M，N，M′，N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？
解析：(1)把点A(－3，0)，B(0，3)的坐标代入y＝－x2＋bx＋c得到关于b，c的方程组，求出b，c的值，确定抛物线解析式；(2)利用配方法把抛物线解析式化成y＝a(x－h)2＋k的形式，则顶点坐标为(h，k)，或者利用公式法求出－，的值，写出顶点坐标(－，)；(3)利用面积法求出NN′＝4，分类讨论平移方案.
解：(1)根据题意，得解得
∴y＝－x2－2x＋3.
(2)∵x＝－＝－＝－1，
∴y＝－(－1)2－2×(－1)＋3＝－1＋2＋3＝4.∴M(－1，4).
(3)如图，由题意，以点M，N，M′，N′为顶点的平行四边形的边MN的对边只能是M′N′，∴MN∥M′N′且MN＝M′N′＝4.∴MN·NN′＝16，∴NN′＝4.
①当以M，N，M′，N′为顶点的平行四边形是?MNN′M′时，将抛物线C向左或向右平移4个单位长度可得到符合条件的抛物线C′.
②当以M，N，M′，N′为顶点的平行四边形是?MNM′N′时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位长度，再向下平移8个单位长度，可得到符合条件的抛物线C′.
∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C′.
点拨：二次函数图象的平移只是改变了抛物线顶点的位置，故进行抛物线平移时，要把其解析式化成顶点式.
类型三 二次函数的应用
要点简介：利用二次函数的最值求最大利润.
经典例题3 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具.
(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x(元)(x>40)，请你分别用含x的代数式来表示销售量y(件)和销售该品牌玩具获得的利润w(元)，并把结果填写在表格中：
销售单价(元)
x
销售量y(件)
________
销售玩具获得的利润w(元)
________
(2)在(1)问条件下，若商场获得了10000元的销售利润，求该品牌玩具销售单价x应定为多少元.
(3)在(1)问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少.
解：(1)
销售单价(元)
x
销售量y(件)
1000－10x
销售玩具获得的利润w(元)
－10x2＋1300x－30000
(2)－10x2＋1300x－30000＝10000，
解得x1＝50，x2＝80.
答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元的销售利润.
(3)根据题意得
解得44≤x≤46.
w＝－10x2＋1300x－30000＝－10(x－65)2＋12250.
∵a＝－10<0，对称轴为直线x＝65，
∴当44≤x≤46时，w随x的增大而增大.
∴当x＝46时，w最大值＝8640(元)
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元.
点拨：求实际问题中的最大值或最小值时，一定要注意自变量的取值范围，不能简单地取其顶点纵坐标对应的数值.
综 合 检 测
一、选择题
1. 对于y＝ax2＋bx＋c，有以下四种说法，其中正确的是( )
A. 当b＝0时，二次函数是y＝ax2＋c B. 当c＝0时，二次函数是y＝ax2＋bx
C. 当a＝0时，一次函数是y＝bx＋c D. 以上说法都不对
2. 一次函数y＝ax＋c(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一个坐标系中的图象可能是( )
A B
C D
3. 某旅游景点的收入受季节的影响较大，有时候出现赔本的经营状况.因此，公司规定：若无利润时，该景点关闭.经跟踪测算，该景点一年中的利润W(万元)与月份x之间满足二次函数W＝－x2＋16x－48，则该景点一年中处于关闭状态有( )
A. 5个月 B. 6个月 C. 7个月 D. 8个月
4. 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的解析式为y＝－x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为( )
A.－20m B. 10m C. 20m D.－10m
第4题 第5题
5. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①b<0；②c>0；③a＋c0，其中正确的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)和正比例函数y＝x的图象.如图所示，则方程ax2＋(b－)x＋c＝0(a≠0)的两根和( )
A. 大于0 B. 等于0 C. 小于0 D. 不能确定
第6题 第7题
7. 某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同.其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG＝1米，AE＝AF＝x米，在五边形EFBCG区域中种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是( )
A B
C D
二、填空题
8. 已知函数y＝－x2－2x，当 时，函数y随x的增大而增大.
9. 老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三位同学各指出这个函数的一个性质：
甲：函数的图象经过第一、二象限
乙：当x＜2时，y随x的增大而减小
丙：函数的图象与坐标轴只有两个交点
已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数 .
10. 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝ .
11. 某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a＞0).未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元.通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件.在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t为正整数)的增大而增大，a的取值范围应为 .
三、解答题
12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过B，C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC，BD，CD.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABDC的面积.
13. 如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案.按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y＝ax2＋bx(a≠0)表示.已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为m，到墙边OA的距离分别为m，m.
(1)求该抛物线的函数解析式，并求图案最高点到地面的距离；
(2)若该墙的长度为10m，则最多可以连续绘制几个这样的抛物线形图案？
14. 如图，某广场设计的一建筑造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O在水平面上，对称轴是水平线OC.点A，B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC＝4米，点B到水平面的距离为2米，OC＝8米.
(1)请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；
(2)为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA，PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎么样才能找到两根支柱用料最省(支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑)时的点P？(无需证明)
(3)为了施工方便，现需计算出点O，P之间的距离，那么两根支柱用料最省时，点O，P之间的距离是多少？(请写出求解过程)
参考答案
1. D 2. D 3. A 4. C 5. C 6. A 7. A
8. x<－1
9. y＝(x－2)2(答案不唯一)
10. 1.6
11. 012. 解：(1)由已知得C(0，4)，B(4，4).把B与C的坐标代入y＝－x2＋bx＋c得解得∴此抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋4.
(2)∵y＝－x2＋2x＋4＝－(x－2)2＋6，∴抛物线顶点D的坐标为(2，6).则S四边形ABDC＝S△ABC＋S△BCD＝×4×4＋×4×2＝8＋4＝12.
13. 解：(1)根据题意得：B(，)，C(，)，把B，C代入y＝ax2＋bx得，解得∴抛物线的函数解析式为y＝－x2＋2x，∴图案最高点到地面的距离：＝1.
(2)令y＝0，即－x2＋2x＝0，∴x1＝0，x2＝2，∴10÷2＝5，∴最多可以连续绘制5个这样的抛物线形图案.
14. 解：(1)以点O为原点、射线CA为x轴正半轴、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，设抛物线的函数解析式为y＝ax2，由题意知点A的坐标为(4，8)，且点A在抛物线上，所以8＝a×42，解得a＝.故所求抛物线的函数解析式为y＝x2.
(3)由题意知点B的横坐标为2，且点B在抛物线上，所以点B的坐标为(2，2).又知点A的坐标为(4，8)，所以点D的坐标为(－4，8)，设直线BD的函数解析式为y＝kx＋b，则有解得故直线BD的函数解析式为y＝－x＋4，把x＝0代入y＝－x＋4，得y＝4，故点P的坐标为(0，4).即两根支柱用料最省时，点O，P之间的距离是4米.
