人教版数学九年级上册同步课时训练
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质
自主预习 基础达标
要点 二次函数y＝ax2的图象和性质
1. 二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条 ，其对称轴是 轴，顶点坐标为 .
2. 抛物线y＝ax2，当a>0时，开口向 ，顶点是它的最 点，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，y随x的增大而 ；当a<0时，开口向 ，顶点是它的最 点，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，y随x的增大而 ；|a|的大小决定抛物线的开口大小，|a|越大，开口 ；反之，|a|越小，开口 .
3. 由于抛物线y＝ax2关于y轴对称，所以若点A(x，y)在抛物线的图象上，则点A′ 也在抛物线的图象上.
课后集训 巩固提升
1. 函数y＝ax2(a≠0)的图象与a的符号有关的是( )
A. 对称轴 B. 顶点坐标
C. 开口方向 D. 开口大小
2. 已知函数y＝x2中，当x1A. y1>y2 B. y13. 在同一平面直角坐标系中，图象与y＝2x2的图象关于x轴对称的是( )
A. y＝x2 B. y＝－x2 C. y＝－2x2 D. y＝－x2
4. 若|a|＝1，对于二次函数y＝ax2的图象，下列判断正确的是( )
A. 开口向上
B. 以y轴为对称轴
C. 当x<0时，y随x的增大而增大
D. 当x>0时，y有最大值0
5. 若抛物线y＝(2＋m)xm2－10的开口向下，则m的值为( )
A. 3 B. －3 C. 2 D. －2
6. 抛物线y＝x2，y＝x2，y＝－x2的共同性质是：①都是开口向上；②都以点(0，0)为顶点；③都以y轴为对称轴；④都关于x轴对称.其中正确的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7. 已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是( )
A B
C D
8. y＝－x2的图象叫 ，开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，顶点是抛物线图象的最 点，在对称轴的右边，y随x的增大而 .
9. 二次函数y＝x2的图象开口向 ，它的图象有最 点；当x＝2时，y＝ ；当y＝1时，x＝ .
10. 已知点P(5，25)在抛物线y＝ax2上，则当x＝2时，y的值为 .
11. 已知函数y＝(k＋2)xk2＋k－4是二次函数，且当x>0时，y随x的增大而增大，则k＝ ，其图象的顶点坐标为 ，对称轴是 .
12. 已知二次函数y＝x2的图象如图所示，线段AB∥x轴，交抛物线于A，B两点，且点A的横坐标为2，则AB的长度为 .
第12题 第13题
13. 如图，正方形ABCD的边长为2cm，O是AB的中点，也是抛物线的顶点，OP⊥AB，两半圆的直径分别为OA与OB.抛物线经过C，D两点，且关于直线OP对称，则图中阴影部分的面积之和约为 cm2.(π取3.14，结果精确到百分位)
14. 已知一个二次函数图象的对称轴是y轴，顶点是原点，且经过点(1，－3).
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)图象在对称轴右侧的部分，y随x的增大怎样变化？
(3)指出这个函数有最大值还是最小值，并求出这个值.
15. 已知二次函数y＝2x2，在－3≤x≤1这个范围内，求函数的最值.
16. 在同一平面直角坐标系中，作出下列二次函数的图象.并说一说它们的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性及最大(小)值.
(1)y＝x2； (2)y＝－x2；
(3)y＝2x2； (4)y＝－2x2.
17. 根据下列条件求m的取值范围.
(1)函数y＝(m＋3)x2，当x>0时，y随x的增大而减小，当x<0时，y随x的增大而增大；
(2)函数y＝(2m－1)x2有最小值；
(3)抛物线y＝(m＋2)x2与抛物线y＝－x2的形状相同.
18. 如图，已知直线y＝－2x＋3与抛物线y＝x2的图象交于A，B两点，且直线y＝－2x＋3的图象与x轴，y轴分别交于D，C两点，O为坐标原点，连接AO，BO.
(1)求点A，B的坐标；
(2)求S△AOB.
19. 如图，直线AB过x轴上一点A(2，0)，且与抛物线y＝ax2相交于B，C两点，点B的坐标为(1，1).
(1)分别求出直线AB和抛物线y＝ax2的解析式；
(2)若抛物线上有一点D(在第一象限)，使得S△OAD＝S△OBC，求点D的坐标.
参考答案
自主预习 基础达标
要点 1. 抛物线 y (0，0) 2. 上 低 减小 增大 下 高 增大 减小 越小 越大 3. (－x，y)
课后集训 巩固提升
1. C 2. A 3. C 4. B 5. D 6. B 7. C
8. 抛物线y＝－x2 向下 y轴 (0，0) 高 减小
9. 上 低 1 ±2
10. 4
11. 2 (0，0) y轴
12. 4
13. 0.39
14. 解：(1) 设这个二次函数的解析式是y＝ax2(a≠0).将(1，－3)代入，得－3＝a，所以a＝－3，所以这个二次函数的解析式是y＝－3x2.
(2) y随x的增大而减小.
(3) 因为a＝－3<0，所以函数y＝－3x2有最大值.当x＝0时，函数y＝－3x2取最大值为0.
15. 解：∵－3≤x≤1包含了x＝0，∴函数y＝2x2的最小值为0，当x＝－3时，y＝18；当x＝1时，y＝2.∴当－3≤x≤1时，函数y＝2x2的最大值为18，最小值为0.
16. 解：图略
二次函数
解析式
开口
方向
对称轴
顶点
坐标
增减性
最大(小)值
y＝x2
向上
y轴
(0，0)
当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大
当x＝0时，y最小值＝0
y＝－x2
向下
y轴
(0，0)
当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小
当x＝0时，y最大值＝0
y＝2x2
向上
y轴
(0，0)
当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大
当x＝0时，y最小值＝0
y＝－2x2
向下
y轴
(0，0)
当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小
当x＝0时，y最大值＝0
17. 解：(1) 由题意，得m＋3<0，解得m<－3.
(2) 由题意，得2m－1>0，解得m>.
(3) 由题意，得|m＋2|＝|－|，解得m1＝－，m2＝－.
18. 解：(1) 解方程组可得或∴A点坐标为(－3，9)，B点坐标为(1，1).
(2) 方法1：易知函数y＝－2x＋3的图象与y轴的交点C的坐标为(0，3)，∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×3×3＋×3×1＝6.方法2：易知函数y＝－2x＋3的图象与x轴交于点D(，0)，S△AOB＝S△ AOD－S△BOD＝××9－××1＝6.
19. 解：(1) 设直线AB的解析式为y＝kx＋b，∵直线AB过点A(2，0)，B(1，1)，∴∴∴直线AB的解析式为y＝－x＋2.∵抛物线y＝ax2过点B(1，1)，将此点坐标代入，得a＝1.∴抛物线的解析式为y＝x2.
(2) 过点D向x轴作垂线，垂足为点E，如图.∵直线AB与抛物线相交于点B，C，∴由得即点C的坐标为(－2，4). ∴S△OBC＝S△OAC－S△OAB＝×OA·|yC|－×OA·|yB|＝×2×4－×2×1＝3.又∵S△OAD＝S△OBC，∴OA·DE＝×2×DE＝3，∴DE＝3，∴点D的纵坐标为3.
