人教版数学九年级上册同步课时训练
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
第2课时 求二次函数的解析式
自主预习 基础达标
要点 用待定系数法求二次函数解析式
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用 .用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.二次函数解析式的形式有 、
和 .
课后集训 巩固提升
1. 二次函数的图象经过点A(0，0)，B(－1，－11)，C(1，9)三点，则它的解析式为( )
A. y＝x2＋10x B. y＝－x2－10x
C. y＝x2－10x D. y＝－x2＋10x
2. 已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么函数解析式为( )
A. y＝－x2＋2x＋3 B. y＝x2－2x－3
C. y＝－x2－2x＋3 D. y＝－x2－2x－3
3. 若所求的二次函数图象与抛物线y＝2x2－4x－1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的解析式为( )
A. y＝－x2＋2x＋4 B. y＝－ax2－2ax－3(a>0)
C. y＝－2x2－4x－5 D. y＝ax2－2ax＋a－3(a<0)
4. 请选择一组你喜欢的a，b，c的值，使二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)同时满足下列条件：①开口向下；②当x<1时，y随x的增大而增大，当x>1时，y随x的增大而减小，这样的函数解析式可以是 .
5. 已知点A(0，3)，B(2，3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上两点，该抛物线的顶点坐标是 .
6. 设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点A(0，2)，B(4，3)，C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为 .
7. 根据下列条件，求二次函数解析式.
(1)抛物线经过(－1，11)，(2，8)和(0，6)三点；
(2)抛物线的顶点坐标为(3，－1)，且经过点(2，3)；
(3)抛物线的对称轴为直线x＝2，且经过点(1，4)和(5，0)；
(4)抛物线经过(－1，0)，(3，0)和(0，2)三点.
8. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点(0，3a)，对称轴为直线x＝1.
(1)试用含a的代数式表示b，c.
(2)当抛物线与直线y＝x－1交于点(2，1)时，求此抛物线的解析式.
(3)求当b(c＋6)取得最大值时的抛物线的顶点坐标.
9. 如图所示，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点M(1，－2)，N(－1，6).
(1)求二次函数y＝x2＋bx＋c的解析式；
(2)把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，点A，B的坐标分别为(1，0)和(4，0)，BC＝5，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离.
10. 如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0).
(1)求a，b的值；
(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6)，写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数解析式，并求S的最大值.
11. 如图，抛物线y＝x2＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且A(－1，0).
(1)求抛物线对应的函数解析式以及顶点D的坐标；
(2)判断△ABC的形状，并证明你的结论；
(3)点M(m，0)是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值.
参考答案
自主预习 基础达标
要点 待定系数法 一般式 顶点式 交点式
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1. D 2. A 3. D
4. y＝－x2＋2x＋8(答案不唯一)
5. (1，4)
6. y＝x2－x＋2或y＝－x2＋x＋2
7. 解：(1) 设所求抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，∵抛物线经过点(－1，11)，(2，8)，(0，6)，用待定系数法求得a＝2，b＝－3，c＝6.∴所求抛物线的解析式为y＝2x2－3x＋6.
(2) 设所求抛物线的解析式为y＝a(x－3)2－1，∵抛物线经过点(2，3)，∴a(2－3)2－1＝3，∴a＝4.∴y＝4(x－3)2－1＝4x2－24x＋35.
(3) 设所求抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋k，∵抛物线过点(1，4)，(5，0)，∴解得∴y＝－(x－2)2＋＝－x2＋2x＋.
(4) 设所求抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3).∵抛物线经过点(0，2)，∴2＝a(0＋1)(0－3)，a＝－，∴y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋x＋2.
8. 解：(1) ∵抛物线与y轴交于点(0，3a)，∴c＝3a.∵对称轴为直线x＝1，∴x＝－＝1，∴b＝－2a.
(2) ∵抛物线与直线y＝x－1交于点(2，1)，∴点(2，1)在抛物线上，∴1＝a×22＋2×(－2a)＋3a，∴a＝.∴b＝－2a＝－，c＝3a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2－x＋1.
(3) ∵b(c＋6)＝－2a(3a＋6)＝－6a2－12a＝－6(a＋1)2＋6.当a＝－1时，b(c＋6)的最大值为6.此时b＝2，c＝－3.∴抛物线为y＝－x2＋2x－3＝－(x－1)2－2，故抛物线的顶点坐标为(1，－2).
9. 解：(1) ∵点M(1，－2)，N(－1，6)在二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上，∴解得∴二次函数的解析式为y＝x2－4x＋1.
(2) 在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝5，∴AC＝4.∴点C的纵坐标是4.故当△ABC向右平移到点C落在抛物线上时，有4＝x2－4x＋1，即x2－4x－3＝0，∴x＝＝2±.∵此时点C在y轴的右边，∴点C的横坐标大于0，即x＝2＋.∵A(1，0)，∴点C落在抛物线上时，△ABC向右平移(1＋)个单位长度.
10. 解：(1) 将A(2，4)与B(6，0)代入y＝ax2＋bx，得解得
(2)如图，过A作x轴的垂线，垂足为D(2，0)，连接AC，BC，CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，S△OAD＝OD·AD＝×2×4＝4，S△ACD＝AD·CE＝×4×(x－2)＝2x－4，S△BCD＝BD·CF＝×4×＝－x2＋6x，则S＝S△OAD＋S△ACD＋S△BCD＝4＋2x－4－x2＋6x＝－x2＋8x，∴S关于x的函数解析式为S＝－x2＋8x(2＜x＜6)，∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16.
11. 解：(1) ∵点A(－1，0)在抛物线y＝x2＋bx－2上，∴×(－1)2＋b×(－1)－2＝0，解得b＝－，∴抛物线对应的函数解析式为y＝x2－x－2.y＝x2－x－2＝(x2－3x)－2＝(x－)2－，∴顶点D的坐标为(，－).
(2) △ABC是直角三角形.证明：当x＝0时，y＝－2，∴C(0，－2)，OC＝2.当y＝0时，x2－x－2＝0，∴x1＝－1，x2＝4，∴B(4，0)，∴OA＝1，OB＝4，∴AB＝5.∵AB2＝25，AC2＝OA2＋OC2＝5，BC2＝OC2＋OB2＝20，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形.
(3) 作出点C关于x轴的对称点C′，则C′(0，2)，OC′＝2，连接C′D交x轴于点M，连接CM，如图所示.根据对称性及两点之间线段最短可知，当MC＋MD＝C′D时，MC＋MD的值最小.设直线C′D对
