2.1.1 认识一元二次方程学案(要点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学九年级上册同步学案
第二章　一元二次方程
1　认识一元二次方程
第1课时　认识一元二次方程
要 点 讲 解
要点一　一元二次方程的概念
1. 定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
2. 一元二次方程的四要素
(1)是整式方程；
(2)只含有一个未知数；
(3)未知数的最高次数是2；
(4)二次项系数不为0.四者缺一不可.
判断一个方程是不是一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如果能整理为ax2＋bx＋c＝0?a，b，c为常数，a≠0?的形式，则这个方程就是一元二次方程.
经典例题1　下列式子中，是一元二次方程的是_____________________(填入序号即可).
①x2＋3x＝0；②＋y＝0；③－1＝0；④x2＝0；⑤2x2＋y＝0；⑥(x＋1)(x－2)＝x2；⑦3x＋22x＝5；⑧2x2＋x－3.
解析：直接根据一元二次方程的四要素进行判断，全部满足的就是一元二次方程.③不是整式方程，⑧不是方程，所以③⑧不是；⑤含有两个未知数，所以⑤不是；⑥⑦经过整理发现未知数的最高次数不是2，所以⑥⑦不是；只有①②④符合四要素，因而是一元二次方程.
答案：①②④
要点二　一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0).
1. 如果明确指出ax2＋bx＋c＝0是关于x的一元二次方程，那么就隐含了a≠0这—重要条件.?
2. 指出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项时，需先将方程化为一般形式，各项的系数包含它前面的符号.
经典例题2　写出一元二次方程(x＋3)(1－3x)＝2x2＋1的二次项系数、一次项系数和常数项.
解析：所给的一元二次方程不是一般形式，所以应先将原方程化为一般形式，然后再确定二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得x－3x2＋3－9x＝2x2＋1.移项、合并同类项，得－5x2－8x＋2＝0，即5x2＋8x－2＝0.所以方程的二次项系数是5，一次项系数是8，常数项是－2.
要点三　列一元二次方程
列方程最重要的环节是审题，只有透彻地理解题意，才能恰当地设出未知数，准确地找出已知量与未知量之间的等量关系，正确列出方程.
经典例题3　如图，在长70m，宽40m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(如阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的，则路宽x应满足的方程是(　　　)
A. (40－x)(70－x)＝350 B. (40－2x)(70－3x)＝2450
C. (40－2x)(70－3x)＝350 D. (40－x)(70－x)＝2450
解析：设路宽为xm，则所剩下的观赏面积的宽为(40－2x)m，长为(70－3x)m，根据“要使观赏路面积占总面积”可列方程为(40－2x)(70－3x)＝(1－)×70×40，即(40－2x)(70－3x)＝2450.故选B.
答案：B
当 堂 检 测
1. 下列方程中是一元二次方程的是(　　)
A. 2x＋1＝0　　　 B. y2＋x＝1
C. x2＋1＝0 D. ＋x2＝1
2. 已知(m－2)xn－3nx＋2＝0是关于x的一元二次方程，则(　　)
A. m≠0，n＝2 B. m≠2，n＝2
C. m≠0，n＝3 D. m≠2，n≠0
3. 某学校准备修建一个面积为200m2的矩形花圃，它的长比宽多10m，设花圃的宽为xm，则可列方程为(　　)
A. x(x－10)＝200 B. 2x＋2(x－10)＝200
C. x(x＋10)＝200 D. 2x＋2(x＋10)＝200
4. 若一元二次方程(2a－4)x2＋(3a＋6)x＋a－8＝0不含一次项，则常数项等于 .
5. 用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形，设长方形的长为xcm，则可列方程为 .
6. 将下列一元二次方程化成一般形式，并写出二次项系数，一次项系数和常数项.
(1)4x2＋6x＝9x2－15x＋4；
(2)(3x－1)(x＋2)＝－x2＋5x＋1；
(3)(2t＋3)2－2(t－5)2＝－41.
当堂检测参考答案
1. C 2. B 3. C
4. －10
5. x(20－x)＝64或x2－20x＋64＝0
6. 解：(1)5x2－21x＋4＝0，二次项系数：5，一次项系数：－21，常数项：4.