高中数学必修二知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：30【提高】圆的方程

圆的方程
【学习目标】
1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程.
2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．
【要点梳理】
要点一：圆的标准方程
，其中为圆心，为半径.
要点诠释：
(1)如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点：
(2)圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点.
(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.
要点二：点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有
(1)若点在圆上
(2)若点在圆外
(3)若点在圆内
要点三：圆的一般方程
当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径.
要点诠释：
由方程得
(1)当时，方程只有实数解.它表示一个点.
(2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
(3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆.
要点四：几种特殊位置的圆的方程
条件
方程形式
标准方程
一般方程
圆心在原点
过原点
圆心在x轴上
圆心在y轴上
圆心在x轴上且过原点
圆心在y轴上且过原点
与x轴相切
与y轴相切
要点五：用待定系数法求圆的方程的步骤
求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程.
(2)根据已知条件，建立关于或的方程组.
(3)解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.
要点六：轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．
1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．
2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．
3．求轨迹方程的步骤：
（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；
（2）列出关于的方程；
（3）把方程化为最简形式；
（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；
（5）作答．
【典型例题】
类型一：圆的标准方程
例1．求满足下列条件的各圆的方程：
(1)圆心在原点，半径是3；
(2)已知圆经过两点，圆心在轴上；
(3)经过点，圆心在点．
【思路点拨】一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】(1)
(2)线段的中垂线方程为，与轴的交点即为圆心的坐标，所以半径为 ，所以圆的方程为.
(3)解法一：∵圆的半径，圆心在点
∴圆的方程是
解法二：∵圆心在点，故设圆的方程为
又∵点在圆上，∴，∴
∴所求圆的方程是.
【总结升华】确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心（a，b）和半径r，一般步骤为：
（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(x―a)2+(y―b)2=r2；
（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；
（3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．
举一反三：
【变式1】圆心是（4，―1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（ ）
A．(x―4)2+(y+1)2=10 B．(x+4)2+(y―1)2=10
C．(x―4)2+(y+1)2=100 D．
【答案】A
例2．（2017秋 湖北宜昌月考）求下列各圆的标准方程：
（1）圆心在直线y=0上，且圆过两点A（1，4），B（3，2）；
（2）圆心在直线2x+y=0上，且圆与直线x+y―1=0切于点M（2，―1）．
【思路点拨】（1）求出圆心和半径，即可求圆C的方程；
（2）设出圆心坐标，列方程组解之．其中由圆心在直线2x+y=0上得出一个方程；再由圆心到直线x+y―1=0的距离即半径得出另一个方程．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵圆心在直线y=0上，
∴设圆心坐标为C（a，0），
则|AC|=|BC|，
即，
即 ，
解得a=―1，即圆心为（―1，0），
半径，
则圆的标准方程为 ，
（2）设圆心坐标为（a，b），
则
解得a=1，b=－2，∴，
∴要求圆的方程为 ．
举一反三：
【变式1】（1）过点且圆心在直线上；
（2）与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为．
【答案】（1）（2）或
【解析】
（1）设圆的方程为：，则
，解得：
所求圆的方程为：
（2）设圆的方程为：，则
解得：或
所求圆的方程为：或．
类型二：圆的一般方程
例3．已知直线x2+y2―2(t+3)x+2(1―4t2)y+16t4+9=0表示一个圆．
（1）求t的取值范围；
（2）求这个圆的圆心和半径；
（3）求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程．
【思路点拨】若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件D2+E2―4F＞0，解题时，应充分利用这一隐含条件．
【答案】（1）（2）（t+3，4t2－1） （3）
【解析】（1）已知方程表示一个圆D2+E2―4F＞0，即4(t+3)2+4(1―4t2)2―4(16t4+9)＞0，整理得7t2―6t―1＜0．
（2）圆的方程化为[x―(t+3)]2+[y+(1―4t2)]2=1+6t―7t2．
∴它的圆心坐标为（t+3，4t2－1），半径为．
（3）由．
∴r的最大值为，此时圆的标准方程为
．
【总结升华】 在本例中，当t在中任取一个值，它对应着一个不同的圆，它实质上是一系列的圆，因此本例中的圆的方程实质上是一个圆系方程，由得y=4(x―3)2―1，再由，知，因此它是一个圆心在抛物线的圆系方程．
举一反三：
【变式1】（1）求过的圆的方程，及圆心坐标和半径；
（2）求经过点且与直线相切于点（8，6）的圆的方程．
【答案】（1） （4，1） （2）
【解析】
（1）法一：设圆的方程为：，则
，解得：
所以所求圆的方程为：，即，所以圆心为（4，1），半径为．
法二：线段的中点为为，
线段的中垂线为，即
同理得线段中垂线为
联立，解得
所以所求圆的方程为（4，1），半径
所以．
（2）法一：设圆的方程为：，则
，解得：
所以圆的方程为．
法二：过点与直线垂直的直线是，
线段的中垂线为，
由得：圆心坐标为，由两点间距离公式得半径，
所以圆的方程为．
【变式2】判断方程ax2+ay2―4(a―1)x+4y=0（a≠0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心和半径长．
【答案】表示圆，圆心坐标，半径
【变式3】方程表示圆，则a的取值范围是
A．或 B． C． D．
【答案】D
【解析】方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0转化为，所以若方程表示圆，则有，∴ ，∴ ．
例4．（1）△ABC的三个顶点分别为A（―1，5），B（―2，―2），C（5，5），求其外接圆的方程；
（2）圆C过点P（1，2）和Q（―2，3），且圆C在两坐标轴上截得的弦长相等，求圆C的方程．
【思路点拨】在（1）中，由于所求的圆过三个点，因而选用一般式，从而只要确定系数D、E、F即可；注意到三角形外接圆的圆心为各边的垂直平分线的交点，所以也可先求圆心，再求半径，从而求出圆的方程．在（2）中，可用圆的一般方程，但这样做计算量较大，因此我们可以通过作图，利用图形的直观性来进行分析，从而得到圆心或半径所满足的条件．
【答案】（1）x2+y2―4x―2y―20=0（2）(x+1)2+(y―1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25
【解析】（1）解法一：设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由题意有
，解得．
故所求的圆的方程为x2+y2―4x―2y―20=0．
解法二：由题意可求得AC的中垂线的方程为x=2，BC的中垂线方程为x+y―3=0．∴圆心是两中垂线的交点（2，1），∴半径，
∴所求的圆的方程为(x―2)2+(y―1)2=25，即x2+y2―4x―2y―20=0．
（2）解法一：如右图所示，由于圆C在两坐标轴上的弦长相等，即|AD|=|EG|，所以它们的一半也相等，即|AB|=|GF|，又|AC|=|GC|，
∴Rt△ABC≌Rt△GFC，∴|BC|=|FC|．
设C（a，b），则|a|=|b|． ①
又圆C过点P（1，2）和Q（―2，3），
∴圆心在PQ的垂直平分线上，
即，即y=3x+4，∴b=3a+4． ②
由①知a=±b，代入②得或．
∴或5．
故所求的圆的方程为(x+1)2+(y―1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25．
即x2+y2+2x―2y―3=0或x2+y2+4x+4y―17=0．
解法二：设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．
∵圆C过点P（1，2）和Q（－2，3），
∴，解得．
∴圆C的方程为x2+y2+Dx+(3D―8)y+11―7D=0，将y=0代入得x2+Dx+11―7D=0．
∴圆C在x轴上截得的弦长为．将x=0代入得y2+(3D―8)y+11―7D=0，
∴圆C在y轴上截得的弦长为．
由题意有，即D2―4(11―7D)=(3D―8)2―4(11―7D)，解得D=4或D=2．
故所求的圆的方程为x2+y2+4x+4y―7=0或x2+y2+2x―2y―3=0．
【总结升华】 （1）本例（1）的解法二思维迂回链过长，计算量过大，而解法一则较为简捷，因此，当所有已知的条件与圆心和半径都无直接关系，在求该圆的方程时，一般设圆的方程为一般方程，再用待定系数法来确定系数即可．
（2）本例（2）中，尽管所给的条件也都与圆心和半径无直接关系，但可通过画图分析，利用平面几何知识，找到与圆心和半径相联系的蛛丝马迹，从而避免了选用圆的一般方程带来的繁琐的计算．
（3）一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件．
举一反三：
【变式1】如图，等边△ABC的边长为2，求这个三角形的外接圆的方程，并写出圆心坐标和半径长．

【答案】，，
类型三：点与圆的位置关系
例5．判断点M（6，9），N（3，3），Q（5，3）与圆(x―5)2+(y―6)2=10的位置关系．
【答案】M在圆上 N在圆外 Q在圆内
【解析】∵圆的方程为(x―5)2+(y―6)2=10，
分别将M（6，9），N（3，3），Q（5，3）代入得
(6―5)2+(9―6)2=10，∴M在圆上；
(3―5)2+(3―6)2=13＞10，∴N在圆外；
(5―5)2+(3―6)2=9＜10，∴Q在圆内．
【总结升华】点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为O，半径为r，则点P在圆内|PQ|＜r；点P在圆上|PQ|=r；点P在圆外|PO|＞r．从数的角度来看，设圆的标准方程为(x―a)2+(y―b)2=r2，圆心为A（a，b），半径为r，则点M（x0，y0）在圆上(x0―a)2+(y0―b)2=r2；点M（x0，y0）在圆外(x0―a)2+(y0―b)2＞r2；点M（x0，y0）在圆内(x0―a)2+(y0―b)2＜r2．
举一反三：
【变式1】点（a+1，a―1）在圆的内部，则a的取值范围是________．
【思路点拨】直接把点（a+1，a―1）代入圆的方程左边小于0，解不等式可得a的范围．
【答案】（－∞，1）
【解析】∵点（a+1，a―1）在圆的内部（不包括边界），
∴ ，
整理得：a＜1．
故答案为：（－∞，1）．
类型四：轨迹问题
例6．（2018 广东中山市模拟）已知曲线C上任意一点到原点的距离与到A（3，―6）的距离之比均为．
（1）求曲线C的方程．
（2）设点P（1，―2），过点P作两条相异直线分别与曲线C相交于B，C两点，且直线PB和直线PC的倾斜角互补，求证：直线BC的斜率为定值．
【思路点拨】（1）利用直接法，建立方程，即可求曲线C的方程．
（2）直线与圆的方程联立，求出A，B的坐标，利用斜率公式，即可证明直线BC的斜率为定值．
【答案】（1）；（2）直线BC的斜率为定值．
【解析】（1）曲线C上的任意一点为Q（x，y），
由题意得
（2）证明：由题意知，直线PB和直线PC的斜率存在，且互为相反数，P（1，―2），
故可设PA：y+2=k（x―1），
由
因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得，
同理，，
所以
故直线BC的斜率为定值．
【总结升华】本例求轨迹方程的方法是直接法．用直接法求曲线方程的步骤如下：
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为M（x，y）；
（2）几何点集：写出满足题设的点M的集合P={M|P (M)}；
（3）翻译列式：将几何条件P（M）用坐标x、y表示，写出方程f (x,y)=0；
（4）化简方程：通过同解变形化简方程；
（5）查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点．
例7．已知定点A（4，0），P点是圆x2+y2=4上一动点，Q点是AP的中点，求Q点的轨迹方程．
【答案】(x―2)2+y2=1
【解析】 设Q点坐标为（x，y），P点坐标为（x＇，y＇），则且，即x＇=2x―4，y＇=2y．
又P点在圆x2+y2=4上，∴x＇2+y＇2=4，将x＇=2x―4且y＇=2y代入得(2x―4)2+(2y)2=4，即(x―2)2+y2=1．
故所求的轨迹方程为(x―2)2+y2=1．
【总结升华】 本题是求轨迹时常用的方法——代入法，对于“双动点”问题，即若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时，通常用这一方法．代入法是先设所求轨迹的动点坐标为（x，y），在已知曲线上运动的点的坐标为（x＇，y＇），用x，y表示x＇，y＇，即x＇=f (x,y)，y＇=g (x,y)，并将它代入到已知曲线方程，即求出所求动点的轨迹方程．一般情况下，证明可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，即扣除不合题意的解或补上失去的解．
举一反三：
【变式1】已知定点A（2，0），点Q是圆x2+y2=1上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程．
【答案】
【变式2】平面内到两定点距离的比值是一个不等于1的常数的动点的轨迹是一个圆．
【解析】以两定点所在的直线为轴，以两定点所在线段的中垂线为轴建立直角坐标系，设两定点分别为，设动点，则
，
，
整理得：
所以，即
所以动点的轨迹是一个圆．
【巩固练习】
1．圆(x―1)2+y2=1的圆心到直线的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
2．点P（m2，5）与圆x2+y2=24的位置关系是（ ）
A．点P在圆外 B．点P在圆上 C．点P在圆内 D．不确定
3．曲线关于（ ）
A．直线轴对称 B．直线轴对称
C．点中心对称 D．点中心对称
4．（2018春 福建期中）若方程x2+y2+2λx+2λy+ 2λ2―λ+1=0表示圆，则λ的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B． C． D．R
5．已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A（1，0），B（5，0），此圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
6.方程所表示的曲线是（ ）
A．一个圆 B.圆 C． 半个圆 D． 四分之一个圆
7．点P（4，―2）与圆x2+y2=4上任一点连结的中点轨迹方程是（ ）
A．(x―2)2+(y+1)2=1 B．(x―2)2+(y―1)2=4
C．(x―4)2+(y―2)2=1 D．(x―2)2+(y―1)2=1
8. 若直线过圆的圆心，则ab的最大值为( )
A. B. C.4 D.16
9．直线3x+4y-12=0和两坐标轴围成的三角形的外接圆的方程是 .
10．已知圆C的圆心位于第二象限且在直线y=2x+1上，若圆C与两个坐标轴都相切，则圆C的标准方程是________．
11．已知圆x2+y2+kx+2y+k2=0，当该圆面积取得最大值时，圆心坐标为________．
12．设P为圆上的动点，则点P到直线的距离的最小值是 .
13．已知圆O的方程为x2+y2=9，过点A（1，2）作圆的弦，求弦的中点P的轨迹．
14．已知圆C：(x―3)2+(y―4)2=1，点A（0，―1），B（0，1），设P是圆C上的动点，令d=|PA|2+|PB|2，求d的最大值及最小值．
15．（2018 福建龙岩模拟）已知点P到两个顶点M（―1，0），N（1，0）距离的比为
（1）求动点P的轨迹C的方程
（2）过点M的直线l与曲线C交于不同的两点A，B，设点A关于x轴的对称点Q（A，Q两点不重合），证明：点B，N，Q在同一条直线上．
16．（2017年 江苏泰州区一模）已知圆C的圆心在直线y=2x上，且与直线l：x+y+1=0相切于点P（－1，0）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若A（1，0），点B是圆C上的动点，求线段AB中点M的轨迹方程，并说明表示什么曲线．
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】 圆(x―1)2+y2=1的圆心为（1，0），由点到直线的距离公式得．
2．【答案】A
【解析】 因为(m2)2+52=m4+25＞24，所以点P在圆外．
3．D
4．【答案】A
【解析】因为方程x2+y2+2λx+2λy+2λ2―λ+1=0表示圆，
所以D2+E2―4F＞0，
即4λ2+4λ2―4(2λ2―λ+1)＞0，
解不等式得λ＞1，
即λ的取值范围是（1，+∞）．
故选A．
5．【分析】由已知得圆心坐标为（3，0），圆半径，由此能求出圆的方程．
【答案】A
【解析】∵圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A（1，0），B（5，0），
∴圆心坐标为（3，0），圆半径，
∴圆的方程为 ．
故选：A．
【点评】本题考查圆的标准方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．
6．【答案】C
【解析】方程可以等价变形为，
且．
即，且．
所以，方程所表示的曲线是半个圆．
7．【答案】A
【解析】 设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，，代入x2+y2=4，得(2x―4)2+(2y+2)2=4，化简得(x―2)2+(y+1)2=1．
8. 【答案】B
【解析】圆心为(-1，-1)，所以.则.则.
由于，所以当时，ab取得最大值为.故选B.
9．【答案】
【解析】直线与两坐标轴的交点是A、B，AB为圆的直径，即AB的中点为圆心，AB长的一半为圆的半径.
10．【分析】与坐标轴相切，所以圆心到两个坐标轴距离相等，结合圆心在y=2x+1上，求出圆心坐标，可得圆的半径，从而可得圆的标准方程．
【答案】
【解析】与坐标轴相切，所以圆心到两个坐标轴距离相等，所以x=y或x=―y，
又圆心在y=2x+1上，
若x=y，则x=y=―1；若x=―y，则，，
所以圆心是（―1，―1），或，
∵圆心位于第二象限，
∴圆心坐标为：，
因为半径就是圆心到切线距离，即到坐标轴距离，
所以，
所以所求圆的标准方程为：，
故答案为：．
11．【答案】（0，―1）
【解析】 当圆的半径长最大时，圆的面积最大．由x2+y2+kx+2y+k2=0得，
．当k=0时，最大，半径长也最大，此时圆心坐标为（0，―1）．
12．【答案】1
【解析】圆的圆心是O(0，0)，圆心O到直线的距离是，
所以点P到直线的距离的最小值是.故填1.
13．【答案】以为圆心，半径长为的圆
【解析】由垂径定理可知OP⊥PA，故P点的轨迹是以OA为直径的圆．而O（0，0），A（1，2），所以点P的轨迹方程为x2+y2―x―2y=0，点P的轨迹是以为圆心，半径长为的圆．
14．【答案】74，34
【解析】 设点P的坐标为（x0，y0），
∴
.
问题转化为求点P到原点O的距离的最值，如图，
∵O在圆外，∴|OP|max=|CO|+1=5+1=6,
|PO|min=|CO|―1=5―1=4，
∴dmax=2×62+2=74，dmin=2×42+2=34．
15．【答案】（1）x2+y2―6x+1=0；（2）略
【解析】（1）设P（x，y），则
∵点P到两个顶点M（―1，0），N（1，0）距离的比为，
∴，
整理得x2+y2―6x+1=0，
∴动点P的轨迹C的方程是x2+y2―6x+1=0；
（2）证明：由题意，直线l存在斜率，设为k（k≠0），直线l的方程为y=k（x+1）
代入x2+y2―6x=1=0，
化简得(1+k2)x2+(2k2―6)x+k2+1=0，
Δ＞0，可得―1＜k＜1．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则Q（x1，―y1），且x1x2=1，
∴，
∴B，N，Q在同一条直线上．
16．【分析】（Ⅰ）根据题意，可得圆心C（a，b）满足b=a+1且b=2a，解出a=1且b=2．直线l与圆相切，由点到直线的距离公式算出半径，从而可得圆C的方程；
（Ⅱ）设M（x，y）、，由中点坐标公式算出且，代入圆C方程化简即可得到M的轨迹，表示以（1，1）为圆心，为半径的圆．
【解析】（Ⅰ）设圆心C（a，b）半径为r，则有b=2a，
又∵C落在过P且垂直于l的直线y=x+1上，
∴b=a+1，解得a=1，b=2，从而
∴圆C的方程为：
（Ⅱ）设M（x，y），，则有，，
解得，，代入圆C方程得：，
化简得
表示以（1，1）为圆心，为半径的圆．