高中数学必修二知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：33【基础】直线与圆的方程的应用

直线与圆的方程的应用
【学习目标】
1．能利用直线与圆的方程解决有关的几何问题；
2．能利用直线与圆的方程解决有关的实际问题；
3．进一步体会、感悟坐标法在解决有关问题时的作用．
【要点梳理】
要点一、用直线与圆的方程解决实际问题的步骤
1．从实际问题中提炼几何图形；
2．建立直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面问题转化为代数问题；
3．通过代数运算，解决代数问题；
4．将结果“翻译”成几何结论并作答．
要点二、用坐标方法解决几何问题的“三步曲”
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”.
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.
要点诠释：
坐标法的实质就是借助于点的坐标，运用解析工具(即有关公式)将平面图形的若干性质翻译成若干数量关系.在这里，代数是工具、是方法，这是笛卡儿解析几何的精髓所在.
要点三、用坐标法解决几何问题时应注意以下几点
1．建立直角坐标系时不能随便，应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系；
2．在实际问题中，有些量具有一定的条件，转化成代数问题时要注意范围；
3．最后要把代数结果转化成几何结论．
【典型例题】
类型一：直线与圆的方程的实际应用
例1. 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需要用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到0.01m）.
【答案】3.86m
【解析】建立坐标系如图所示.圆心的坐标是(0，ｂ)，圆的半径是ｒ，那么圆的方程是：
因为P(0,4)、B(10,0)都在圆上，所以
解得，.所以圆的方程为
把代入圆的方程得，所以,即支柱的高度约为3.86m.
举一反三：
【变式1】某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东300 km处，以40 km/h的速度向西偏北30°方向移动.据测定，距台风中心250 km的圆形区域内部都将受到台风影响，请你推算该市受台风影响的起始时间与持续时间.(精确到分钟)
【答案】90 10 h.
【解析】利用坐标法来求解.如图，不妨先建立直角坐标系xOy，其中圆A的半径为250 km，过B(300，0)作倾斜角为150°的直线交圆于点C、D，则该市受台风影响的起始与终结时间分别为C开始至D结束，然后利用圆的有关知识进行求解.
以该市所在位置A为原点，正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系，开始时台风中心在B(300，0)处，台风中心沿倾斜角为150°方向的直线移动，其轨迹方程为y=(x-300)(x≤300).
该市受台风影响时，台风中心在圆x2+y2=2502内，设射线与圆交于C、D，则CA=AD=250，∴台风中心到达C点时，开始影响该市，中心移至D点时，影响结束，作AH⊥CD于H，则
AH=AB·sin30°=150，HB=，CH=HD==200，
∴BC=-200，则该市受台风影响的起始时间t1=≈1.5(h)，
即约90分钟后台风影响该市，台风影响的持续时间t2==10(h)，即台风对该市的影响持续时间为10 h.
【总结升华】应用问题首先要搞清题意，最好是画图分析，运用坐标法求解，首先要建立适当的坐标系，设出点的坐标.还要搞清里面叙述的术语的含义.
构造圆的方程进行解题(如求函数的最值问题)时，必须充分联想其几何意义，也就是由数思形.如方程y=1+表示以(0，1)为圆心，1为半径的上半圆，表示原点与曲线f(x，y)=0上动点连线的斜率.
类型二：直线与圆的方程在平面几何中的应用
例2．如图，在圆O上任取C点为圆心，作一圆与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆D交于E、F，求证：EF平分CD．
证明：令圆O方程为x2+y2=1． ①
EF与CD相交于H，令C（x1，y1），则可得圆C的方程
(x－x1)+(y－y1)2=y12，即x2+y2－2x1x－2y1y+x12=0． ②
①－②得2x1x+2y1y－1－x12=0． ③
③式就是直线EF的方程，设CD的中点为H＇，其坐标为，
将H＇代入③式，得．
即H＇在EF上，∴EF平分CD．
【总结升华】 利用直线与方程解决平面几何问题时，要充分利用圆的方程、直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系等有关知识，正确使用坐标方法，使实际问题转化为代数问题，然后通过代数运算解决代数问题，最后解释代数运算结果的实际含义．
举一反三：
【变式1】平面内动点P满足到定点的距离之比为，请问动点P的轨迹是什么图形？
【答案】
【解析】不妨设，以线段AB为x轴，其中垂线为y轴建立直角坐标系，那么A（-1，0），B(1，0).设P（x,y）.则，化简得到表示一个圆.
类型三：直线与圆的方程在代数中的应用
例3．已知圆与直线：3x―4y―1=0和：4x+3y+1=0都有公共点，求的取值范围．
【思路点拨】圆与二直线：3x―4y―1=0和：4x+3y+1=0都有公共点，可得圆心C到直线的距离小于等于半径，即可求的取值范围．
【答案】
【解析】∵圆：，圆心为C（a，b），半径为1．
∵直线：3x―4y―1=0和圆：有公共点，
∴圆心C到直线的距离：，即 ①
∵直线：4x+3y+1=0和圆：有公共点，
∴圆心C到直线的距离：，即 ②
∴作出①②不等式组表示的平面区域如图：

∴由 得，A（2，0）．
∴由的几何意义可得，最大值为，最小值为，
∴的取值范围为．
举一反三：
【变式1】设函数和，已知当x∈[－4，0]时，恒有，求实数a的取值范围．
【答案】
【解析】因为，所以，即，分别画出和的草图，利用数形结合法，当直线与半圆相切时取到最大值，由圆心到直线的距离为2，求出，即得答案．
类型四：直线与圆的方程的综合应用
例4．（2018春 辽宁庄河市期中）已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线相切．
（1）求圆C的方程；
（2）求直线l2：4x－3y+5=0被圆C所截得的弦AB的长；
（3）过点G（1，3）作两条与圆C相切的直线，切点分别为M，N，求直线MN的方程．
【思路点拨】（1）设出圆的方程，由直线和圆相切的条件，求得半径，即可得到圆的方程；
（2）求出圆心到直线的距离，运用直线和圆相交的弦长公式，即可得到；
（3）判断出C，M，N，G四点共圆，求出圆的方程，再与圆C方程相减，即可得到相交弦方程．
【答案】（1）x2+y2=4；（2）；（3）x+3y―4=0
【解析】（1）设圆的方程为：x2+y2=r2，
由于圆C与直线相切，
则，
则有圆C：x2+y2=4；
（2）圆收到直线l2：4x－3y+5=的距离为，
则被圆C所截得的弦AB的长为；
（3）过点G（1，3）作两条与圆C相切的直线，切点分别为M，N，
由CM⊥MG，CN⊥NG，则四点C，M，G，N共圆，且以PC为直径，
则方程为，①
又圆C：x2+y2=4，②
由于MN为两圆的公共弦，
则①－②，可得，x+3y―4=0．
【总结升华】解决直线与圆的综合问题，一方面，我们要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面由于直线与圆和平面几何联系得十分紧密（其中直线与三角形、四边形紧密相连），因此我们要充分挖掘几何图形中所隐含的条件（性质），利用几何知识使问题得到较简捷的解决．
举一反三：
【变式1】若圆C：与y轴交于A，B两点，且∠ACB=90°，求实数m的值．
【思路点拨】由圆C：与y轴交于A，B两点，且∠ACB=90°，知圆心C（2，―1），过点C作y轴的垂线交y轴于点D，在等腰直角三角形BCD中，CD=BD=2，由此能求出实数m．
【答案】―3
【解析】∵圆C：，
∴ ，
圆心C（2，―1），
因为∠ACB=90°，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，
在等腰直角三角形BCD中，CD=BD=2，
∴ ，
解得m=―3．
【巩固练习】
1．直线与圆的位置关系是( )
A．相切 B．相离 C．相切或相交 D．相切或相离
2．圆C1：x2+y2+4x-4y+7=0与圆C2：x2+y2-4x-10y+13=0的公切线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．与圆x2+(y-2)2=1相切，且在两轴上截距相等的直线有( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．6条
4．直线ax+by=c与圆x2+y2=1相切，且a、b、c均不为零，则以|a|、|b|、|c|为长度的线段能构成( )
A．不等边锐角三角形 B．等腰锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
5．（2017春 河北衡水期末）若圆：关于直线l：ax+4y―6=0对称，则直线l的斜率是（ ）
A．6 B． C． D．
6．直线2x－y=0与圆C：(x－2)2+(y+1)2=9交于A、B两点，则△ABC（C为圆心）的面积等于（ ）．
A． B． C． D．
7．圆(x－4)2+(y－4)2=4与直线y=kx的交点为P、Q，原点为O，则|OP|·|OQ|的值为（ ）．
A． B．28 C．32 D．由k确定
8．点P是直线2x+y+10=0上的动点，直线PA、PB分别与圆x2+y2=4相切于A、B两点，则四边形PAOB（O为坐标原点）的面积的最小值等于（ ）．
A．24 B．16 C．8 D．4
9．（2018 山西太原二模）已知过点P（2，2）的直线与圆(x―1)2+y2=5相切，且与直线ax―y+1=0垂直，则a=________．
10．过原点的直线与圆x2+y2－2x－4y+4=0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________．
11．设圆的弦的中点为，则直线的方程是 ．
12．若过定点M（―1，0）且斜率为k的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是 ．
13．（2017春 江苏宿迁期末）已知圆D的半径为1，圆C的方程是，若圆D与圆C相切于点（4，―1），求圆D的标准方程．
14．（2018春 黑龙江肇东市期末）已知圆C：x2+y2=4和直线l：3x+4y+12=0，点P是圆C上的一动点，直线与坐标轴的交点分别为点A、B，
（1）求与圆C相切且平行直线l的直线方程；
（2）求△PAB面积的最大值．
15．有弱、强两个喇叭在O、A两处，若它们的强度之比为1∶4，且相距60 m，问在什么位置听到两个喇叭传来的声音强度是相等的？
【答案与解析】
1．【答案】C
直线过定点．又，∴点在圆上，过圆上一点的直线与圆的位置关系有两种相切或相交．
2． 【答案】C
【解析】两圆公切线的条数取决于两圆的位置关系，相离：4条;外切：3条;相交：2条;内切：1条;内含：0条．C1：(x+2)2+(y-2)2=1，C2：(x-2)2+(y-5)2=16，C1C2=5=r1+r2，故两圆外切，公切线共3条．
3． 【答案】C
【解析】此题主要考查圆的切线及直线的截距的概念．过原点的有2条;斜率为-1的有2条．
4． 【答案】C
【解析】由圆心到直线的距离为圆的半径1，得=1，两边平方得a2+b2=c2．
5．【答案】C
【分析】由题意可知直线通过圆的圆心，求出圆心坐标代入直线方程，即可得到a的值，然后求出直线的斜率．
【解析】圆：关于直线l：ax+4y―6=0对称，则直线通过圆心（3，―3），
故3a―12―6=0，∴a=6，
∴直线l的斜率，
故选：C．
6．【答案】A
【解析】 ∵圆心到直线的距离，
∴，∴．
7．【答案】B
【解析】 由平面几何知识可知|OP|·|OQ|等于过O点圆的切线长的平方．
8．【答案】C
【解析】 ∵四边形PAOB的面积，∴当直线OP垂直直线2x+y+10=0时，其面积S最小．
9．【答案】2
【解析】因为点P（2，2）满足圆(x―1)2+y2=5的方程，所以P在圆上，
又过点P（2，2）的直线与圆(x―1)2+y2=5相切，且与直线ax―y+1=0垂直，
所以切点与圆心连线与直线ax―y+1=0平行，
所以直线ax―y+1=0的斜率为：．
故答案为：2．
10．【答案】2x―y=0
【解析】 设所求直线方程为y=kx，即kx―y=0．由于直线kx―y=0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，由此得圆心到直线距离等于，即圆心位于直线kx―y=0上，于是有k―2=0，即k=2，因此所求直线方程为2x―y=0．
11．【答案】
【解析】
12．【答案】．
【分析】化简圆的方程求出圆与y正半轴的交点，画出图象，即可推出过定点M（―1，0）斜率为k的直线的范围．
【解析】圆与y正半轴交于，
因为过定点M（―1，0），
且斜率为k的直线与圆在第一象限内的部分有交点，如图，
∴ ，
∴0＜k＜，∴k的取值范围是．
故答案为：．
13．【答案】或．
【分析】分两圆外切、内切两种情况，分别求得圆心的坐标，可得要求的圆的方程．
【解析】圆的圆心为C（2，―1），半径为2，
设所求的圆心坐标为（a，b），
切点为A（4，―1）且半径为1的圆满足，①
（1）若两圆外切，则，②
由①②得a=5，b=―1，即此时圆心为M（5，―1），
（2）若两圆内切，则，③
由①③得a=3，b=―1，即此时圆心为N（3，―1），
故要求的圆的方程为或．
【点评】主题主要两圆相切的性质，求圆的标准方程，求出圆心的坐标，是解题的关键，注意要分内切和外切两种情况．
14．【答案】（1）3x+4y±10=0；（2）11
【解析】（1）设所求直线方程为3x+4y+a=0，
由题意得：圆心（0，0）到直线的距离d=r，即，
解得：a=±10，
则所求直线方程为3x+4y±10=0；
（2）当直线与AB平行，且与圆相切时，△PAB面积的最大值，
此时直线方程为3x+4y－10=0，
∵点C到直线AB的距离，CM=2，
∴，
∵A（－4，0），B（0，3），即OA=4，OB=3，
∴|AB|=5，
即△PAB面积最大值为．
15．【答案】P点的轨迹是以（－20，0）为圆心，40为半径长的圆周，也就是在此圆周上听到的声音强度相等
【解析】以OA为x轴，O为坐标原点建立如图所示的直角坐标系．
设在P（x，y）处听到O、A两处的喇叭声音强度相等．
由物理学知，即，整理得(x+20)2+y2=402．
故P点的轨迹是以（－20，0）为圆心，40为半径长的圆周，也就是在此圆周上听到的声音强度相等．