高中数学必修二知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：36【提高】空间直角坐标系
文档属性
| 名称 | 高中数学必修二知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：36【提高】空间直角坐标系 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 467.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-07 19:36:34 | ||
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文档简介
空间直角坐标系
【学习目标】
通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.
【要点梳理】
要点一、空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy平面、yOz平面、zOx平面.
2.右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
3.空间点的坐标
空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
要点二、空间直角坐标系中点的坐标
1.空间直角坐标系中点的坐标的求法
通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.
特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为.
2.空间直角坐标系中对称点的坐标
在空间直角坐标系中，点，则有
点关于原点的对称点是；
点关于横轴(x轴)的对称点是；
点关于纵轴(y轴)的对称点是；
点关于竖轴(z轴)的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是.
要点三、空间两点间距离公式
1.空间两点间距离公式
空间中有两点，则此两点间的距离
.
特别地，点与原点间的距离公式为.
2.空间线段中点坐标
空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为.
【典型例题】
类型一：空间坐标系
例1．画一个正方体ABCD—A1B1C1D1，以A为坐标原点，以棱AB、AD、AA1所在直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系。
（1）求各顶点的坐标；
（2）求棱C1C中点的坐标；
（3）求平面AA1B1B对角线交点的坐标。
【答案】（1）略（2）（3）
【解析】如图所示，由棱长为1，可得
（1）各顶点坐标分别是A（0，0，0）、B（1，0，0）、C（1，1，0）、D（0，1，0）、A1（0，0，1）、B1（1，0，1）、C1（1，1，1）、D1（0，1，1）；
（2）棱CC1中点为；
（3）平面AA1B1B对角线交点为。
【总结升华】（1）空间的中点坐标公式：设A（x1，y1，z1）、B（x2，y2，z2），则AB的中点为。
（2）熟记坐标轴上点的坐标和坐标平面上点的坐标表示的特征。
举一反三：
【变式1】在如图所示的空间直角坐标系中，OABC—D1A1B1C1是单位正方体，N是BB1的中点，求这个单位正方体各顶点和点N的坐标．
【答案】O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），N（1，1，）。
例2．在平面直角坐标系中，点P（x，y）的几种特殊的对称点的坐标如下：
（1）关于原点的对称点是P＇（－x，－y）；
（2）关于轴的对称点是P＂（x，－y）；
（3）关于轴的对称点是P（－x，y）．
那么，在空间直角坐标系内，点P（x，y，z）的几种特殊的对称点坐标为：
①关于原点的对称点是P1________；
②关于横轴（x轴）的对称点是P2________；
③关于纵轴（y轴）的对称点是P3________；
④关于竖轴（z轴）的对称点是P4________；
⑤关于xOy坐标平面的对称点是P5________；
⑥关于yOz坐标平面的对称点是P6________；
⑦关于zOx坐标平面的对称点是P7________．
【答案】①（－x，－y，－z） ②（x，－y，－z） ③（－x，y，－z） ④（－x，－y，z）
⑤（x，y，－z） ⑥（－x，y，z） ⑦（x，－y，z）
【解析】类比平面直角坐标系，在空间直角坐标系有如下
结论：①P1（－x，－y，－z）；②P2（x，－y，－z）；③P3（－x，y，－z）；④P4（－x，－y，z）；⑤P5（x，y，－z）；⑥P6（－x，y，z）；⑦P7（x，－y，z）．
【总结升华】上述结论的证明，可类比平面直角坐标系的方法加以证明：如P点关于原点的对称点P1，则有PP1的中点为原点。由中点坐标公式即可求出P1点坐标．
上述结论的记忆方法：“关于谁对称谁不变，其余的相反”，如关于轴对称的点，横坐标不变，纵、竖坐标变为原来的相反数；关于坐标平面对称的点，横、纵坐标不变，竖坐标相反．
举一反三：
【变式1】（1）在空间直角坐标系中，点P（－2，1，4）关于x轴对称的点的坐标是（ ）．
A．（－2，1，－4） B．（－2，－1，－4） C．（2，－1，4） D．（2，1，－4）
（2）在空间直角坐标系中，点P（－2，1，4）关于xOy平面对称的点的坐标是（ ）．
A．（－2，1，－4） B．（－2，－l，－4） C．（2，－1，4） D．（2，1，－4）
【答案】（1）B （2）A
【变式2】（2017春 福建漳州期末）如图，长方体中，|OA|=4，|OC|=6，，与相交于点P，则点P的坐标是（ ）
A．（6，2，1） B．（1，2，6）
C．（4，6，2） D．（2，6，1）
【思路点拨】根据图中直角坐标系，得出点B、的坐标，再求出的中点坐标P．
【答案】D
【解析】根据题意，得：
点B（4，6，0），点（0，6，2），
且P是的中点，
∴，即P（2，6，1）．
故选D．
类型二：两点间的距离公式
例3．如图所示，在长方体OABC—O1A1B1C1中，|OA|=2，|AB|=3，|AA1|=2，过点O作OD⊥AC于D，求点O1到点D的距离。
【答案】
【解析】由题意得A（2，0，0），O1（0，0，2），C（0，3，0）。
设D（x，y，0）。在Rt△AOC中，
|OA|=2，|OC|=3，，∴．
如右图，过点D分别作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，则Rt△ODA与Rt△OMD相似，
可得，∵|OM|=x，∴|OD|2=x·|OA|，∴．
同样的，利用Rt△ODC与Rt△ODN相似，
可得．∴．
∴．
【总结升华】若原题目中没有建立坐标系，要注意根据几何图形建立合适的坐标系，原则是尽可能多的点在坐标轴或坐标平面上。
举一反三：
【变式1】在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=AD=6，AA1=4，点M在A1C1上，|MC1|=2|A1M1|，N在C1D上且为C1D的中点，求M、N两点间的距离．
【答案】M、N两点间的距离为。
【变式2】（2018 湖北枣阳市月考）在空间直角坐标系中，解答下列各题：
（1）在x轴上求一点P，使它与点P0（4，1，2）的距离为；
（2）在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M，使它到点N（6，5，1）的距离最小．
【思路点拨】（1）设出x轴上的点的坐标，根据它与已知点之间的距离，写出两点之间的距离公式，得到关于未知数的方程，解方程即可，注意不要漏掉解，两个结果都合题意．
（2）先设点M（x，1－x，0），然后利用空间两点的距离公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可．
【答案】（1）（9，0，0）或（―1，0，0）；（2）（1，0，0）
【解析】（1）设点P的坐标是（x，0，0），
由题意，
即，
∴(x―4)2=25，解得x=9或x=―1．
∴点P坐标为（9，0，0）或（―1，0，0）．
先设点M（x，1―x，0），然后利用空间两点的距离公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可．
（2）设点M（x，1―x，0）
则
∴当x=1时，．
∴点M的坐标为（1，0，0）时到点N（6，5，1）的距离最小．
例4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为平面A1B1C1D1的中心，求证：PA⊥PB1．
【解析】如图，建立空间直角坐标系D-xyz，设棱长为1，则A（1，0，0），B1（1，1，1），，
由两点间的距离公式得
，
，。
∵|AP|2+|PB1|2=|AB1|2=2，∴AP⊥PB1．
【总结升华】本例的求解方法尽管很多，但利用坐标法求解，应该说是既简捷又易行，方法的对照比较，也更体现出了坐标法解题的优越性．
依据题中的垂直关系，建立恰当的坐标系，利用空间中两点问的距离公式可以求距离、证垂直、求
举一反三：
【变式1】如右图所示，已知PA⊥平面ABCD，平面ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN⊥AB。
【答案】如图所示，以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），设B（a，0，0），D（0，b，0），P（0，0，c），因为M、N分别是AB、PC的中点，所以，。
方法一：连接AN，在△AMN中，有，，，所以|AN|2=|MN|2+|AM|2，所以MN⊥AB。
方法二：连接AN、BN，因为，，所以|AN|2=|BN|2，即|AN|=|BN|，所以△ABN为等腰三角形，又M为底边AB的中点，所以MN⊥AB。
例5．正方形ABCD，ABEF的边长都是1，并且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动。若|CM|=|BN|=a（）。
（1）求MN的长度；
（2）当a为何值时，MN的长度最短。
【答案】（1）（2）
【解析】因为平面ABCD⊥平面ABEF，且交线为AB，BE⊥AB，所以BE⊥平面ABCD，所以BA，BC，BE两两垂直。取B为坐标原点，过BA，BE，BC的直线分别为x轴，y轴和z轴，建立如图4-3-12所示的空间直角坐标系。
因为|BC|=1，|CM|=a，且点M在坐标平面xBz内且在正方形ABCD的对角线上，所以点。
因为点N在坐标平面xBy内且在正方形ABEF的对角线上，|BN|=a，所以点。
（1）由空间两点间的距离公式，得
，
即MN的长度为。
（2）由（1）得，当（满足）时，取得最小值，即MN的长度最短，最短为。
【总结升华】由于图形中出现了两两垂直的三条直线，因此采用了建立空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题的方法求解，利用空间两点间的距离公式求得MN的长度，并利用二次函数求MN的最小值。
举一反三：
【变式1】正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，M为AC的中点，点N在DD1上运动，求|MN|的最小值.
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系.由题意可知点M的坐标为(，，0)，由于点N在z轴上，故设N的坐标为(0，0，z)，由两点间的距离公式可得：|MN|=.要使|MN|最小，只需z=0，∴当点N在原点时，|MN|有最小值为.
【巩固练习】
1．点（1，0，2）位于（ ）．
A．y轴上 B．x轴上 C．xOz平面内 D．yOz平面内
2．点P（－1，2，3）关于xOy平面对称的点的坐标是（ ）．
A．（1，2，3） B．（－1，－2，3）
C．（－1，2，－3） D．（1，－2，－3）
3．在空间直角坐标系中，点P（3，4，5）关于yOz平面对称的点的坐标为（ ）．
A．（－3，4，5） B．（－3，－4，5）
C．（3，－4，－5） D．（－3，4，－5）
4．在空间直角坐标系中，P（2，3，4），Q（－2，－3，－4）两点的位置关系是（ ）．
A．关于x轴对称 B．关于yOz平面对称
C．关于坐标原点对称 D．以上都不对
5．已知A（―3，1，―4），B（5，―3，6），设线段AB的中点为M，点A关于x轴的对称点为N，则|MN|=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），则△ABC的形状为（ ）．
A．正三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
7．在空间直角坐标系中，x轴上到点P（4，1，2）的点的距离为的点有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
8．到两点A（3，4，5），B（－2，3，0）距离相等的点（x，y，z）的坐标满足的条件是（ ）．
A．10x+2y+10z－37=0 B．5x－y+5z－37=0
C．10x－y+10z+37=0 D．10x－2y+10+37=0
9．已知A（4，－7，1），B（6，2，z），若|AB|=10，则z=________．
10．已知点A（1，，－5），B（2，－7，－2），则|AB|的最小值为________．
11．（2018 广东惠州模拟）在空间直角坐标系中，已知点A（2，4，―3），B（0，6，―1），则以线段AB为直径的圆的面积等于________．
12．若A（1，2，1），B（2，2，2），点P在x轴上，且|PA|=|PB|，则点P的坐标为________．
13．（1）在空间直角坐标系O-xyz中，画出不共线的3个点P、Q、R，使得这3个点的坐标都满足z=3，并画出图形；
（2）写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件．
14．求证：以A（4，1，9），B（10，―1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形．
15．（2018 广东东莞市期末）（1）在z轴上求与点A（―4，1，7）和B（3，5，―2）等距离的点的坐标．
（2）在yOz平面上，求与点A（3，1，2）、B（4，―2，―2）和C（0，5，1）等距离的点的坐标．
16．如图以正方体的三条棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系O-xyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．
（1）当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值；
（2）当点Q为棱CD的中点，点P在对角线AB上运动时，探究|PQ|的最小值．
【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】点（1，0，2）的纵坐标为0，所以该点在xOz平面内．
2．【答案】C
【解析】若点关于xOy平面对称，则对称点的横、纵坐标不变，竖坐标为原来的相反数．
3．【答案】A
【解析】关于yOz平面对称则对应y、z值不变．故选A．
4．【答案】C
【解析】画图观察．故选C．
5．【分析】利用中点坐标公式求出M的坐标，利用对称知识求出N的坐标，通过两点间的距离公式求出结果即可．
【答案】C
【解析】∵A（―3，1，―4），B（5，―3，6），线段AB的中点为M，
∴M（1，―1，1）．
点A（―3，1，―4）关于x轴的对称点为N，N（―3，―1，4），
∴．
故选：C．
6．【答案】C
【解析】 由空间两点间的距离公式易得，，，，因为|AC|2=|BC|2=|AB|2，所以△ABC为直角三角形，故选C．
7．【答案】C
【解析】满足条件的x轴上的点的坐标可设为（a，0，0），则有，
即(a－4)2=25，解得a=0或a=－1，
所以满足条件的点为（9，0，0）或（－1，0，0）．故选C．
8．【答案】A
【解析】 由已知得|MA|=|MB|，即
，化简得10x+2y+10z－37=0．
9．【答案】
【解析】 由，解得．
10．【答案】
【解析】由空间两点间的距离公式易得，所以当a=－1时，|AB|的值最小，最小值为．
11．【答案】3π
【解析】∵点A（2，4，―3），B（0，6，―1），
∴，
∴以线段AB为直径的圆的半径为，
面积等于．
故答案为：3π．
12．【答案】（3，0，0）
【解析】由题意设P（x，0，0）
∵A（1，2，1），B（2，2，2），|PA|=|PB|，
∴，
解得x=3．
∴P（3，0，0）．
故答案为：（3，0，0）．
13．【答案】（1）如图（2）z=3
【解析】（1）取三个点P（0，0，3），Q（4，0，3），R（0，4，3）．如图．
（2）P、Q、R三点不共线，可以确定一个平面．又因为这三个点在xOy平面的同侧，且到xOy平面的距离相等，所以平面PQR平行于xOy平面，而且平面PQR内的每一个点在z轴上的射影到原点的距离都等于3，即该平面内的点的坐标都满足z=3．
14．【分析】利用两点间的距离公式求得AB、AC、BC的长度，利用勾股定理，判断△ABC为等腰直角三角形．
【证明】A（4，1，9），B（10，―1，6），C（2，4，3），
，，
，，AB=AC
故△ABC为等腰直角三角形．
15．【答案】（1）；（2）（0，1，－2）
【解析】（1）由题意设C（0，0，z），
∵C与点A（―4，1，7）和点B（3，5，―2）等距离，
∴|AC|=|BC|，
∴，
∴18z=28，
∴，
∴C点的坐标是．
（2）设yOz平面内一点D（0，y，z）与A，B，C三点距离相等，
则有|AP|2=9+(1―y)2+(2―z)2，
|BP|2=16+2(2+y)2+(2+z)2，
|CP|2=(5―y)2+(1―z)2，
由|AP|=|BP|，及|AP|=|CP|，
得
化简可得
解得
∴点P（0，1，－2）为yOz平面内到A，B，C三点等距离的点．
16．【答案】（1）（2）
【解析】设正方体的棱长为a．
（1）当点P为对角线AB的中点时，点P的坐标是．
因为点Q在线段CD上，故设Q（0，a，z），则
．
当时，|PQ|取得最小值，且最小值为．
即点Q为棱CD的中点时，|PQ|有最小值．
（2）因为点P在对角线AB上运动，点Q是定点，所以当PQ⊥AB时，PQ最短．
因为点Q为棱CD的中点，所以|AQ|=|BQ|，所以△QAB是等腰三角形，所以当P是AB的中点时，|PQ|取得最小值，且最小值为．
【学习目标】
通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.
【要点梳理】
要点一、空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy平面、yOz平面、zOx平面.
2.右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
3.空间点的坐标
空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
要点二、空间直角坐标系中点的坐标
1.空间直角坐标系中点的坐标的求法
通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.
特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为.
2.空间直角坐标系中对称点的坐标
在空间直角坐标系中，点，则有
点关于原点的对称点是；
点关于横轴(x轴)的对称点是；
点关于纵轴(y轴)的对称点是；
点关于竖轴(z轴)的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是.
要点三、空间两点间距离公式
1.空间两点间距离公式
空间中有两点，则此两点间的距离
.
特别地，点与原点间的距离公式为.
2.空间线段中点坐标
空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为.
【典型例题】
类型一：空间坐标系
例1．画一个正方体ABCD—A1B1C1D1，以A为坐标原点，以棱AB、AD、AA1所在直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系。
（1）求各顶点的坐标；
（2）求棱C1C中点的坐标；
（3）求平面AA1B1B对角线交点的坐标。
【答案】（1）略（2）（3）
【解析】如图所示，由棱长为1，可得
（1）各顶点坐标分别是A（0，0，0）、B（1，0，0）、C（1，1，0）、D（0，1，0）、A1（0，0，1）、B1（1，0，1）、C1（1，1，1）、D1（0，1，1）；
（2）棱CC1中点为；
（3）平面AA1B1B对角线交点为。
【总结升华】（1）空间的中点坐标公式：设A（x1，y1，z1）、B（x2，y2，z2），则AB的中点为。
（2）熟记坐标轴上点的坐标和坐标平面上点的坐标表示的特征。
举一反三：
【变式1】在如图所示的空间直角坐标系中，OABC—D1A1B1C1是单位正方体，N是BB1的中点，求这个单位正方体各顶点和点N的坐标．
【答案】O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），N（1，1，）。
例2．在平面直角坐标系中，点P（x，y）的几种特殊的对称点的坐标如下：
（1）关于原点的对称点是P＇（－x，－y）；
（2）关于轴的对称点是P＂（x，－y）；
（3）关于轴的对称点是P（－x，y）．
那么，在空间直角坐标系内，点P（x，y，z）的几种特殊的对称点坐标为：
①关于原点的对称点是P1________；
②关于横轴（x轴）的对称点是P2________；
③关于纵轴（y轴）的对称点是P3________；
④关于竖轴（z轴）的对称点是P4________；
⑤关于xOy坐标平面的对称点是P5________；
⑥关于yOz坐标平面的对称点是P6________；
⑦关于zOx坐标平面的对称点是P7________．
【答案】①（－x，－y，－z） ②（x，－y，－z） ③（－x，y，－z） ④（－x，－y，z）
⑤（x，y，－z） ⑥（－x，y，z） ⑦（x，－y，z）
【解析】类比平面直角坐标系，在空间直角坐标系有如下
结论：①P1（－x，－y，－z）；②P2（x，－y，－z）；③P3（－x，y，－z）；④P4（－x，－y，z）；⑤P5（x，y，－z）；⑥P6（－x，y，z）；⑦P7（x，－y，z）．
【总结升华】上述结论的证明，可类比平面直角坐标系的方法加以证明：如P点关于原点的对称点P1，则有PP1的中点为原点。由中点坐标公式即可求出P1点坐标．
上述结论的记忆方法：“关于谁对称谁不变，其余的相反”，如关于轴对称的点，横坐标不变，纵、竖坐标变为原来的相反数；关于坐标平面对称的点，横、纵坐标不变，竖坐标相反．
举一反三：
【变式1】（1）在空间直角坐标系中，点P（－2，1，4）关于x轴对称的点的坐标是（ ）．
A．（－2，1，－4） B．（－2，－1，－4） C．（2，－1，4） D．（2，1，－4）
（2）在空间直角坐标系中，点P（－2，1，4）关于xOy平面对称的点的坐标是（ ）．
A．（－2，1，－4） B．（－2，－l，－4） C．（2，－1，4） D．（2，1，－4）
【答案】（1）B （2）A
【变式2】（2017春 福建漳州期末）如图，长方体中，|OA|=4，|OC|=6，，与相交于点P，则点P的坐标是（ ）
A．（6，2，1） B．（1，2，6）
C．（4，6，2） D．（2，6，1）
【思路点拨】根据图中直角坐标系，得出点B、的坐标，再求出的中点坐标P．
【答案】D
【解析】根据题意，得：
点B（4，6，0），点（0，6，2），
且P是的中点，
∴，即P（2，6，1）．
故选D．
类型二：两点间的距离公式
例3．如图所示，在长方体OABC—O1A1B1C1中，|OA|=2，|AB|=3，|AA1|=2，过点O作OD⊥AC于D，求点O1到点D的距离。
【答案】
【解析】由题意得A（2，0，0），O1（0，0，2），C（0，3，0）。
设D（x，y，0）。在Rt△AOC中，
|OA|=2，|OC|=3，，∴．
如右图，过点D分别作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，则Rt△ODA与Rt△OMD相似，
可得，∵|OM|=x，∴|OD|2=x·|OA|，∴．
同样的，利用Rt△ODC与Rt△ODN相似，
可得．∴．
∴．
【总结升华】若原题目中没有建立坐标系，要注意根据几何图形建立合适的坐标系，原则是尽可能多的点在坐标轴或坐标平面上。
举一反三：
【变式1】在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=AD=6，AA1=4，点M在A1C1上，|MC1|=2|A1M1|，N在C1D上且为C1D的中点，求M、N两点间的距离．
【答案】M、N两点间的距离为。
【变式2】（2018 湖北枣阳市月考）在空间直角坐标系中，解答下列各题：
（1）在x轴上求一点P，使它与点P0（4，1，2）的距离为；
（2）在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M，使它到点N（6，5，1）的距离最小．
【思路点拨】（1）设出x轴上的点的坐标，根据它与已知点之间的距离，写出两点之间的距离公式，得到关于未知数的方程，解方程即可，注意不要漏掉解，两个结果都合题意．
（2）先设点M（x，1－x，0），然后利用空间两点的距离公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可．
【答案】（1）（9，0，0）或（―1，0，0）；（2）（1，0，0）
【解析】（1）设点P的坐标是（x，0，0），
由题意，
即，
∴(x―4)2=25，解得x=9或x=―1．
∴点P坐标为（9，0，0）或（―1，0，0）．
先设点M（x，1―x，0），然后利用空间两点的距离公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可．
（2）设点M（x，1―x，0）
则
∴当x=1时，．
∴点M的坐标为（1，0，0）时到点N（6，5，1）的距离最小．
例4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为平面A1B1C1D1的中心，求证：PA⊥PB1．
【解析】如图，建立空间直角坐标系D-xyz，设棱长为1，则A（1，0，0），B1（1，1，1），，
由两点间的距离公式得
，
，。
∵|AP|2+|PB1|2=|AB1|2=2，∴AP⊥PB1．
【总结升华】本例的求解方法尽管很多，但利用坐标法求解，应该说是既简捷又易行，方法的对照比较，也更体现出了坐标法解题的优越性．
依据题中的垂直关系，建立恰当的坐标系，利用空间中两点问的距离公式可以求距离、证垂直、求
举一反三：
【变式1】如右图所示，已知PA⊥平面ABCD，平面ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN⊥AB。
【答案】如图所示，以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），设B（a，0，0），D（0，b，0），P（0，0，c），因为M、N分别是AB、PC的中点，所以，。
方法一：连接AN，在△AMN中，有，，，所以|AN|2=|MN|2+|AM|2，所以MN⊥AB。
方法二：连接AN、BN，因为，，所以|AN|2=|BN|2，即|AN|=|BN|，所以△ABN为等腰三角形，又M为底边AB的中点，所以MN⊥AB。
例5．正方形ABCD，ABEF的边长都是1，并且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动。若|CM|=|BN|=a（）。
（1）求MN的长度；
（2）当a为何值时，MN的长度最短。
【答案】（1）（2）
【解析】因为平面ABCD⊥平面ABEF，且交线为AB，BE⊥AB，所以BE⊥平面ABCD，所以BA，BC，BE两两垂直。取B为坐标原点，过BA，BE，BC的直线分别为x轴，y轴和z轴，建立如图4-3-12所示的空间直角坐标系。
因为|BC|=1，|CM|=a，且点M在坐标平面xBz内且在正方形ABCD的对角线上，所以点。
因为点N在坐标平面xBy内且在正方形ABEF的对角线上，|BN|=a，所以点。
（1）由空间两点间的距离公式，得
，
即MN的长度为。
（2）由（1）得，当（满足）时，取得最小值，即MN的长度最短，最短为。
【总结升华】由于图形中出现了两两垂直的三条直线，因此采用了建立空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题的方法求解，利用空间两点间的距离公式求得MN的长度，并利用二次函数求MN的最小值。
举一反三：
【变式1】正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，M为AC的中点，点N在DD1上运动，求|MN|的最小值.
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系.由题意可知点M的坐标为(，，0)，由于点N在z轴上，故设N的坐标为(0，0，z)，由两点间的距离公式可得：|MN|=.要使|MN|最小，只需z=0，∴当点N在原点时，|MN|有最小值为.
【巩固练习】
1．点（1，0，2）位于（ ）．
A．y轴上 B．x轴上 C．xOz平面内 D．yOz平面内
2．点P（－1，2，3）关于xOy平面对称的点的坐标是（ ）．
A．（1，2，3） B．（－1，－2，3）
C．（－1，2，－3） D．（1，－2，－3）
3．在空间直角坐标系中，点P（3，4，5）关于yOz平面对称的点的坐标为（ ）．
A．（－3，4，5） B．（－3，－4，5）
C．（3，－4，－5） D．（－3，4，－5）
4．在空间直角坐标系中，P（2，3，4），Q（－2，－3，－4）两点的位置关系是（ ）．
A．关于x轴对称 B．关于yOz平面对称
C．关于坐标原点对称 D．以上都不对
5．已知A（―3，1，―4），B（5，―3，6），设线段AB的中点为M，点A关于x轴的对称点为N，则|MN|=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），则△ABC的形状为（ ）．
A．正三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
7．在空间直角坐标系中，x轴上到点P（4，1，2）的点的距离为的点有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
8．到两点A（3，4，5），B（－2，3，0）距离相等的点（x，y，z）的坐标满足的条件是（ ）．
A．10x+2y+10z－37=0 B．5x－y+5z－37=0
C．10x－y+10z+37=0 D．10x－2y+10+37=0
9．已知A（4，－7，1），B（6，2，z），若|AB|=10，则z=________．
10．已知点A（1，，－5），B（2，－7，－2），则|AB|的最小值为________．
11．（2018 广东惠州模拟）在空间直角坐标系中，已知点A（2，4，―3），B（0，6，―1），则以线段AB为直径的圆的面积等于________．
12．若A（1，2，1），B（2，2，2），点P在x轴上，且|PA|=|PB|，则点P的坐标为________．
13．（1）在空间直角坐标系O-xyz中，画出不共线的3个点P、Q、R，使得这3个点的坐标都满足z=3，并画出图形；
（2）写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件．
14．求证：以A（4，1，9），B（10，―1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形．
15．（2018 广东东莞市期末）（1）在z轴上求与点A（―4，1，7）和B（3，5，―2）等距离的点的坐标．
（2）在yOz平面上，求与点A（3，1，2）、B（4，―2，―2）和C（0，5，1）等距离的点的坐标．
16．如图以正方体的三条棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系O-xyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．
（1）当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值；
（2）当点Q为棱CD的中点，点P在对角线AB上运动时，探究|PQ|的最小值．
【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】点（1，0，2）的纵坐标为0，所以该点在xOz平面内．
2．【答案】C
【解析】若点关于xOy平面对称，则对称点的横、纵坐标不变，竖坐标为原来的相反数．
3．【答案】A
【解析】关于yOz平面对称则对应y、z值不变．故选A．
4．【答案】C
【解析】画图观察．故选C．
5．【分析】利用中点坐标公式求出M的坐标，利用对称知识求出N的坐标，通过两点间的距离公式求出结果即可．
【答案】C
【解析】∵A（―3，1，―4），B（5，―3，6），线段AB的中点为M，
∴M（1，―1，1）．
点A（―3，1，―4）关于x轴的对称点为N，N（―3，―1，4），
∴．
故选：C．
6．【答案】C
【解析】 由空间两点间的距离公式易得，，，，因为|AC|2=|BC|2=|AB|2，所以△ABC为直角三角形，故选C．
7．【答案】C
【解析】满足条件的x轴上的点的坐标可设为（a，0，0），则有，
即(a－4)2=25，解得a=0或a=－1，
所以满足条件的点为（9，0，0）或（－1，0，0）．故选C．
8．【答案】A
【解析】 由已知得|MA|=|MB|，即
，化简得10x+2y+10z－37=0．
9．【答案】
【解析】 由，解得．
10．【答案】
【解析】由空间两点间的距离公式易得，所以当a=－1时，|AB|的值最小，最小值为．
11．【答案】3π
【解析】∵点A（2，4，―3），B（0，6，―1），
∴，
∴以线段AB为直径的圆的半径为，
面积等于．
故答案为：3π．
12．【答案】（3，0，0）
【解析】由题意设P（x，0，0）
∵A（1，2，1），B（2，2，2），|PA|=|PB|，
∴，
解得x=3．
∴P（3，0，0）．
故答案为：（3，0，0）．
13．【答案】（1）如图（2）z=3
【解析】（1）取三个点P（0，0，3），Q（4，0，3），R（0，4，3）．如图．
（2）P、Q、R三点不共线，可以确定一个平面．又因为这三个点在xOy平面的同侧，且到xOy平面的距离相等，所以平面PQR平行于xOy平面，而且平面PQR内的每一个点在z轴上的射影到原点的距离都等于3，即该平面内的点的坐标都满足z=3．
14．【分析】利用两点间的距离公式求得AB、AC、BC的长度，利用勾股定理，判断△ABC为等腰直角三角形．
【证明】A（4，1，9），B（10，―1，6），C（2，4，3），
，，
，，AB=AC
故△ABC为等腰直角三角形．
15．【答案】（1）；（2）（0，1，－2）
【解析】（1）由题意设C（0，0，z），
∵C与点A（―4，1，7）和点B（3，5，―2）等距离，
∴|AC|=|BC|，
∴，
∴18z=28，
∴，
∴C点的坐标是．
（2）设yOz平面内一点D（0，y，z）与A，B，C三点距离相等，
则有|AP|2=9+(1―y)2+(2―z)2，
|BP|2=16+2(2+y)2+(2+z)2，
|CP|2=(5―y)2+(1―z)2，
由|AP|=|BP|，及|AP|=|CP|，
得
化简可得
解得
∴点P（0，1，－2）为yOz平面内到A，B，C三点等距离的点．
16．【答案】（1）（2）
【解析】设正方体的棱长为a．
（1）当点P为对角线AB的中点时，点P的坐标是．
因为点Q在线段CD上，故设Q（0，a，z），则
．
当时，|PQ|取得最小值，且最小值为．
即点Q为棱CD的中点时，|PQ|有最小值．
（2）因为点P在对角线AB上运动，点Q是定点，所以当PQ⊥AB时，PQ最短．
因为点Q为棱CD的中点，所以|AQ|=|BQ|，所以△QAB是等腰三角形，所以当P是AB的中点时，|PQ|取得最小值，且最小值为．