2.4 用因式分解法求解一元二次方程学案(要点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学九年级上册同步学案
第二章　一元二次方程
4　用因式分解法求解一元二次方程
要 点 讲 解
要点一　用因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程，是将方程的一边化为0，而另一边分解为两个一次因式乘积的形式，分别令每个因式等于0，得到两个一次方程，解这两个一次方程即可得到一元二次方程的两个根.
1. 用因式分解法解一元二次方程的实质是降次，因式分解是手段，降次即将一元二次方程转化为两个一元一次方程分别求解是目的.?
2. 用因式分解法解一元二次方程虽然简单，但不适用于所有的一元二次方程.?
3. 用因式分解法解一元二次方程时，切忌方程两边同时除以含有未知数的整式.?
4. 方程没有化成一元二次方程的一般形式，即右边不为零时，不要把左边进行因式分解.
经典例题1　用因式分解法解下列方程：
(1)x2＋5x＝0；(2)x2－6x＝－9.
解：(1)x2＋5x＝0，即x(x＋5)＝0.∴x＝0或x＋5＝0.∴x1＝0，x2＝－5.　(2)x2－6x＝－9，即x2－6x＋9＝0.∴(x－3)2＝0.∴x1＝x2＝3.
点拨：用因式分解法解一元二次方程的关键有两点：一是要将方程的右边化为0；二是熟练掌握多项式因式分解的方法.
要点二　选择适当的方法解方程
一元二次方程的解法的选择顺序：先特殊，后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法求解，当不能用这两种方法时，再考虑用配方法或公式法.
1. 当方程一边为含有未知数的完全平方式，另一边为非负数时，可用直接开平方法.
2. 当方程的一边为0，而另一边可以分解为两个一次因式乘积的形式时，运用因式分解法求解.
3. 当方程的一边较易配成含未知数的完全平方式，另一边为非负数时，常用配方法.
4. 当不便用上面三种方法时，就用公式法，
经典例题2　用适当的方法解下列方程：
(1)49(x－3)2＝16(x＋6)2；
(2)(2－3x)(x＋4)＝(3x－2)(1－5x)；
(3)x2＋x－6＝0；
(4)(x＋4)2－(x＋5)2＋(x－3)2＝24－3x.
解析：方程(1)移项后可用平方差公式因式分解，或方程两边开平方后求解.方程(2)移项后，可直接提出公因式(3x－2).因为(2－3x)＝－(3x－2).方程(3)先把方程两边都乘4，使其系数都变为整数.方程(4)先化为一元二次方程的一般形式，再选择方法.
解：(1)方法1：原方程可化为[7(x－3)]2－[4(x＋6)]2＝0，即(7x－21)2－(4x＋24)2＝0.因式分解，得(11x＋3)(3x－45)＝0.∴x1＝－，x2＝15.
方法2：两边开平方，得7(x－3)＝±4(x＋6).
当7(x－3)＝4(x＋6)时，解得x＝15；
当7(x－3)＝－4(x＋6)时，解得x＝－.
∴原方程的解为x1＝15，x2＝－.
(2)原方程可化为(3x－2)(1－5x)＋(3x－2)(x＋4)＝0.∴(3x－2)(5－4x)＝0.∴3x－2＝0或5－4x＝0.∴x1＝，x2＝.
(3)方法1：原方程可化为x2＋10x－24＝0，
x2＋10x＋25＝24＋25，(x＋5)2＝49，x＋5＝±7，
∴x1＝－12，x2＝2.
方法2：原方程可化为x2＋10x－24＝0，
因式分解，得(x＋12)(x－2)＝0.
∴x＋12＝0或x－2＝0.∴x1＝－12，x2＝2.
(4)原方程可化为x2－5x－24＝0.
因式分解，得(x－8)(x＋3)＝0.
∴ x－8＝0或x＋3＝0.∴x1＝8，x2＝－3.
易错易混警示　因式分解法解一元二次方程时，将方程两边同时除以公因式，造成原方程丢根
经典例题3　解方程：5x(x－3)＝2(x－3).
解：移项得5x(x－3)－2(x－3)＝0，提取公因式得(x－3)(5x－2)＝0，∴x－3＝0或5x－2＝0，∴x1＝3，x2＝.
点拨：当方程两边同时除以一个含未知数的整式时，若该整式等于零，则会丢掉方程的一个根，所以这种题目的正确解法是先移项，再提取公因式.这里的代数式x－3是可能等于0的，所以方程两边不能同时除以x－3.
当 堂 检 测
1. 方程x(x＋2)＝0的根是(　　)
A. x1＝x2＝2 B. x1＝x2＝0
C. x1＝0，x2＝－2 D. x1＝0，x2＝2
2. 方程x(x－2)＋x－2＝0的解是(　　)
A. 2 B. －2，1 C. －1 D. 2，－1
3. 若|a2－6a＋9|＋＝0，则a＋b的值为(　　)
A. 5 B. 1 C. －1 D. 5或1
4. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是(　　)
A. 12 B. 9 C. 13 D. 12或9
5. 一元二次方程x2＝5x的解是 .
6. 方程(x＋2)(x＋3)＝x＋2的解是 .
7. 用适当的方法解下列方程；
(1)2(x－3)2＝x2－9；
(2)(2x＋1)(4x－2)＝(2x－1)2＋2；
(3)(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8；
(4)6x2＋19x＋10＝0.
当堂检测参考答案
1. C 2. D 3. D 4. A
5. x1＝0，x2＝5
6. x1＝x2＝－2
7. 解：(1)2(x－3)2＝x2－9，2(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0，(x－3)(x－9)＝0，∴x1＝3，x2＝9.　
(2)(2x＋1)(4x－2)＝(2x－1)2＋2，4x2＋4x－5＝0，∵a＝4，b＝4，c＝－5，∴Δ＝b2－4ac＝16＋80＝96.∴x＝.∴x1＝，x2＝.
(3)(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8，x2＋2x＝3，(x＋1)2＝4，∴x1＝1，x2＝－3.