2.5 一元二次方程的根与系数的关系学案(要点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学九年级上册同步学案
第二章　一元二次方程
5　一元二次方程的根与系数的关系
要 点 讲 解
要点　一元二次方程的根与系数的关系
如果方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1x2＝.
1. 一元二次方程的根与系数的关系的前提条件是b2－4ac≥0，即一元二次方程有实数根.这个定理反之也成立，即如果两个数x1，x2满足x1＋x2＝－，x1x2＝，那么x1和x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根.
2. 不解方程，利用一元二次方程的根与系数的关系求已知方程两根的某些代数式的值，关键是把所给的代数式经过恒等变形，化为含有x1＋x2与x1x2的形式，然后再将x1＋x2与x1x2的值代入，即可求出代数式的值.
3. 一元二次方程的根与系数的关系的几种变形：
(1)x＋x＝(x＋2x1x2＋x)－2x1x2＝(x1＋x2)2－2x1x2；
(2)＋＝；
(3)(x1＋a)(x2＋a)＝x1x2＋a(x1＋x2)＋a2；
(4)|x1－x2|＝＝
经典例题1　已知关于x的一元二次方程2x2－mx－2m＋1＝0的两个根的平方和是，求m的值.
解：设方程的两个根为x1，x2，由已知，得∵x＋x＝，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝，即()2－2×＝，∴m2＋8m－33＝0. 解得m1＝－11，m2＝3.当m＝－11时，方程为2x2＋11x＋23＝0，Δ＝112－4×2×23<0，方程无实数根；当m＝3时，方程为2x2－3x－5＝0，Δ＝(－3)2－4×2×(－5)>0，方程有两个不相等的实数根，∴m的值为3.
易错易混警示　忽略判断一元二次方程根的判别式的符号，导致错解
经典例题2　已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2＋1＝0的两个实数根，当x＋x＝15时，求m的值.
解：根据根与系数的关系，得x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m2＋1.∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝[－(2m＋1)]2－2(m2＋1)＝2m2＋4m－1.∵x＋x＝15，∴2m2＋4m－1＝15，∴m1＝－4，m2＝2.
∵方程有两个实数根，∴ Δ≥0，即(2m＋1)2－4×1×(m2＋1)≥0，解得m≥.∴m＝2.故m的值为2.
当 堂 检 测
1. 设方程x2－5x－1＝0的两个根是x1和x2，则x1＋x2－x1x2的值是(　　)
A. －6　 B. 6　　 C. －4　 D. 4
2. 设x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两根，则x＋x等于(　　)
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
3. 如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝－1，那么p，q的值分别为(　　)
A. 1，－2 B. －1，－2 C. －1，2 D. 1，2
4. 已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的两根，则x1＋x2的值是 .
5. 若x1，x2是方程2x2－3x－4＝0的两个根，则x1·x2＝ .
6. 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
(1)x2－2x－3＝0；
(2)2x2＋5x－8＝0.
7. 已知关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2，m.求m，n的值.
8. 若关于x的一元二次方程x2－4x＋k－3＝0的两个实数根为x1，x2，且满足x1＝3x2，试求出方程的两个实数根及k的值.
当堂检测参考答案
1. B 2. C 3. B
4. 2
5. －2
6. 解：(1)这里a＝1，b＝－2，c＝－3.∵Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－3)＝16>0，∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1＋x2＝2，x1x2＝－3.
(2)这里a＝2，b＝5，c＝－8.∵Δ＝b2－4ac＝52－4×2×(－8)＝89>0，∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1x2＝－4.
7. 解：∵关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2，m，∴－2m＝n且－2＋m＝－1，解得m＝1，n＝－2，即m，n的值分别是1，－2.