2.6.1 应用一元二次方程学案(要点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学九年级上册同步学案
第二章　一元二次方程
6　应用一元二次方程
第1课时　应用一元二次方程(一)
要 点 讲 解
要点　一元二次方程在几何图形中的应用、用一元二次方程解决动态几何图形问题
列一元二次方程解决实际问题的步骤：
1. 审：审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量及它们之间的等量关系；
2. 设：就问题进行设元(未知数)，有时设直接未知数，有时设间接未知数较易列方程；
3. 列：提取题意中的等量关系，并用方程表示，建立数学模型；
4. 解：准确解出方程的解；
5. 验：检验所求得的解能否保证实际问题有意义，且符合题意；
6. 答：书写答案，应遵循“问什么，怎么问，怎么答”的原则.
几何图形应用题，关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.
1. 设未知数时，必须写清单位、用对单位.列方程时，方程两边各个代数式的单位必须一致，答时必须写上单位.?
2. 对于实际问题在解出答案后，除检验它的正确性外，还需检验它的合理性，把不符合实际意义的答案舍去.
经典例题1　如图所示，在直角墙角AOB(OA⊥OB，且OA，OB长度不限)中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2.
(1)求这个地面矩形的长；
(2)有规格为0.80×0.80与1.00×1.00(单位：m)的地板砖，单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙)，用哪一种规格的地板砖费用较少？
解析：(1)根据题意设出矩形的长，进而利用矩形的面积＝长×宽，列方程求解即可；(2)分别计算出用每一种规格的地板砖所需的费用，然后比较即可.
解：(1)设这个地面矩形的长为xm，则宽为(20－x)m.根据题意，得x(20－x)＝96.解得x1＝12，x2＝8(不合题意，舍去).答：这个地面矩形的长为12m.
(2)用规格为0.80×0.80的地板砖所需费用为96÷(0.80×0.80)×55＝8250(元)，用规格为1.00×1.00的地板砖所需费用为96÷(1.00×1.00)×80＝7680(元).因为8250>7680，所以用规格为1.00×1.00的地板砖所需费用较少.
点拨：解决关于几何图形的周长、面积等问题，图形的周长、面积公式往往就是寻找等量关系的基础.
经典例题2　某校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形.如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A，B以顺时针、逆时针的方向同时做圆周运动.甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系式：l＝t2＋t(t≥0)，乙以4cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21cm.
(1)甲运动4s后的路程是多少？
(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？
(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？
解析：(1)根据题目所给的函数关系式把t＝4s代入求得l的值即可；(2)根据图形可知，二者第一次相遇走过的总路程为半圆，分别求出甲、乙走的路程，列出方程求解即可；(3)根据图形可知，二者第二次相遇走过的总路程为一圈半，也就是三个半圆，分别求出甲、乙走的路程，列出方程求解即可.
解：(1)当t＝4s时，l＝×42＋×4＝14(cm).
答：甲运动4s后的路程是14cm.
(2)设它们运动了ms后第一次相遇，根据题意，得(m2＋m)＋4m＝21.
解得m1＝3，m2＝－14(不合题意，舍去).
答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3s.
(3)设它们运动了ns后第二次相遇，根据题意，得(n2＋n)＋4n＝21×3.
解得n1＝7，n2＝－18(不合题意，舍去).
答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7s.
点拨：本题比较新颖，解题关键是根据图形分析相遇问题，第一次相遇时二者走的总路程为半圆，第二次相遇时二者走的总路程为三个半圆.
易错易混警示　忽略实际问题对方程解的限制
运用一元二次方程解决实际问题时，方程的解一般有两个，但由于实际情况的限制有时会有所取舍，在审题时往往由于对实际情况了解不到位而出现多解的错误.
经典例题3　有1块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的没有盖的长方体盒子，求截去的小正方形的边长.
解：设截去的小正方形的边长为xcm，
依题意得(80－2x)(60－2x)＝1500.整理，得x2－70x＋825＝0，解得x1＝55，x2＝15.当x＝55时，80－2x＝－30<0,60－2x＝－50<0，不合题意，舍去；当x＝15时，80－2x＝50>0,60－2x＝30>0，符合题意，所以x＝15.
答：截去的小正方形的边长为15cm.
点拨：本题注意截去四个小正方形后，长方体底面的长、宽应是正数这一基本要求，即解得x<30，而x＝55>30，不合题意，故应舍去.在解决实际问题时，应注意验根.
当 堂 检 测
1. 直角三角形两直角边的和为7，面积为6，则斜边长为(　　)
A. 5　　 B. 　　　 C. 7　 D. 
2. 把一个正方形的一边增加3cm，另一边增加2cm，所得到的长方形的面积是原正方形面积的2倍，那么原正方形的边长是(　　)
A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 6cm
3. 一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，梯子的底端滑动x米，可得方程 .
4. 要用一条长24cm的铁丝围成一个斜边长是10cm的直角三角形，则两直角边的长分别为 .
5. 如图，若将如图(1)所示的正方形剪成四块，恰能拼成如图(2)所示的矩形，设a＝1，则b的值是　 　.
图(1) 图(2)
6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从点A开始出发向点C以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s的速度移动，若P，Q分别同时从A，B出发，经过几秒后四边形APQB的面积是△ABC面积的？

7. 如图所示，把长为40cm、宽为30cm的长方形硬纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形(阴影部分即剪掉的部分)，将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm(纸板的厚度忽略不计).若折成的长方体盒的表面积是950cm2，求此时长方体盒子的体积.

当堂检测参考答案
1. A 2. D
3. (8－1)2＋(6＋x)2＝102
4. 6cm，8cm
5. 
6. 解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形.由勾股定理，得BC＝＝6(cm).设ts后四边形APQB的面积是△ABC面积的，则CQ＝BC－BQ＝6－t，PC＝AC－AP＝8－2t.根据题意，知S△PCQ＝S△ABC，∴CQ·PC＝×AC·BC，即(6－t)(8－2t)＝××8×6，解得t＝2或t＝8(舍去).故经过2s后四边形APQB的面积是△ABC面积的.