北师大版数学九年级上册第二章《一元二次方程》
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类型一 一元二次方程的解法
要点简介：运用适当的方法解一元二次方程.
经典例题1 解方程：(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.
解析：根据配方法的步骤先把方程转化成标准形式，再进行配方即可求出答案.
解：(2x－1)2＝x(3x＋2)－7，4x2－4x＋1＝3x2＋2x－7，
方法一：x2－6x＋8＝0，x2－6x＝－8，(x－3)2＝1，x－3＝±1，x2＝2，x2＝4.
方法二：(x－2)(x－4)＝0，x1＝2，x2＝4.
点拨：熟悉一元二次方程每一种解法所适合方程的特征，能选择合适的方法解方程.没有一次项的，形如ax2＋b＝0，可以使用直接开平方法；没有常数项的，形如ax2＋bx＝0，可以利用因式分解法；三项都有，且二次项系数为1时，首先考虑利用十字相乘法因式分解，若不能进行因式分解，可以考虑配方法；三项都有，且二次项系数不为1的，一般可以用公式法；有括号的，可以考虑整体思想，并结合以上几种方法选择合适的解法，如果整体思想行不通，再去掉括号，整理成一般形式后再结合以上几种方法选择合适的解法.
类型二 一元二次方程根的判别式
要点简介：1. 一元二次方程的概念；2. 根与系数的关系；3. 根的判别式.
经典例题2 已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；
(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
解析：(1)将x＝1代入方程x2＋ax＋a－2＝0即可得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根；(2)写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答.
解：(1)将x＝1代入方程x2＋ax＋a－2＝0，得1＋a＋a－2＝0，解得a＝.∴方程为x2＋x－＝0，即2x2＋x－3＝0，设另一根为x1，则1·x1＝－，故x1＝－.
(2)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝a2－4a＋8＝a2－4a＋4＋4＝(a－2)2＋4>0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
类型三 根与系数的关系
要点简介：1. 一元二次方程根的判别式；2. 根与系数的关系.
经典例题3 已知x1，x2是关于x的一元二次方程4x2＋4(m－1)x＋m2＝0的两个非零实数根，问x1和x2能否同号？若能同号，请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由.
解析：由题意，可先利用判别式求出m的取值范围，再利用根与系数的关系讨论两根是否同号.
解：因为关于x的一元二次方程4x2＋4(m－1)x＋m2＝0有两个非零实数根，所以有Δ＝[4(m－1)]2－4·4m2＝－32m＋16≥0.解得m≤.又∵x1，x2是方程4x2＋4(m－1)x＋m2＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝－(m－1)，x1x2＝m2.
假设x1，x2同号，则有两种可能：
①若x1<0，x2<0，则有
即解得m>1.
又∵当m≤时，方程才有实数根，
∴此种情况不成立.
②若x1>0，x2>0，则有
即
解这个不等式组，得
又∵m≤，∴m≤且m≠0.
综上所述，当m≤且m≠0时，方程的两根同号.
类型四 一元二次方程的应用
经典例题4 为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室.经预算，一共需要筹资30000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊.
(1)筹委会计划购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，则最多用多少资金购买书桌、书架等设施？
(2)经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元.镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书刊，这样，只需参与户共集资20000元.经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%(其中a>0)，则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了a%，求a的值.
解析：(1)设用于购买书桌、书架等设施的为x元，则购买书刊的有(30000－x)元，利用“购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍”，列出不等式求解即可；(2)根据“自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%(其中a>0)，则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了a%，且总集资额为20000元”列出方程求解即可.
解：(1)设用于购买书桌、书架等设施的资金为x元，则购买书刊的资金为(30000－x)元，根据题意得30000－x≥3x，解得x≤7500.所以最多用7500元购买书桌，书架等设施.
(2)根据题意得200(1＋a%)×150(1－a%)＝20000，整理得a2＋10a－3000＝0，解得a＝50或a＝－60(舍去)，所以a的值是50.
综 合 检 测
一、选择题
1. 下列方程一定是一元二次方程的是( )
A. 3x2＋－1＝0 B. 2x2－8y＋7＝0
C. ax2－x＋9＝0 D. 5x2－2x－6＝0
2. 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋7＝0(a≠0)的一个根是x＝1，则2028－2a－2b的值是( )
A. 2042 B. 2035 C. 2021 D. 2014
3. 已知关于x的一元二次方程(m－3)x2＋4x＋m2－3m＝0的常数项为0，则m的值为( )
A. 1 B. 3 C. 0 D. 0或3
4. 已知关于x的一元二次方程2x2＋mx＋n＝0的两个实数根分别为x1＝－4，x2＝6，则m＋n的值是( )
A. 52 B. －52 C. 44 D. －44
5. 用一块长80厘米、宽60厘米的薄铁片，在四个角截去边长为x厘米的小正方形，做成一个无盖的铁盒，若铁盒的底面积为1500平方厘米，据题意所列方程整理后正确的是( )
A. x2－70x＋825＝0 B. x2＋70x－825＝0
C. x2－70x－825＝0 D. x2＋70x＋825＝0
6. 某商场里进一批运动服用了10000元，每件按100元卖出.全部卖出这批运动服所得的钱数与买进这批运动服所用的钱数的差就是利润，按这样计算，这次买卖所得的利润刚好是买进11件运动服所用的钱数，则这批运动服有( )
A. 10件 B. 90件 C. 110件 D. 150件
7. 某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度增长了( )
A. 2x% B. 1＋2x%
C. (1＋x%)·x% D. (2＋x%)·x%
二、填空题
8. 菱形的两条对角线分别是方程x2－12x＋35＝0的两实数根，则菱形的面积为 .
9. 在实数范围内定义运算“☆”，其规则为a☆b＝a2－b2，则方程(5☆4)☆x＝17的解为 .
10. 已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2－2＝0的两根分别为x1和x2，且(x1－2)(x1－x2)＝0，则k的值是 .
11. 如图为一个正方形场地被平行于一边的一条直线分割成两个面积不等的矩形，这两个矩形的面积差为72m2，且面积较小的矩形的宽为7m，则原正方形场地的边长为 .
12. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商品平均每天可多售出2件，据此规律计算；每件商品降价 元时，商场日盈利可达到2100元.
13. 某种T恤衫，平均每天销售40件，每件盈利20元.若每降价1元，则每天可多售出10件.如果每天盈利1400元，那么每件应降价 元.
三、解答题
14. 解方程：
(1)4x2－8x＝3； (2)2x2－5x－7＝0；
(3)9(x－2)2－4(1－2x)2＝0； (4)(3x＋1)2＋6(3x＋1)＋8＝0.
15. 已知关于x的方程kx2－2x＋3＝0有两个不相等的实数根x1和x2.
(1)求k的取值范围；
(2)k为何值时，方程的两根之比为1∶3?
16. 如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动.如果P，Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2?
17. 阅读材料：
为解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1看作一个整体，然后设x2－1＝y，那么原方程可化为y2－5y＋4＝0…①，解得y1＝1，y2＝4.当y1＝1时，x2－1＝1，∴x2＝2，∴x＝±；当y2＝4时，x2－1＝4，∴x2＝5，∴x＝±，故原方程的解为x1＝，x2＝－，x3＝，x4＝－.解答问题：
(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；
(2)请利用以上知识解方程：－＝1.
18. 山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元.按每千克60元出售，平均每天可售出100千克.后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克.若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
(1)每千克核桃应降低多少元？
(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
19. 某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同.
(1)求该种商品每次降价的百分率；
(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元.问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
参考答案
1. D 2. A 3. C 4. B 5. A 6. C 7. D
8.
9. ±8
10. －或－2
11. 18m
12. 20
13. 6或10
14. 解：(1)4(x－1)2－4＝3，4(x－1)2＝7，x－1＝±，x1＝1＋，x2＝1－.
(2)Δ＝25－4×2×(－7)＝25＋56＝81，x＝，x1＝，x2＝－1.
(3)9(x－2)2－4(2x－1)2＝0，[3(x－2)＋2(2x－1)]·[3(x－2)－2(2x－1)]＝0，(7x－8)(－x－4)＝0，x1＝，x2＝－4.
(4)(3x＋1＋2)·(3x＋1＋4)＝0，(3x＋3)(3x＋5)＝0，x1＝－1，x2＝－.
15. 解：(1)由题意易知解得k＜且k≠0.
(2)不妨设x1∶x2＝1∶3，则x2＝3x1.∵∴即解得k＝，符合题意，∴k＝.
16. 解：过点Q作QE⊥PB于E点，则∠QEB＝90°.∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB，∴S△PQB＝PB·QE.设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，则PB＝6－t，QB＝2t，QE＝t.根据题意得，(6－t)·t＝4，解得t1＝2，t2＝4.当t＝4时，2t＝8，8>7，不合题意舍去.∴t＝2.答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2.
17. 解：(1)换元
(2)设＝y， 则原方程变形为y－＝1，解得：y1＝－1，y2＝2.当y＝－1时，＝－1，∴x2＋x＋1＝0，∵Δ＝1－4＝－3<0，∴＝－1没有实数根；当y＝2时，＝2，∴2x2－x－1＝0，∴x1＝－，x2＝1，经检验，x1＝－，x2＝1是原方程的解.故原方程的解为x1＝－，x2＝1.
18. 解：(1)设每千克核桃应降价x元.根据题意，得(60－x－40)(100＋×20)＝2240.化简，得x2－10x＋24＝0.解得x1＝4，x2＝6.所以每千克核桃应降价4元或6元.
(2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元.因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元.此时，售价为：60－6＝54(元)，×100%＝90%.所以该店应按原售价的九折出售.
(2)设每一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品(100－m)件，第一次降价后的单件利润为400×(1－10%)－300＝60(元/件)；第二次降价后的单件利润为324－300＝24(元/件).依题意得：60m＋24×(100－m)＝36m＋2400≥3210，解得：m≥22.5.∴m≥23.答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元.第一次降价后至少要售出该种商品23件.
