2.3 用公式法求解一元二次方程学案(要点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学九年级上册同步学案
第二章　一元二次方程
3　用公式法求解一元二次方程
要 点 讲 解
要点一　用公式法解一元二次方程
求根公式：一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，它的根是x＝.
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
应用公式法解一元二次方程时，要先把方程化为一般形式，确定二次项系数、一次项系数、常数项，且要注意它们的符号.
经典例题1　用公式法解方程：(1)3x2＋4x＝－1；(2)(x＋1)(x－3)＝6.
解析：→→→
解：(1)原方程可化为3x2＋4x＋1＝0，∵a＝3，b＝4，c＝1，∴b2－4ac＝42－4×3×1＝4>0，∴x＝＝，∴x1＝－，x2＝－1.
(2)将原方程整理得x2－2x－9＝0，这里a＝1，b＝－2，c＝－9，∵Δ＝4＋36＝40>0，∴x＝＝1±，∴x1＝1＋，x2＝1－.
要点二　一元二次方程根的判别式
定义：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由b2－4ac来判定.我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示.
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，
当b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；
当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；
当b2－4ac<0时，方程没有实数根.
反之亦成立.
经典例题2　已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长.
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
解析：(1)把x＝－1代入原方程，得到关于a，b，c关系的等式，进而判定△ABC的形状.(2)由方程有两个相等的实数根可得根的判别式为0，得到a，b，c之间的关系，进而判定三角形的形状.(3)由△ABC是等边三角形可得a＝b＝c，代入原方程求解即可.
解：(1)△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵x＝－1是方程的根，∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形.
(2)△ABC是直角三角形，理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形.
(3)当△ABC是等边三角形时，(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，可整理为2ax2＋2ax＝0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1.
易错易混警示　忽略了二次项系数不为零这一条件，而使结果错误
经典例题3　已知关于x的方程kx2－4kx＋k－5＝0有两个相等的实数根，求k的值.
解：根的判别式Δ＝b2－4ac＝(－4k)2－4·k·(k－5)＝12k2＋20k，∵方程有两个相等的实数根，
∴即12k2＋20k＝0且k≠0，∴k＝－.
点拨：此题易在解答过程中忽略一元二次方程中二次项系数不能为0这个条件，此题应满足两个条件
当 堂 检 测
1. 用公式法解方程3x2＋4＝12x，下列代入公式正确的是(　　)
A. x＝ B. x＝
C. x＝ D. x＝
2. 方程x2－x＋2＝0的根的情况是(　　)
A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根
3. 下列一元二次方程的根是x＝的是(　　)
A. 3x2＋5x＋1＝0 B. 3x2－5x＋1＝0
C. 3x2－5x－1＝0 D. 3x2＋5x－1＝0
4. 若关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋2＝0有实数根，则整数a的最大值为(　　)
A. －1　 B. 0　 C. 1　 D. 2
5. 如果关于x的一元二次方程x2＋4x－m＝0没有实数根，那么m的取值范围是 .
6. 一元二次方程x2＋2x－6＝0的根是　 　.
7. 已知a，b，c是△ABC的三边，当m>0时，关于x的方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2ax＝0有两个相等的实数根，则△ABC的形状是 三角形.
8. 用公式法解下列方程.
(1)t2＋4t－1＝0；
(2)x2＝x＋1；
(3)(x＋2)(3x－1)＝10.
当堂检测参考答案
1. D 2. D 3. D 4. B
5. m<－4
6. x1＝，x2＝－3
7. 直角
8. 解：(1)∵a＝，b＝4，c＝－1.∴b2－4ac＝42－4××(－1)＝22>0，∴t＝＝，∴t1＝，t2＝.　
(2)原方程可化为x2－x－1＝0，∵a＝1，b＝－1，c＝－1.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×(－1)＝5>0，∴x＝，∴x1＝，x2＝.