11.1.1三角形的高、中线与角平分线 精品学案（无答案）

11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
学习目标：1.理解三角形的高、中线与角平分线的概念，了解三角形的稳定性.
2.会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线.
重点：三角形的高、中线与角平分线的特征.
难点：三角形的高、中线与角平分线的应用.

一、知识链接
1.如图按要求作图：
P A


A B O B
（1）在左图中，过点P作线段AB的垂线PD；作出线段AB的中点E.则有____=_____.
（2）在右图中，作出∠AOB的平分线，则有∠_____=∠_____=_____∠AOB.
二、新知预习
1.三角形的高：
（1）小学我们已经学过三角形的高，如图①，过点A向它的对边画垂线，作出△ABC
的高AD.
（2）自主归纳：
①从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角
形的高线，简称三角形的高.
②一个三角形有______条高， 请在图①中作出△ABC的另外两条高.
③三角形的高是一条_______.
2.（1）如图②，连接△ABC的顶点A和它的边BC的中点D，类比三角形高线的定义，
则所得的线段AD应叫做△ABC的边BC上的_____线.并画出△ABC其他的两条中线.
（2）自主归纳：
①在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线.
②一个三角形有_____条中线，每条中线都是一条______.
3.三角形的角平分线：
如图③，你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗?
(2)自主归纳
三角形角平分线定义：____________________________________________.
三角形的角平分线与角的平分线的区别是：__________________________.
③ 一个三角形有_______条角平分线.
4.几何语言表示三角形的高、中线、角平分线
几何推理
图例
三角形的高
∵AD是△ABC的高，
∴①____⊥_____，
②∠ADB=∠______=______°
三角形的中线
∵CF是△ABC的中线，
∴①AF=_____=______AC.
②AC=____AF=____CF.
CB
三角形的角平分线
∵BE为△ABC的角平分线，
∴①∠1=∠_____=____∠ABC.
②∠ABC=____∠1=___∠2.
三、自学自测
1.按要求画出下列三角形的中线、高线、角平分线.
A D G
H
B C E F I
画中线AD,BE,CF 画高DG,EH,FM 画角平分线GM,HN,IP
四、我的疑惑
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

要点探究
探究点1：三角形的高
做一做：请在下图中画出△ABC的高线.
【归纳总结】三角形的高或其延长线相交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的顶点上，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部.
典例精析
例1：如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值.
方法总结:面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积（但不求出面积），利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解.
探究点2：三角形的中线
问题1：任意作一个三角形，画出它的三条中线，观察，有什么结论？
问题2：如图，AD为△ABC的中线，猜想△ABD与△ACD的面积关系，并证明.
【归纳总结】1.三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
2.三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.
典例精析
例2：如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.
方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．
探究点3：三角形的角平分线
例3：如图，DC平分∠ACB，DE∥BC,∠AED=80°，求∠ECD的度数.
二、课堂小结
三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段．
三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形的中
线把三角形分为面积相等的两个三角形.
三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个
角的顶点与交点的线段．

1．下列说法正确的是 （　　）
A．三角形三条高都在三角形内 B．三角形三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外
D．三角形的角平分线是射线
2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是 （　　）
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
3.如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有 （　　）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
4.画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是 （　　）



A B C D
5.（1） ∵BE是△ABC的角平分线，
∴____ = _____= _____.
（2）∵CF是△ABC的角平分线，
∴∠ACB= 2______= 2______. 第5题图 第6题图
6.如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△AEC=3cm2，则S△ABC=____.
7.在△ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm, △DBC的周长为25cm,求△ADC的周长.