北师大版数学九年级上册同步课时训练
第二章 一元二次方程
2 用配方法求解一元二次方程
第1课时 用配方法解简单的一元二次方程
自主预习 基础达标
要点1 直接开平方法
形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程用直接开平方法求解.由平方根的定义知x＋m是n的平方根，故x＋m＝±，即x＝ (n≥0).若n<0，则方程(x＋m)2＝n没有实数根，因为负数没有平方根.
要点2 配方法解二次项系数为1的一元二次方程
通过配完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为 .
课后集训 巩固提升
1. 一元二次方程x2－4＝0的解是( )
A. x1＝2，x2＝－2 B. x＝－2
C. x＝2 D. x1＝2，x2＝0
2. 方程3x2＋9＝0的根的情况为( )
A. 一根为3 B. 一根为－3
C. 根为±3 D. 无实数根
3. 方程(x－2)2＝9的解是( )
A. x1＝5，x2＝－1 B. x1＝－5，x2＝1
C. x1＝11，x2＝－7 D. x1＝－11，x2＝7
4. 下列方程一定有解的是( )
A. (x＋5)2＝a2＋1 B. (x－3)2＋1＝0
C. (x＋a)2＝b D. (ax＋3)2＋a2＝0
5. 解一元二次方程x2－8x－5＝0，用配方法可变形为( )
A. (x＋4)2＝11 B. (x－4)2＝11
C. (x＋4)2＝21 D. (x－4)2＝21
6. 用配方法解一元二次方程x2＋4x－3＝0时，此方程可变形为( )
A. (x＋2)2＝1 B. (x＋2)2＝7
C. (x＋2)2＝13 D. (x＋2)2＝19
7. 若x2－4x＋p＝(x＋q)2，则p，q的值分别是( )
A. p＝4，q＝2 B. p＝4，q＝－2
C. p＝－4，q＝2 D. p＝－4，q＝－2
8. 用配方法解一元二次方程x2－2x－m＝0，配方后的方程为( )
A. (x－1)2＝m2＋1 B. (x－1)2＝m－1
C. (x－1)2＝1－m D. (x－1)2＝m＋1
9. 对于形如(x＋m)2＝n的方程的解是( )
A. x＝－m± B. 当n≥0时，x＝±－m
C. 当n≥0时，x＝± D. 当n≥0时，x＝m±
10. 若一元二次方程(x＋6)2＝5可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是x＋6＝，则另一个一次方程是 .
11. 解方程x2－10x＝24时，方程两边需加上 ，配方后方程转化为 ，解得方程的根为 .
12. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－6x＋8＝0的根，则该三角形的周长为 .
13. 我们知道，一元二次方程x2＝－1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于－1，若我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝－1(即方程x2＝－1有一个根为i)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝－1，i3＝i2·i＝(－1)·i＝－i，i4＝(i2)2＝(－1)2＝1.从而对任意正整数n，我们可得到i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，同理可得i4n＋2＝－1.i4n＋3＝－i，i4n＝1，那么i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2030＋i2031的值为 .
14. 用直接开平方法解方程：
(1)(2x＋1)2－6＝0； (2)(2x＋1)2＝(x－1)2.
15. 用配方法解方程：
(1)x2－3x＝3x＋7； (2)x2＋4x－1＝0.
16. 设a，b为实数，求a2＋2ab＋2b2－4b＋5的最小值，并求此时a与b的值.
17. 用配方法证明：x2＋2x－8的最小值为－9.
18. 试证明关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋2＝0，无论m取何值，该方程都是一元二次方程.
19. 已知一元二次方程x2－2x－＝0的某个根也是一元二次方程 x2－(k＋2)x＋＝0的根，求k的值.
20. 已知直角三角形的三边为a，b，c，且两直角边a，b满足等式(a2＋b2)2－2(a2＋b2)－15＝0，求斜边c的值.
参考答案
自主预习 基础达标
要点1 －m±
要点2 配方法
课后集训 巩固提升
1. A 2. D 3. A 4. A 5. D 6. B 7. B 8. D 9. B
10. x＋6＝－
11. 25 (x－5)2＝49 x1＝－2，x2＝12
12. 10
13. －1
14. 解：(1)移项：(2x＋1)2＝6，两边同时开平方，得：2x＋1＝±，2x＝±－1，∴x＝，∴x1＝，x2＝－.
(2)两边同时开平方，得：2x＋1＝±(x－1)，当2x＋1＝x－1时，x＝－2.当2x＋1＝－x＋1时，x＝0.
15. 解：(1)移项，得x2－6x＝7，方程两边同时加上9，得x2－6x＋9＝16，即(x－3)2＝16，两边同时开方，得：x－3＝±4，∴x1＝7，x2＝－1.
(2)移项，得x2＋4x＝1，配方得x2＋4x＋4＝1＋4，即(x＋2)2＝5. ∴x＋2＝±，∴x1＝－2＋，x2＝－2－.
16. 解：原式＝(a＋b)2＋(b－2)2＋1，∴原式的最小值为1，此时a＝－2，b＝2.
17. 证明：配方，得x2＋2x－8＝(x＋1)2－9，∵(x＋1)2≥0，∴(x＋1)2－9≥－9.即x2＋2x－8的最小值为－9.
18. 证明：m2－8m＋17＝m2－8m＋16＋1＝(m－4)2＋1.∵不论m取何值，总有(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1＞0，∴无论m取何值，该方程都是一元二次方程.
19. 解：x2－2x－＝0，x2－2x＝，配方得x2－2x＋1＝，即(x－1)2＝，∴x－1＝±，∴x1＝，x2＝－. 当x＝是一元二次方程x2－(k＋2)x＋＝0的根时，k＝；当x＝－是一元二次方程x2－(k＋2)x＋＝0的根时，k＝－7，∴k＝或－7.
