北师大版数学九年级上册同步课时训练
第二章 一元二次方程
4 用因式分解法求解一元二次方程
自主预习 基础达标
要点1 用因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程，是将方程的一边 ，而另一边分解为两个一次因式 的形式，分别令每个因式等于0，得到两个一次方程，解这两个一次方程即可得到一元二次方程的两个根.
要点2 选择适当的方法解方程
解一元二次方程的基本方法有四种：
1. 直接开平方法；
2. ；
3. ；
4. .
课后集训 巩固提升
1. 方程x2＝x的解为( )
A. x＝1 B. x＝0
C. x1＝1，x2＝0 D. x1＝－1，x2＝0
2. 方程2x(x－2)＝3(x－2)的解为( )
A. x＝ B. x＝2 C. x1＝，x2＝2 D. x＝
3. 关于方程49－x2＝0下面叙述正确的是( )
A. 只能用直接开平方法
B. 只能用因式分解法
C. 既可以用因式分解法，又可以用直接开平方法
D. 不论用什么法，都应先将方程变为x2＝49
4. 方程4(7x－1)2＝3(7x－1)的最适当的解法应是( )
A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法
5. 方程(x－1)2－4(x＋2)2＝0的解为( )
A. x1＝1，x2＝－5 B. x1＝－1，x2＝－5
C. x1＝1，x2＝5 D. x1＝－1，x2＝5
6. 已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
7. 已知x2－15xy＋50y2＝0，则的值是( )
A. 5 B. 10 C. －5或－10 D. 5或10
8. 请你写出一个有一根为1的一元二次方程： .
9. x＝ 时，代数式(2x－1)2和x2的值相等.
10. 用因式分解法解下列方程：
(1)2(x－3)2＝x2－9； (2)(x－1)(x＋3)＝12.
11. 选择适当的方法解下列方程：
(1)x2－2x＝4； (2)x2－3x－1＝0；
(3)x2－2x－3＝0.
12. x为何值时，等式|x2－x－2|＋|2x2－3x－2|＝0成立.
13. 请利用公式(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq解决下列问题：
(1)因式分解：①x2＋5x＋6；②x2－x－6.
(2)解方程：①x2＋6x＋8＝0；②x2－2x－8＝0.
14. 阅读题后回答问题：
解方程x(x＋5)＝3(x＋5)，甲同学的解法如下：
解：方程两边同除以(x＋5)，得x＝3.
请回答：
(1)甲同学的解法正确吗？为什么？
(2)对甲同学的解法，若有不同的见解，请你写出上述方程的解法.
16. 已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程x(x－7)－10(x－7)＝0的一个根，求这个三角形的周长.
17. 已知和都有意义，且a是整数，试解关于x的一元二次方程x2－5＝x(ax－2)－2.
18. 用一根长20厘米的铁丝，折成一个面积为16平方厘米的矩形方框，怎样折呢？能否折成一个面积为30平方厘米的矩形方框？
19. 阅读材料，解答问题：
材料：为解方程(x2－1)2－3(x2－1)＝0，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则(x2－1)2＝y2，原方程化为y2－3y＝0，① 解得y1＝0，y2＝3.当y＝0时，x2－1＝0，所以x2＝1，x＝±1；当y＝3时，x2－1＝3，所以x2＝4，x＝±2.
所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.
(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降幂的目的，体现了 的数学思想；
(2)用材料中方法解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)－5＝0.
参考答案
自主预习 基础达标
要点1 化为0 乘积
要点2 2. 因式分解法 3. 配方法 4. 公式法
课后集训 巩固提升
1. C 2. C 3. C 4. D 5. B 6. C 7. D
8. 答案不唯一，如x2＝1
9. 或1
10. 解：(1)2(x－3)2＝(x＋3)(x－3)，(x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0，(x－3)(x－9)＝0，x1＝3，x2＝9.
(2)x2＋2x－3－12＝0，x2＋2x－15＝0，(x－3)(x＋5)＝0，x1＝3，x2＝－5.
11. 解：(1)配方法：方程两边同加1，得x2－2x＋1＝4＋1，即(x－1)2＝5，开平方，得x－1＝±，得x1＝1＋，x2＝1－.
(2)公式法：a＝1，b＝－3，c＝－1，b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－1)＝13>0，∴x＝＝.x1＝，x2＝.
(3)因式分解法：原方程可化为(x2－2x＋1)－4＝0，即(x－1)2－4＝0.因式分解，得(x－1＋2)(x－1－2)＝0，即(x＋1)(x－3)＝0.于是得x＋1＝0或x－3＝0，x1＝－1，x2＝3.
12. 解：由题意，得解得x＝2.∴x＝2时，等式|x2－x－2|＋|2x2－3x－2|＝0成立.
13. 解：(1)①x2＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)；②x2－x－6＝(x＋2)(x－3).
(2)①(x＋2)(x＋4)＝0，x1＝－2，x2－4；②(x－4)(x＋2)＝0，x1＝－2，x2＝4.
15. 解：(1)不正确.理由：∵当x＋5＝0时，甲的解法便无意义，而当x＋5＝0时，方程两边仍相等. (2)原方程可化为x(x＋5)－3(x＋5)＝0，(x＋5)(x－3)＝0，所以x1＝3，x2＝－5.
16. 解：∵方程x(x－7)－10(x－7)＝0可化为(x－7)(x－10)＝0，∴方程的解为x1＝7，x2＝10.当x＝10时，3＋7＝10，∴x2＝10(舍去)，∴这个三角形的周长为17.
17. 解：由题意，得2a＋1≥0且3－2a>0，∴－≤a<，又∵a是整数，∴a＝0或1，原方程整理，得(a－1)x2－2x＋3＝0.∴a－1≠0，即a≠1，当a＝0时，则有x2＋2x－3＝0，∴x1＝－3，x2＝1.
18. 解：设长为x厘米，则宽为(10－x)厘米.由题意得x(10－x)＝16，解得x1＝2，x2＝8.∴矩形的长为8厘米，宽为2厘米.假设能折成一个面积为30平方厘米的矩形方框由题意得，x(10－x)＝30，∵x2－10x＋3＝0，Δ＝102－4×30＝－20<0，∴此方程无实数根.∴不能折成一个面积为30平方厘米的矩形方框.
