北师大版数学九年级上册同步课时训练
第二章 一元二次方程
5 一元二次方程的根与系数的关系
自主预习 基础达标
要点 一元二次方程的根与系数的关系
如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝ ，x1x2＝ .
课后集训 巩固提升
1. 已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的两根，则x1＋x2的值是( )
A. 0 B. 2 C. －2 D. 4
2. 若x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则x1x2的值是( )
A. －2 B. －3 C. 2 D. 3
3. 若关于x的一元二次方程x2＋kx＋4k2－3＝0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1＋x2＝x1·x2，则k的值为( )
A. －1或 B. －1 C. D. 不存在
4. 关于x的一元二次方程x2＋(a2－2a)x＋a－1＝0的两个实数互为相反数，则a的值为( )
A. 2 B. 0 C. 1 D. 2或0
5. 如果关于x的方程x2＋mx＋n＝0的一个根是另一根的2倍，那么m，n之间的关系为( )
A. 2m2＝n B. 2m2＝9n C. m2＝9n D. m＋n＝0
6. 设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝ .
7. 若α，β是方程x2－2x－5＝0的两个实数根，则α2＋β2＝ .
8. 已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两个实数根，则＋的值为 .
9. 若非零实数a，b(a≠b)满足a2＋a－2019＝0，b2＋b－2019＝0，则＋＝ .
10. 已知方程2y2＋3y＋m＝0的两实数根为y1，y2，且＋＝3，求m的值.
11. 若x1，x2是一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根，求下列代数式的值.
(1)(x1－x2)2；
(2)(x1＋)(x2＋).
12. 已知关于x的一元二次方程x2＋(m－1)x－2m2＋m＝0(m为实数)有两个实数根x1，x2.
(1)当m为何值时，x1≠x2；
(2)若x＋x＝2，求m的值.
13. 关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＋1＝0的实数根是x1和x2.
(1)求k的取值范围；
(2)如果x1＋x2－x1x2＜－1，且k为整数，求k的值.
14. 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0的两个实数根，且xx－x1－x2＝115.
(1)求k的值；
(2)求x＋x＋8的值.
15. 已知关于x的方程(x－3)(x－2)－p2＝0.
(1)求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x＋x＝3x1x2，求实数p的值.
16. 已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求实数k的取值范围；
(2)是否存在实数k使得x1·x2－x－x≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.
17. 已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.
(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若x1，x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝2，求m的值和此时方程的两根.
18. 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两实数根.
(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；
(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长.
参考答案
自主预习 基础达标
要点 －
课后集训 巩固提升
1. B 2. B 3. C 4. B 5. B
6. 5
7. 14
8. 10
9.
10. 解：y1＋y2＝－，y1·y2＝，∵＋＝＝3，代入整理得m＝－1.
11. 解：根据一元二次方程的根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝－.(1)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝()2－4×(－)＝.
(2)(x1＋)(x2＋)＝x1x2＋1＋1＋＝－＋2－2＝－.
12. 解：(1)∵x1≠x2，∴Δ＞0.(m－1)2－4(m－2m2)＞0.整理得：9m2－6m＋1＞0，(3m－1)2＞0，即m≠.
(2) 又∵x＋x＝2，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝2，把①②代入得(1－m)2－2(m－2m2)＝2，∴m＝－或1.
13 .解：(1)∵方程有实数根，∴Δ＝22－4(k＋1)≥0，解得k≤0.∴k的取值范围是k≤0.
(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝k＋1.x1＋x2－x1x2＝－2－k－1.由已知，得－2－k－1＜－1，解得k＞－2.又由(1)得k≤0，∴－2＜k≤0.∵k为整数，∴k的值为－1或0.
14. 解：(1)∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝6，x1x2＝k.又xx－x1－x2＝115，∴k2－6＝115，解得k＝11或－11，∵Δ＝62－4k≥0，k≤9，当k＝11时，原方程没有实数根，∴k＝－11.
(2)x＋x＋8＝(x1＋x2)2－2x1x2＋8＝62－2×(－11)＋8＝66.
15. 解：(1)证明：(x－3)(x－2)－p2＝0，x2－5x＋6－p2＝0，Δ＝(－5)2－4×1×(6－p2)＝25－24＋4p2＝1＋4p2，∵无论p取何值时，总有4p2≥0，∴1＋4p2＞0，∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根.
(2)x1＋x2＝5，x1x2＝6－p2，∵x＋x＝3x1x2，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝3x1x2，即(x1＋x2)2＝5x1x2，∴52＝5(6－p2)，∴p＝±1.
16. 解：(1)∵原方程有两个实数根.∴[－(2k＋1)]2－4(k2＋2k)≥0，∴4k2＋4k＋1－4k2－8k≥0，∴1－4k≥0，∴k≤.∴当k≤时，原方程有两个实数根.
(2)假设存在实数k使得x1·x2－x－x≥0成立.∵x1，x2是原方程的两根，∴x1＋x2＝2k＋1，x1·x2＝k2＋2k.由x1·x2－x－x≥0，得3x1·x2－(x1＋x2)2≥0.∴3(k2＋2k)－(2k＋1)2≥0，整理得：－(k－1)2≥0，又由(1)知k≤，∴不存在实数k使得x1·x2－x－x≥0成立.
(2)解：∵x1，x2是原方程的根，∴x1＋x2＝－(m＋3)，x1·x2＝m＋1，∵|x1－x2|＝2，∴(x1－x2)2＝(2)2，∴(x1＋x2)2－4x1x2＝8，∴[－(m＋3)]2－4(m＋1)＝8，∴m2＋2m－3＝0，解得m1＝－3，m2＝1.当m＝－3时，原方程化为x2－2＝0，解得x1＝，x2＝－；当m＝1时，原方程化为x2＋4x＋2＝0，解得x1＝－2＋，x2＝－2－.
18. 解：(1)∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两实数根，∴x1＋x2＝2(m＋1)，x1·x2＝m2＋5.∴(x1－1)(x2－1)＝x1·x2－(x1＋x2)＋1＝m2＋5－2(m＋1)＋1＝28.解得m＝－4或m＝6.∵Δ＝b2－4ac＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝8m－16≥0，∴m≥2.∴m＝6.
(2)①当7为底边长时，方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝0.解得m＝2，∴方程变为x2－6x＋9＝0. 解得x1＝x2＝3，∵3＋3<7，∴不能构成三角形；②当7为腰长时，设x1＝7，代入方程，得49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，解得m＝10或m＝4.当m＝10时，方程变为x2－22x＋105＝0，解得x＝7或x＝15.∵7＋7<15，∴不能构成三角形；当m＝4时，方程变为x2－10x＋21＝0，解得x＝3或x＝7.此时三角形的周长为7＋7＋3＝17.
