北师大版数学九年级上册同步课时训练
第二章 一元二次方程
5 一元二次方程的根与系数的关系
自主预习 基础达标
要点 一元二次方程的根与系数的关系
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,那么x1+x2= ,x1x2= .
课后集训 巩固提升
1. 已知x1,x2是一元二次方程x2-2x=0的两根,则x1+x2的值是( )
A. 0 B. 2 C. -2 D. 4
2. 若x1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根,则x1x2的值是( )
A. -2 B. -3 C. 2 D. 3
3. 若关于x的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的两个实数根分别是x1,x2,且满足x1+x2=x1·x2,则k的值为( )
A. -1或 B. -1 C. D. 不存在
4. 关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数互为相反数,则a的值为( )
A. 2 B. 0 C. 1 D. 2或0
5. 如果关于x的方程x2+mx+n=0的一个根是另一根的2倍,那么m,n之间的关系为( )
A. 2m2=n B. 2m2=9n C. m2=9n D. m+n=0
6. 设m,n是一元二次方程x2+2x-7=0的两个根,则m2+3m+n= .
7. 若α,β是方程x2-2x-5=0的两个实数根,则α2+β2= .
8. 已知x1,x2是方程x2+6x+3=0的两个实数根,则+的值为 .
9. 若非零实数a,b(a≠b)满足a2+a-2019=0,b2+b-2019=0,则+= .
10. 已知方程2y2+3y+m=0的两实数根为y1,y2,且+=3,求m的值.
11. 若x1,x2是一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根,求下列代数式的值.
(1)(x1-x2)2;
(2)(x1+)(x2+).
12. 已知关于x的一元二次方程x2+(m-1)x-2m2+m=0(m为实数)有两个实数根x1,x2.
(1)当m为何值时,x1≠x2;
(2)若x+x=2,求m的值.
13. 关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数根是x1和x2.
(1)求k的取值范围;
(2)如果x1+x2-x1x2<-1,且k为整数,求k的值.
14. 已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-6x+k=0的两个实数根,且xx-x1-x2=115.
(1)求k的值;
(2)求x+x+8的值.
15. 已知关于x的方程(x-3)(x-2)-p2=0.
(1)求证:无论p取何值时,方程总有两个不相等的实数根;
(2)设方程两实数根分别为x1,x2,且满足x+x=3x1x2,求实数p的值.
16. 已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2.
(1)求实数k的取值范围;
(2)是否存在实数k使得x1·x2-x-x≥0成立?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
17. 已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.
(1)求证:无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根;
(2)若x1,x2是原方程的两根,且|x1-x2|=2,求m的值和此时方程的两根.
18. 已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两实数根.
(1)若(x1-1)(x2-1)=28,求m的值;
(2)已知等腰△ABC的一边长为7,若x1,x2恰好是△ABC另外两边的边长,求这个三角形的周长.
参考答案
自主预习 基础达标
要点 -
课后集训 巩固提升
1. B 2. B 3. C 4. B 5. B
6. 5
7. 14
8. 10
9.
10. 解:y1+y2=-,y1·y2=,∵+==3,代入整理得m=-1.
11. 解:根据一元二次方程的根与系数的关系,得x1+x2=,x1x2=-.(1)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=()2-4×(-)=.
(2)(x1+)(x2+)=x1x2+1+1+=-+2-2=-.
12. 解:(1)∵x1≠x2,∴Δ>0.(m-1)2-4(m-2m2)>0.整理得:9m2-6m+1>0,(3m-1)2>0,即m≠.
(2) 又∵x+x=2,∴(x1+x2)2-2x1x2=2,把①②代入得(1-m)2-2(m-2m2)=2,∴m=-或1.
13 .解:(1)∵方程有实数根,∴Δ=22-4(k+1)≥0,解得k≤0.∴k的取值范围是k≤0.
(2)根据一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2=-2,x1x2=k+1.x1+x2-x1x2=-2-k-1.由已知,得-2-k-1<-1,解得k>-2.又由(1)得k≤0,∴-2<k≤0.∵k为整数,∴k的值为-1或0.
14. 解:(1)∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2-6x+k=0的两个实数根,∴x1+x2=6,x1x2=k.又xx-x1-x2=115,∴k2-6=115,解得k=11或-11,∵Δ=62-4k≥0,k≤9,当k=11时,原方程没有实数根,∴k=-11.
(2)x+x+8=(x1+x2)2-2x1x2+8=62-2×(-11)+8=66.
15. 解:(1)证明:(x-3)(x-2)-p2=0,x2-5x+6-p2=0,Δ=(-5)2-4×1×(6-p2)=25-24+4p2=1+4p2,∵无论p取何值时,总有4p2≥0,∴1+4p2>0,∴无论p取何值时,方程总有两个不相等的实数根.
(2)x1+x2=5,x1x2=6-p2,∵x+x=3x1x2,∴(x1+x2)2-2x1x2=3x1x2,即(x1+x2)2=5x1x2,∴52=5(6-p2),∴p=±1.
16. 解:(1)∵原方程有两个实数根.∴[-(2k+1)]2-4(k2+2k)≥0,∴4k2+4k+1-4k2-8k≥0,∴1-4k≥0,∴k≤.∴当k≤时,原方程有两个实数根.
(2)假设存在实数k使得x1·x2-x-x≥0成立.∵x1,x2是原方程的两根,∴x1+x2=2k+1,x1·x2=k2+2k.由x1·x2-x-x≥0,得3x1·x2-(x1+x2)2≥0.∴3(k2+2k)-(2k+1)2≥0,整理得:-(k-1)2≥0,又由(1)知k≤,∴不存在实数k使得x1·x2-x-x≥0成立.
(2)解:∵x1,x2是原方程的根,∴x1+x2=-(m+3),x1·x2=m+1,∵|x1-x2|=2,∴(x1-x2)2=(2)2,∴(x1+x2)2-4x1x2=8,∴[-(m+3)]2-4(m+1)=8,∴m2+2m-3=0,解得m1=-3,m2=1.当m=-3时,原方程化为x2-2=0,解得x1=,x2=-;当m=1时,原方程化为x2+4x+2=0,解得x1=-2+,x2=-2-.
18. 解:(1)∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两实数根,∴x1+x2=2(m+1),x1·x2=m2+5.∴(x1-1)(x2-1)=x1·x2-(x1+x2)+1=m2+5-2(m+1)+1=28.解得m=-4或m=6.∵Δ=b2-4ac=4(m+1)2-4(m2+5)=8m-16≥0,∴m≥2.∴m=6.
(2)①当7为底边长时,方程x2-2(m+1)x+m2+5=0有两个相等的实数根,∴Δ=4(m+1)2-4(m2+5)=0.解得m=2,∴方程变为x2-6x+9=0. 解得x1=x2=3,∵3+3<7,∴不能构成三角形;②当7为腰长时,设x1=7,代入方程,得49-14(m+1)+m2+5=0,解得m=10或m=4.当m=10时,方程变为x2-22x+105=0,解得x=7或x=15.∵7+7<15,∴不能构成三角形;当m=4时,方程变为x2-10x+21=0,解得x=3或x=7.此时三角形的周长为7+7+3=17.