北师大版数学九年级上册同步课时训练
第二章 一元二次方程
6 应用一元二次方程
第1课时 应用一元二次方程(一)
自主预习 基础达标
要点一 一元二次方程在几何图形中的应用
几何图形应用题，关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.
要点二 用一元二次方程解决动态几何图形问题
用一元二次方程解决路程、工程等问题常需构造三角形，利用路程速度、时间(或时间、效率、工作量)三者之者的关系，结合勾股定理，建立等量关系解决问题.
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1. 张大伯计划建一个面积为72m2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场一边靠着原有的一堵墙(墙长15m)，另外的部分用26m的竹篱笆围成，如图所示，如果设垂直于墙的一边长为xm，那么x满足的方程是( )
A. x(13－x)＝72 B. x(26－x)＝72
C. ＝72 D. x(26－2x)＝72
2. 从正方形铁片上截去一部分宽为3cm矩形铁片，剩余部分面积为130cm2，则原来铁片的面积为( )
A. 169cm2 B. 256cm2 C. 225cm2 D. 196cm2
3. 用一块长80厘米、宽60厘米的薄铁片，在四个角截去边长为x厘米的小正方形，做成一个无盖的铁盒，若铁盒的底面积为1500平方厘米，据题意所列方程整理后正确的是( )
A. x2－70x＋825＝0 B. x2＋70x－825＝0
C. x2－70x－825＝0 D. x2＋70x＋825＝0
4. 如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米.设道路宽为x米，根据题意可列出的方程为 .
5. 把长40cm、宽30cm的长方形铁片的四角都截去一个大小相同的正方形，然后把每边折起来，做成一个没盖的盒子，使它的底面积是原来铁片面积的一半，求盒子的高. 在这个问题中，设盒子的高为xcm，则四角截去的小正方形的边长为 ，盒子底的长是 ，宽是 ，可依据相等关系 ，列出方程 .
6. 如图为一个正方形场地被平行于一边的一条直线分割成两个面积不等的矩形，这两个矩形的面积差为72m2，且面积较小的矩形的宽为7m，则原正方形场地的边长为 .
7. 某校团委准备举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm，宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与画面面积相等(如图)，求彩纸的宽度.
8. 如图，甲、乙两人分别从正方形广场ABCD的顶点B，C两点同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动，甲的速度为1km/min，乙的速度为2km/min，若正方形广场的周长为40km，问几分钟后，两人相距2km?
9. 如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，点P从A点出发沿AB以5cm/s的速度向B点移动，一直到达点B为止；同时，点Q从C出发沿CD为3cm/s的速度向点D移动，经过多长时间P，Q两点之间的距离为10cm?
10. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所建矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2?
11. 某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000m2，施工队在绿化了22000m2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程.
(1)该项绿化工程原计划每天完成多少m2?
(2)该项绿化工程中有一块长为20m，宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，问人行通道的宽度是多少米？
12. 如图，已知在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么多长时间后，△PBQ的面积等于4cm2?
(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么多长时间后，PQ的长度等于5cm?
(3)如果P，Q分别从A，B同时出发，△PBQ的面积能否等于8cm2？说明理由.由此思考：△PBQ的面积最大为多少？
参考答案
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1. D 2. A 3. A
4. (22－x)(17－x)＝300
5. xcm (40－2x)cm (30－2x)cm 盒子底面积为原铁片面积的一半 (40－2x)(30－2x)＝40×30×
6. 18m
7. 解：设彩纸的宽度为xcm，根据题意得(30＋2x)(20＋2x)＝2×30×20，整理得x2＋25x－150＝0，解得x1＝5，x2＝－30(舍去)，故彩纸的宽度为5cm.
8. 解：设xmin后，两人相距2km，此时甲运动到F点，乙运动到E点，于是FC＝x，EC＝10－2x，在Rt△EFC中，得x2＋(10－2x)2＝(2)2，解得：x1＝2，x2＝6.∵x>0，且10－2x>0，09. 解：过点Q作QE⊥AB于点E，设运动时间为ts，则PE＝AB－AP－CQ＝16－8t，根据勾股定理，得PQ2＝PE2＋QE2，即102＝(16－8t)2＋62，解得，t1＝1，t2＝3.∵5t≤16，∴t≤，∴t1＝1，t2＝3均为一元二次方程的解，且符合题意.∴经过1s或3s，P，Q两点之间的距离为10cm.
10. 解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为xm，则矩形猪舍的另一边长为(26－2x)m.依题意，得x(26－2x)＝80.化简，得x2－13x＋40＝0.解这个方程，得x1＝5，x2＝8.当x＝5时，26－2x＝16>12(舍去)；当x＝8时，26－2x＝10<12.答：所建矩形猪舍的长为10m，宽为8m时，猪舍面积为80m2.
11. 解：(1)设该项绿化工程原计划每天完成xm2.根据题意，得－＝4.整理，得6x＝12000，解得x＝2000.经检验，x＝2000是原方程的解.答：该项绿化工程原计划每天完成2000m2.
12. 解：(1)设xs后，△PBQ的面积等于4cm2，此时，AP＝xcm，BP＝(5－x)cm，BQ＝2xcm.由BP·BQ＝4，得(5－x)·2x＝4.整理，得x2－5x＋4＝0.解方程，得x1＝1，x2＝4.当x＝4时，2x＝8>7，不合要求，则x＝1.答：1s后，△PBQ的面积等于4cm2.
(2)仿照(1)，由BP2＋BQ2＝52，得(5－x)2＋(2x)2＝52.整理，得x2－2x＝0，解方程，得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝2.答：2s后，PQ的长度等于5cm.
(3)仿照(1)得PB·BQ＝8，即x(5－x)＝8，x2－5x＋8＝0，∵Δ＝(－5)2－4×1×8＝－7<0，∴原方程无实数根.∴△PBQ的面积不能等于8cm2.∵x(5－x)＝－(x－2.5)2＋6.25，∴△PBQ的面积最大为6.25cm2.
