2019-2020学年高中数学北师大版必修2课件：第二章解析几何初步2.2.2圆的一般方程（25张）

课件25张PPT。2.2　圆的一般方程1.圆的一般方程的定义
当D2+E2-4F>0时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆,这时这个方程叫作圆的一般方程.
【做一做1】 圆x2+y2-4x=0的圆心坐标和半径分别为(　　)
A.(0,2),2 B.(2,0),4
C.(-2,0),2 D.(2,0),2
解析:圆的方程可化为(x-2)2+y2=4,可知圆心坐标为(2,0),半径为2.故选D.
答案:D2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形 【做一做2】 已知方程x2+y2-4x+4y+10-k=0表示圆,则k的取值范围是(　　)
A.k<2 B.k>2
C.k≥2 D.k≤2
解析:依题意有(-4)2+42-4×(10-k)>0,解得k>2.
答案:B思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定是某个圆的方程. (　　)
(2)圆的方程中不能含有xy这样的项. (　　)
(3)x2+y2+Dx+Ey+F=0一定表示圆的方程的条件为D2+E2-4F>0. (　　)
(4)若圆过原点,则在平面直角坐标系中该圆的一般方程式中常数项肯定为0. (　　)× √ √ √ 探究一探究二探究三易错辨析对圆的一般方程的理解
【例1】 已知方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0.若该方程表示圆,求m的取值范围.
分析:根据二元二次方程表示圆的条件建立关于m的不等式求解.
解:若该方程表示圆,则D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,探究一探究二探究三易错辨析反思感悟1.判断方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否表示圆的两种方法:
(1)配方法.对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后,观察是否表示圆,并求圆心半径.
(2)运用圆的一般方程的判断方法求解,即通过判断D2+E2-4F是否为正,确定它是否表示圆.探究一探究二探究三易错辨析变式训练1下列方程中,表示圆的是(　　)
A.x2+y2-2x+2y+2=0
B.x2+y2-2xy+y+1=0
C.x2+2y2-2x+4y+3=0
D.x2+y2+4x-6y+6=0
解析:二元二次方程若表示圆,须满足x2,y2系数相同,没有xy项,且D2+E2-4F>0,即可排除A,B,C,故选D.
答案:D探究一探究二探究三易错辨析探究二待定系数法求圆的一般方程? 【例2】△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),求△ABC的外接圆的方程.分析:所求圆经过A,B,C三点,因此三点的坐标应适合圆的方程,可设出一般方程代入点坐标解方程组即可确定圆的方程.探究一探究二探究三易错辨析解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. ∴△ABC的外接圆的方程为x2+y2-4x-2y-20=0. 探究一探究二探究三易错辨析反思感悟1.用待定系数法求圆的一般方程分三步:
(1)设出一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0;
(2)根据题意,列出关于D,E,F的方程组;
(3)解出D,E,F的值代入即得圆的一般方程.
2.对圆的一般方程和标准方程的选择:
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标和半径或需用到圆心坐标或半径来列方程组时,通常设圆的标准方程求解;
(2)如果已知条件与圆心坐标和半径均无直接的关系,那么可通过设圆的一般方程求解.探究一探究二探究三易错辨析变式训练2求圆心在直线3x+2y=0上,并且与x轴交于A(-2,0)和B(6,0)两点的圆的方程.故所求圆的方程为x2+y2-4x+6y-12=0. 探究一探究二探究三易错辨析用圆的几何性质求圆的方程
【例3】经过A(-2,4),B(3,-1)两点,并且在x轴上截得的弦长等于6,求圆的方程.
分析:由于圆心在线段AB的垂直平分线上,可以先求AB的中垂线方程,再设出圆心坐标,建立方程,最后求半径.探究一探究二探究三易错辨析所以AB的中垂线方程为y=x+1,于是设圆心的坐标为(a,a+1),
由圆的几何性质知(a-3)2+(a+2)2=32+(a+1)2,
解得a=1或a=3.
当a=1时,圆心为(1,2),r2=13,所以圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=13;
当a=3时,圆心为(3,4),r2=25,所求圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=25.
综上所述,圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=13或(x-3)2+(y-4)2=25.
反思感悟求圆的方程关键是确定圆心坐标和圆的半径.已知圆上三点,可利用圆心是弦的垂直平分线的交点求圆心.探究一探究二探究三易错辨析变式训练3△ABC的三个顶点坐标分别为A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),求其外接圆的方程.
解:AB边的垂直平分线的方程为x+7y-9=0,①
BC边的垂直平分线的方程为x+y-3=0,②
联立①②得,圆心坐标为(2,1),∴△ABC外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=25. 探究一探究二探究三易错辨析正解∵点A在圆外, 因忽视二元二次方程表示圆的条件而致误
【典例】 已知定点A(a,2)在圆x2+y2-2ax-3y+a2+a=0的外部,求a的取值范围.
错解∵点A在圆外,∴a2+4-2a2-3×2+a2+a>0,∴a>2.纠错心得本题错解的根本原因在于没有把握住圆的一般方程的定义.二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆时,需D2+E2-4F>0,所以,本题除了点在圆外的条件以外,还应注意方程表示圆这一隐含条件.探究一探究二探究三易错辨析变式训练已知圆的方程为x2+y2-2x=0,点P(x,y)在圆上,求2x2+y2的最值.
解:由x2+y2-2x=0得y2=-x2+2x≥0,
解得0≤x≤2,
所以2x2+y2=x2+2x=(x+1)2-1∈[0,8],
当x=0时,2x2+y2取最小值0,
当x=2时,2x2+y2取最大值8,
故2x2+y2的最小值为0,最大值为8.123451.若方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圆心为C(2,2),半径为2的圆,则a,b,c的值依次为(　　)
A.2,4,4 B.-2,4,4
C.2,-4,4 D.2,-4,-4答案:B 123452.若x2+y2-x+y-m=0表示一个圆,则m的取值范围是(　　) 解析:因为方程x2+y2-x+y-m=0表示圆,
所以(-1)2+12+4m=4m+2>0,即m>- .故选A.
答案:A123453.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是　　　　　　　　　.?
解析:依题得圆x2+2x+y2=0的圆心坐标为(-1,0).
因为直线x+y=0的斜率为-1,所以所求直线的斜率为1.
故所求的直线方程为x-y+1=0.
答案:x-y+1=0123454.经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程为　　　　　　　.?所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.
答案:(x-2)2+(y-1)2=10123455.根据下列条件求圆的方程.
(1)经过点P(1,1)和坐标原点,且圆心在直线2x+3y+1=0上;
(2)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2);
(3)过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2).
解:(1)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,所以圆的标准方程为(x-4)2+(y+3)2=25. 12345(2)解法1:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 所以圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.
解法2:过切点且与直线x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3,与y=-4x联立可求得圆心坐标为(1,-4).所以圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. 12345(3)解法1:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 所以圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0. 12345则AB的中垂线方程为3x-y-1=0.
同理得AC的中垂线方程为x+y-3=0.所以圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=100.