2019-2020学年高中数学北师大版必修2课件：第二章解析几何初步2.3.1空间直角坐标系的建立2.3.2空间直角坐标系中点的坐标（26张））
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| 名称 | 2019-2020学年高中数学北师大版必修2课件：第二章解析几何初步2.3.1空间直角坐标系的建立2.3.2空间直角坐标系中点的坐标（26张）） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-08 20:37:32 | ||
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文档简介
课件26张PPT。§3 空间直角坐标系3.1 空间直角坐标系的建立 3.2 空间直角坐标系中点的坐标1.空间直角坐标系的建立
(1)定义:在平面直角坐标系的基础上,通过原点O,再增加一条与xOy平面垂直的z轴,这样就建立了三个维度的空间直角坐标系,其中点O叫作原点,x,y,z轴统称为坐标轴,由坐标轴确定的平面叫作坐标平面.
(2)画法:在平面上画空间直角坐标系时,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.
(3)说明:本书建立的坐标系都是右手直角坐标系,即伸出右手,让四指与大拇指垂直,并使四指先指向x轴正方向,再让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向,此时大拇指的指向即为z轴正向.也称这个坐标系为右手系.2.空间直角坐标系中点的坐标
在空间直角坐标系中,对于空间任意一点P,都可以用一个三元有序数组(x,y,z)来表示,其中第一个是x坐标,第二个是y坐标,第三个是z坐标;反之,任何一个三元有序数组(x,y,z),都可以确定空间中的一个点P.这样,在空间直角坐标系中,点与三元有序数组之间建立了一一对应的关系.【做一做】 如图,长方体OABC-D1A1B1C1的长、宽、高分别为4,3,5,以长方体的一个顶点为原点建立空间直角坐标系,将长方体的各个顶点用坐标表示出来.解:建立如图所示的空间直角坐标系.
因为|AB|=4,|BC|=3,|CC1|=5,
所以各顶点的坐标分别为O(0,0,0),A(3,0,0),B(3,4,0),
C(0,4,0),A1(3,0,5),D1(0,0,5),B1(3,4,5),C1(0,4,5).答案不唯一.思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)在空间直角坐标系中,在x轴上的点的坐标一定是(0,b,c). ( )
(2)在空间直角坐标系中,在yOz平面上的点的坐标一定是(0,b,c). ( )
(3)在空间直角坐标系中,在z轴上的点的坐标可记作(0,0,c). ( )
(4)在空间直角坐标系中,在xOz平面上的点的坐标是(a,0,c). ( )
(5)在空间直角坐标系中,点(x0,y0,z0)关于x轴对称的点坐标为(-x0,-y0,-z0). ( )× √ √ √ × 探究一探究二探究三思想方法探究一根据点的坐标确定点的位置
【例1】 在空间直角坐标系中,作出点M(2,-6,4).
分析:可以先确定点(2,-6,0)在xOy平面的位置,再由竖坐标确定在空间直角坐标系中的位置.
解:(方法一)先确定点M'(2,-6,0)在xOy平面上的位置,因为点M的竖坐标为4,
则|MM'|=4,且点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧,这样就可确定点M的位置(如图所示).探究一探究二探究三思想方法方法二:以O为一个顶点,构造三条棱长分别为2,6,4的长方体,使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上,则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点(图略).反思感悟1.根据点的坐标确定点的位置,要先确定点(x0,y0)在xOy平面上的位置,再由竖坐标确定点(x0,y0,z0)在空间直角坐标系中的位置.
2.以原点O为一个顶点,构造棱长分别为|x0|,|y0|,|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0,y0,z0的符号一致),则长方体中与O相对的顶点即为所求的点.探究一探究二探究三思想方法变式训练1点(-2,-1,0)在空间直角坐标系中的位置是( )
A.在z轴上
B.在xOy平面上
C.在xOz平面上
D.在yOz平面上
解析:因为点(-2,-1,0)的z轴坐标为0,
所以点(-2,-1,0)在xOy平面上.
答案:B探究一探究二探究三思想方法探究二已知点的位置写出它的坐标? 【例2】 M-OAB是棱长为a的正四面体,顶点M在底面OAB上的射影为H,请建立适当的空间直角坐标系,并分别写出点O,A,B,H,M的坐标.分析:以O为原点,射线OA为y轴正方向建立空间直角坐标系,点B在平面xOy内.探究一探究二探究三思想方法解:以△AOB的顶点O为坐标原点,射线OA为y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,点B在平面xOy内.
由题意知|MO|=|MA|=|MB|=|OA|=|OB|=|AB|=a,本题答案不唯一. 反思感悟选择一个合适的点作为空间直角坐标系的原点,是求解空间点的坐标问题的关键,本题还可以建立以H点为原点的空间直角坐标系.探究一探究二探究三思想方法变式训练2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为8,E是A1C1的中点,且|BF|=3|FB1|.建立空间直角坐标系,并求点A,C1,B1,E,F的坐标.探究一探究二探究三思想方法解:如图,以点D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.易得A(8,0,0),C1(0,8,8),B1(8,8,8).由于点E在xOy平面上的投影为AC的中点,所以H(4,4,0),
又|EH|=8,所以点E的z坐标为8.
因此点E的坐标为(4,4,8).
点F在平面xOy上的投影为B(8,8,0),
因为|BB1|=8,|BF|=3|FB1|,所以|BF|=6,即点F的z坐标为6.所以点F的坐标为(8,8,6).探究一探究二探究三思想方法探究三空间中的对称点问题? 【例3】在长方体OABC-D'A'B'C'中,|OA|=3,|OC|=4,|OD'|=2,以O为原点,以OA,OC,OD'所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
(1)求线段A'C的中点M的坐标;
(2)求点B'关于y轴对称点的坐标,关于yOz平面对称点的坐标;
(3)求点B'关于点P(2,-1,-4)对称点的坐标.探究一探究二探究三思想方法分析:类比平面直角坐标系中点的对称问题,根据对称点的变化规律结合中点坐标公式即可求解.
解:(1)由于|OA|=3,|OC|=4,|OD'|=2,(2)易知B'的坐标为(3,4,2).
所以B'关于y轴对称点的坐标为(-3,4,-2);B'关于yOz平面对称点的坐标为(-3,4,2).
(3)设B'关于P(2,-1,-4)对称的点为B1(x0,y0,z0),则P是线段B'B1的中点,解得x0=1,y0=-6,z0=-10,
于是B1(1,-6,-10),
即点B'关于点P(2,-1,-4)对称点的坐标为(1,-6,-10).探究一探究二探究三思想方法反思感悟空间直角坐标系中点的对称
1.关于坐标平面、坐标轴及坐标原点对称的点有以下特点:2.求对称点的问题可以用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”的口诀来记忆.如关于x轴对称的点的坐标就是横坐标不变,其余的两个变成相反数;关于坐标平面xOy的对称点,横、纵坐标不变,竖坐标变成原来的相反数.探究一探究二探究三思想方法变式训练3在空间直角坐标系中,给定点M(1,-2,3),求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点对称的点的坐标.
解:点M(1,-2,3)关于坐标平面xOy对称的点是(1,-2,-3),关于坐标平面xOz对称的点是(1,2,3),关于坐标平面yOz对称的点是(-1,-2,3).
点M(1,-2,3)关于x轴对称的点是(1,2,-3),关于y轴对称的点是(-1,-2,-3),关于z轴对称的点是(-1,2,3).
点M(1,-2,3)关于原点对称的点是(-1,2,-3).探究一探究二探究三思想方法空间直角坐标系的应用
【典例】 如图,点A的坐标是(1,1,0),对于z轴正半轴上任意一点P,在y轴正半轴上是否存在一点B,使得PA⊥AB恒成立?若存在,求出B点的坐标;若不存在,说明理由.
思路点拨:由立体几何知识可知欲使PA⊥AB,只需使OA⊥AB,空间问题转化为平面问题.欲证OA⊥AB,只需证明|OA|2+|AB|2=|OB|2,从而将几何问题转化为代数计算问题.探究一探究二探究三思想方法设P(0,0,c),B(0,b,0),
对于z轴正半轴上任意一点P,
假设在y轴正半轴上存在一点B,使得PA⊥AB恒成立,
连接OA,则由线面垂直可知只需证OA⊥AB,
即只需证|OA|2+|AB|2=|OB|2.
在平面xOy内的点的坐标为A(1,1),B(0,b),O(0,0),
令(1-0)2+(1-0)2+(1-0)2+(1-b)2=(0-0)2+(0-b)2,解得b=2.
所以存在这样的点B,当点B为(0,2,0)时,PA⊥AB恒成立.
方法点睛空间直角坐标系是解决几何问题的有利工具,利用它往往能将一个复杂的立体几何问题简单化,把几何问题转化为代数问题,可降低解题的难度.解:存在点B,使得PA⊥AB恒成立.
理由如下:123451.点P(3,0,4)位于( )
A.x轴上 B.y轴上
C.xOz平面内 D.xOy平面内
答案:C123452.在空间直角坐标系中,点M(1,2,3)关于x轴对称的点N的坐标是( )
A.N(-1,2,3)
B.N(1,-2,3)
C.N(1,2,-3)
D.N(1,-2,-3)
答案:D123453.在空间直角坐标系中,下列各点位于yOz平面内的是 ( )
A.(3,2,1) B.(2,0,0)
C.(5,0,2) D.(0,-1,-3)
解析:位于yOz平面内的点,其x坐标为0,其余坐标任意,故(0,-1,-3)在yOz平面内.
答案:D123454.在空间直角坐标系中,过点P(2,3,7)且与y轴垂直的平面与y轴的交点坐标为 ,点P在xOy平面上的投影坐标为 ,在yOz平面上的投影坐标是 .?
答案:(0,3,0) (2,3,0) (0,3,7)123455.已知棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D',建立如图所示的空间直角坐标系,试写出正方体各顶点的坐标.12345解:因为正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,
(1)定义:在平面直角坐标系的基础上,通过原点O,再增加一条与xOy平面垂直的z轴,这样就建立了三个维度的空间直角坐标系,其中点O叫作原点,x,y,z轴统称为坐标轴,由坐标轴确定的平面叫作坐标平面.
(2)画法:在平面上画空间直角坐标系时,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.
(3)说明:本书建立的坐标系都是右手直角坐标系,即伸出右手,让四指与大拇指垂直,并使四指先指向x轴正方向,再让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向,此时大拇指的指向即为z轴正向.也称这个坐标系为右手系.2.空间直角坐标系中点的坐标
在空间直角坐标系中,对于空间任意一点P,都可以用一个三元有序数组(x,y,z)来表示,其中第一个是x坐标,第二个是y坐标,第三个是z坐标;反之,任何一个三元有序数组(x,y,z),都可以确定空间中的一个点P.这样,在空间直角坐标系中,点与三元有序数组之间建立了一一对应的关系.【做一做】 如图,长方体OABC-D1A1B1C1的长、宽、高分别为4,3,5,以长方体的一个顶点为原点建立空间直角坐标系,将长方体的各个顶点用坐标表示出来.解:建立如图所示的空间直角坐标系.
因为|AB|=4,|BC|=3,|CC1|=5,
所以各顶点的坐标分别为O(0,0,0),A(3,0,0),B(3,4,0),
C(0,4,0),A1(3,0,5),D1(0,0,5),B1(3,4,5),C1(0,4,5).答案不唯一.思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)在空间直角坐标系中,在x轴上的点的坐标一定是(0,b,c). ( )
(2)在空间直角坐标系中,在yOz平面上的点的坐标一定是(0,b,c). ( )
(3)在空间直角坐标系中,在z轴上的点的坐标可记作(0,0,c). ( )
(4)在空间直角坐标系中,在xOz平面上的点的坐标是(a,0,c). ( )
(5)在空间直角坐标系中,点(x0,y0,z0)关于x轴对称的点坐标为(-x0,-y0,-z0). ( )× √ √ √ × 探究一探究二探究三思想方法探究一根据点的坐标确定点的位置
【例1】 在空间直角坐标系中,作出点M(2,-6,4).
分析:可以先确定点(2,-6,0)在xOy平面的位置,再由竖坐标确定在空间直角坐标系中的位置.
解:(方法一)先确定点M'(2,-6,0)在xOy平面上的位置,因为点M的竖坐标为4,
则|MM'|=4,且点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧,这样就可确定点M的位置(如图所示).探究一探究二探究三思想方法方法二:以O为一个顶点,构造三条棱长分别为2,6,4的长方体,使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上,则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点(图略).反思感悟1.根据点的坐标确定点的位置,要先确定点(x0,y0)在xOy平面上的位置,再由竖坐标确定点(x0,y0,z0)在空间直角坐标系中的位置.
2.以原点O为一个顶点,构造棱长分别为|x0|,|y0|,|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0,y0,z0的符号一致),则长方体中与O相对的顶点即为所求的点.探究一探究二探究三思想方法变式训练1点(-2,-1,0)在空间直角坐标系中的位置是( )
A.在z轴上
B.在xOy平面上
C.在xOz平面上
D.在yOz平面上
解析:因为点(-2,-1,0)的z轴坐标为0,
所以点(-2,-1,0)在xOy平面上.
答案:B探究一探究二探究三思想方法探究二已知点的位置写出它的坐标? 【例2】 M-OAB是棱长为a的正四面体,顶点M在底面OAB上的射影为H,请建立适当的空间直角坐标系,并分别写出点O,A,B,H,M的坐标.分析:以O为原点,射线OA为y轴正方向建立空间直角坐标系,点B在平面xOy内.探究一探究二探究三思想方法解:以△AOB的顶点O为坐标原点,射线OA为y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,点B在平面xOy内.
由题意知|MO|=|MA|=|MB|=|OA|=|OB|=|AB|=a,本题答案不唯一. 反思感悟选择一个合适的点作为空间直角坐标系的原点,是求解空间点的坐标问题的关键,本题还可以建立以H点为原点的空间直角坐标系.探究一探究二探究三思想方法变式训练2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为8,E是A1C1的中点,且|BF|=3|FB1|.建立空间直角坐标系,并求点A,C1,B1,E,F的坐标.探究一探究二探究三思想方法解:如图,以点D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.易得A(8,0,0),C1(0,8,8),B1(8,8,8).由于点E在xOy平面上的投影为AC的中点,所以H(4,4,0),
又|EH|=8,所以点E的z坐标为8.
因此点E的坐标为(4,4,8).
点F在平面xOy上的投影为B(8,8,0),
因为|BB1|=8,|BF|=3|FB1|,所以|BF|=6,即点F的z坐标为6.所以点F的坐标为(8,8,6).探究一探究二探究三思想方法探究三空间中的对称点问题? 【例3】在长方体OABC-D'A'B'C'中,|OA|=3,|OC|=4,|OD'|=2,以O为原点,以OA,OC,OD'所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
(1)求线段A'C的中点M的坐标;
(2)求点B'关于y轴对称点的坐标,关于yOz平面对称点的坐标;
(3)求点B'关于点P(2,-1,-4)对称点的坐标.探究一探究二探究三思想方法分析:类比平面直角坐标系中点的对称问题,根据对称点的变化规律结合中点坐标公式即可求解.
解:(1)由于|OA|=3,|OC|=4,|OD'|=2,(2)易知B'的坐标为(3,4,2).
所以B'关于y轴对称点的坐标为(-3,4,-2);B'关于yOz平面对称点的坐标为(-3,4,2).
(3)设B'关于P(2,-1,-4)对称的点为B1(x0,y0,z0),则P是线段B'B1的中点,解得x0=1,y0=-6,z0=-10,
于是B1(1,-6,-10),
即点B'关于点P(2,-1,-4)对称点的坐标为(1,-6,-10).探究一探究二探究三思想方法反思感悟空间直角坐标系中点的对称
1.关于坐标平面、坐标轴及坐标原点对称的点有以下特点:2.求对称点的问题可以用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”的口诀来记忆.如关于x轴对称的点的坐标就是横坐标不变,其余的两个变成相反数;关于坐标平面xOy的对称点,横、纵坐标不变,竖坐标变成原来的相反数.探究一探究二探究三思想方法变式训练3在空间直角坐标系中,给定点M(1,-2,3),求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点对称的点的坐标.
解:点M(1,-2,3)关于坐标平面xOy对称的点是(1,-2,-3),关于坐标平面xOz对称的点是(1,2,3),关于坐标平面yOz对称的点是(-1,-2,3).
点M(1,-2,3)关于x轴对称的点是(1,2,-3),关于y轴对称的点是(-1,-2,-3),关于z轴对称的点是(-1,2,3).
点M(1,-2,3)关于原点对称的点是(-1,2,-3).探究一探究二探究三思想方法空间直角坐标系的应用
【典例】 如图,点A的坐标是(1,1,0),对于z轴正半轴上任意一点P,在y轴正半轴上是否存在一点B,使得PA⊥AB恒成立?若存在,求出B点的坐标;若不存在,说明理由.
思路点拨:由立体几何知识可知欲使PA⊥AB,只需使OA⊥AB,空间问题转化为平面问题.欲证OA⊥AB,只需证明|OA|2+|AB|2=|OB|2,从而将几何问题转化为代数计算问题.探究一探究二探究三思想方法设P(0,0,c),B(0,b,0),
对于z轴正半轴上任意一点P,
假设在y轴正半轴上存在一点B,使得PA⊥AB恒成立,
连接OA,则由线面垂直可知只需证OA⊥AB,
即只需证|OA|2+|AB|2=|OB|2.
在平面xOy内的点的坐标为A(1,1),B(0,b),O(0,0),
令(1-0)2+(1-0)2+(1-0)2+(1-b)2=(0-0)2+(0-b)2,解得b=2.
所以存在这样的点B,当点B为(0,2,0)时,PA⊥AB恒成立.
方法点睛空间直角坐标系是解决几何问题的有利工具,利用它往往能将一个复杂的立体几何问题简单化,把几何问题转化为代数问题,可降低解题的难度.解:存在点B,使得PA⊥AB恒成立.
理由如下:123451.点P(3,0,4)位于( )
A.x轴上 B.y轴上
C.xOz平面内 D.xOy平面内
答案:C123452.在空间直角坐标系中,点M(1,2,3)关于x轴对称的点N的坐标是( )
A.N(-1,2,3)
B.N(1,-2,3)
C.N(1,2,-3)
D.N(1,-2,-3)
答案:D123453.在空间直角坐标系中,下列各点位于yOz平面内的是 ( )
A.(3,2,1) B.(2,0,0)
C.(5,0,2) D.(0,-1,-3)
解析:位于yOz平面内的点,其x坐标为0,其余坐标任意,故(0,-1,-3)在yOz平面内.
答案:D123454.在空间直角坐标系中,过点P(2,3,7)且与y轴垂直的平面与y轴的交点坐标为 ,点P在xOy平面上的投影坐标为 ,在yOz平面上的投影坐标是 .?
答案:(0,3,0) (2,3,0) (0,3,7)123455.已知棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D',建立如图所示的空间直角坐标系,试写出正方体各顶点的坐标.12345解:因为正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,