2019-2020学年高中数学北师大版必修2课件：第一章立体几何初步1.6.2垂直关系的性质（26张）

课件26张PPT。6.2　垂直关系的性质1.直线与平面垂直的性质定理 知识拓展有关直线与平面垂直的性质的其他结论及应用: 【做一做1】如右图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面四边形ABCD是平行四边形,SC⊥平面ABCD,E为SA的中点.
求证:平面EBD⊥平面ABCD.证明:如右图所示,连接AC,与BD交于点F,连接EF.
∵F为?ABCD的对角线AC与BD的交点,∴F为AC的中点.
又E为SA的中点,∴EF为△SAC的中位线,
∴EF∥SC.
∵SC⊥平面ABCD,∴EF⊥平面ABCD.
又EF?平面EBD,∴平面EBD⊥平面ABCD.2.平面与平面垂直的性质定理 【做一做2】 下列说法中错误的是(　　)
A.如果α⊥β,那么α内的所有直线都垂直β
B.如果一条直线垂直于一个平面,那么此直线必垂直于这个平面内的所有直线
C.如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直
D.如果α不垂直于β,那么α内一定不存在垂直于β的直线
解析:根据两平面垂直的性质定理,可知A错误,故选A.
答案:A名师点拨1.对面面垂直的性质定理的理解
(1)定理可简记为“面面垂直,则线面垂直”,该定理可以作为判断线面垂直的判定方法,即只要两个平面垂直,那么在其中一个平面内作交线的垂线便得线面垂直.
(2)应用定理的三个条件:
①两个平面垂直;②直线必须在其中一个平面内;③直线必须与交线垂直.2.面面垂直的其他结论
(1)如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内;
(2)如果两个平面互相垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面;
(3)如果两个平面互相垂直,那么其中一个平面的垂线与另一个平面平行或在另一个平面内;
(4)如果两个平面都与第三个平面垂直,那么这两个平面要么平行,要么它们的交线与第三个平面垂直.思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)垂直于同一条直线的两条直线平行. (　　)
(2)垂直于同一条直线的两条直线垂直. (　　)
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行. (　　)
(4)垂直于同一条直线的直线和平面平行. (　　)
(5)如果两个平面垂直,且经过第一个平面内一点作一条直线垂直于第二个平面,那么该直线一定在第一个平面内. (　　)× × √ × √ 探究一探究二易错辨析探究一线面垂直的性质定理及其应用
【例1】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且EF⊥A1D,EF⊥AC.
求证:EF∥BD1.
分析:要证EF∥BD1,只需证明EF与BD1同垂直于某一个平面即可,由条件可知这里当然选择平面AB1C.证明:连接AB1,B1C,BD,B1D1.
∵DD1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD,且BD∩DD1=D,
∴AC⊥平面BDD1B1.
∵BD1?平面BDD1B1,∴BD1⊥AC.
同理,BD1⊥B1C.
∵B1C∩AC=C,∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D,A1D∥B1C,∴EF⊥B1C.
又EF⊥AC,且AC∩B1C=C,∴EF⊥平面AB1C.
∴EF∥BD1.探究一探究二易错辨析探究一探究二易错辨析反思感悟1.直线与平面垂直的性质定理揭示了平行与垂直的内在联系,给出了一个证明两直线平行的方法,即只需证明两条直线均与同一平面垂直,它反映了线线平行与线面垂直在逻辑上的相互转化,即“若线面垂直,则线线平行”.
2.利用直线与平面垂直的性质定理可构造平行线,即使这些直线都垂直于同一个平面.探究一探究二易错辨析变式训练1如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.
求证:MN∥AD1.
证明:∵ADD1A1为正方形,
∴AD1⊥A1D.
又CD⊥平面ADD1A1,AD1?平面ADD1A1,
∴CD⊥AD1.
∵A1D∩CD=D,
∴AD1⊥平面A1DC.
又MN⊥平面A1DC,∴MN∥AD1.探究一探究二易错辨析探究二面面垂直的性质定理及其应用
【例2】如图所示,AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,平面PAC⊥平面ABC.
(1)判断BC与平面PAC的位置关系,并证明;
(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系.
分析:(1)由于BC⊥AC,所以利用面面垂直的性质定理可得到BC与平面PAC是垂直关系.(2)利用面面垂直的判定定理解决.探究一探究二易错辨析解:(1)BC⊥平面PAC.证明如下:
∵AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,
∴∠ACB=90°,即BC⊥AC.
又∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,BC?平面ABC,
∴BC⊥平面PAC.
(2)∵BC?平面PBC,BC⊥平面PAC,
∴平面PBC⊥平面PAC.探究一探究二易错辨析反思感悟1.当所给的题目中有面面垂直的条件时,一般要注意是否有垂直于两个平面交线的垂线,如果有,可利用性质定理将面面垂直转化为线面垂直或线线垂直;如果没有,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.
2.应用面面垂直的性质定理时,四个条件缺一不可:“α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l.”探究一探究二易错辨析变式训练2如图所示,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA⊥PD,底面ABCD是直角梯形,其中BC∥AD,∠BAD=90°.求证:平面PAB⊥平面PCD.
证明:∵侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB?底面ABCD,且AB⊥AD,
∴AB⊥平面PAD.
∵PD?平面PAD,∴AB⊥PD.
又PA⊥PD,且PA?平面PAB,
AB?平面PAB,AB∩PA=A,
∴PD⊥平面PAB.
∵PD?平面PCD,
∴平面PAB⊥平面PCD.探究一探究二易错辨析因逻辑推理不严谨而致误
【典例】 求证:如果一个平面与另一个平面的垂面平行,那么这两个平面互相垂直.
已知:α⊥β,β∥γ.求证:α⊥γ.
错解设α∩β=a,在β内作直线m⊥a,交a于点A,
∵α⊥β,α∩β=a,m?β,m⊥a,∴m⊥α.
∵β∥γ,∴在γ内存在直线n,使n∥m.
∵n∥m,m⊥α,∴n⊥α,∵n?γ,∴α⊥γ.
正解:证明m⊥α同上.
在γ内任取一点P,则直线m与点P确定一个平面φ.
设φ∩γ=n,∵β∥γ,φ∩β=m,φ∩γ=n,∴m∥n.
∵m⊥α,∴n⊥α.又∵n?γ,∴α⊥γ.探究一探究二易错辨析纠错心得对面面平行的性质定理理解不透彻,如果两个平面平行并不意味着一个面内的直线和另一个面内的直线都平行.12341.若直线l⊥平面α,直线m?平面α,则l,m的位置关系是 (　　)
A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直
答案:D12342.若平面α⊥平面β,且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b,则(　　)
A.直线a必垂直于平面β B.直线b必垂直于平面α
C.直线a不一定垂直于平面β D.过a的平面与过b的平面垂直
解析:如图(1)所示,a?α,a⊥b,但a与β不垂直,故A错C对;如图(2)所示,a?α,a⊥b,这时b与α不垂直,故B错,容易判断D项也错.
答案:C12343.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则平行四边形ABCD的形状一定是　　　　　.?
解析:由PA⊥平面ABCD,得PA⊥BD.又PC⊥BD,PA∩PC=P,所以BD⊥平面PAC.
于是BD⊥AC,故ABCD一定为菱形.
答案:菱形12344.如图所示,正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直,AF∥BE,AF⊥EF,AF=EF= BE.求证:EA⊥平面ABCD.1234证明:设AF=EF=a,则BE=2a.
过A作AM⊥BE于点M.
∵AF∥BE,∴AM⊥AF.
又AF⊥EF,∴AM∥EF.
∴四边形AMEF是正方形.
∴AM=a,EM=MB=a,
∴AE=AB= a.
∴AE2+AB2=EB2,
∴AE⊥AB.
又平面ABCD⊥平面ABEF,
平面ABCD∩平面ABEF=AB,
AE?平面ABEF,
∴EA⊥平面ABCD.