22.1.3 比例的性质和黄金分割学案(要点讲解+当堂检测+答案)

沪科版数学九年级上册同步学案
第二十二章　相似形
22.1　比例线段
第3课时　比例的性质和黄金分割
要 点 讲 解
要点一　比例的基本性质
比例的基本性质：如果＝，那么ad＝bc(b，d≠0)；
比例的基本性质可以逆用：如果ad＝bc，那么＝(b，d≠0).
要点二　合比性质
合比性质：如果＝，那么＝(b，d≠0).
分比性质：如果＝，那么＝(b，d≠0).即在原等式的两边同时加上－1，通过整理得出.
经典例题1　已知＝＝＝k，且a＋b＋c≠0，那么直线y＝kx＋k一定不经过第________象限.
解析：依题意得＝k，则k＝＝2.所以直线y＝2x＋2一定不经过第四象限.
答案：四
要点三　等比性质
等比性质：如果＝＝＝…＝，且b1＋b2＋b3＋…＋bn≠0，那么＝.
1. 如果＝＝…＝(b1＋b2≠0，…，b1＋b2＋…＋bn≠0)，那么＝…＝＝＝＝…＝.
2. 利用分式的基本性质，将连等式中一个比的前项与后项都乘同一个非零数后，仍可利用等比性质，如：＝＝?＝＝?＝(b1－2b2＋3b3≠0).
要点四　比例尺
比例尺是图上距离与实际距离的比，顺序不能颠倒，用公式表示就是：比例尺＝.求比例尺时，图上距离的长度单位与实际距离的长度单位必须一致.由于比例尺＝，所以实际距离＝，图上距离＝比例尺×实际距离.
经典例题2　在比例尺为1∶10000的地图上，相距3cm的A，B两地，则它们的实际距离为________m.
解析：设A，B两地的实际距离为acm，则＝，∴a＝30000. 30000cm＝300m.
答案：300
要点五　黄金分割
定义：把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点.比值叫做黄金数.
1. 如图所示，如果点C是线段AB的黄金分割点，那么由黄金分割的概念可知AC2＝AB·CB，设AC＝x，那么CB＝AB－x，则有x2＝AB(AB－x)，即x2＋ABx－AB2＝0，解这个一元二次方程得x＝AB.因为线段长度不能取负值，所以x＝AB，于是有＝＝≈0.618.
2. 黄金分割是一种分割线段的方法，一条线段有两个黄金分割点，黄金数的准确值是，近似值是0.618，无单位.
经典例题3　如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB.若S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB、宽是PB的矩形的面积，则S1________S2.(填“>”“＝”或“<”)
解析：∵点P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB，∴＝，即AP2＝PB·AB.∵S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB、宽是PB的矩形的面积，∴S1＝AP2，S2＝PB·AB，∴S1＝S2.
答案：＝
易错易混警示　利用黄金分割点求值时易丢解
经典例题4　已知线段AB＝10cm，点C是AB的黄金分割点，则AC＝________.(精确到0.01)
解析：当AC>BC时，AC≈0.618·AB＝0.618×10＝6.18(cm)；当AC答案：6.18cm或3.82cm
点拨：本题中没有明确AC与BC长度的关系，所以解决此题时应分类讨论，防止出现漏解现象.
当 堂 检 测
1. 如果5x＝6y，那么下列结论正确的是(　　)
A. x∶6＝y∶5 B. x∶5＝y∶6
C. x＝5，y＝6 D. x＝6，y＝5
2. 已知2a＝3b，则a∶b的值是(　　)
A.  B.  C.  D. 
3. 已知＝，那么下列等式中，不成立的是(　　)
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. 4x＝3y
4. 已知＝，那么的值为(　　)
A.  B.  C.  D. 
5. 如果C是线段AB一点，并且AC＞CB，AB＝1，若点C是线段AB的黄金分割点，那么AC的长度为(　　)
A. 0.618 B.  C.  D. 
6. 已知a，b，c满足＝＝，a，b，c都不为0，则＝　 　.
7. 已知A，B两地的实际距离是300km，则该两地在比例尺是1∶2000000的地图上的直线距离是 cm.
8. 已知点P把线段分割成AP和PB两段(AP＞PB)，如果AP是AB和PB的比例中项，那么AP∶AB的值等于　 　.
9. 已知非零实数a，b，c满足＝＝，且a＋b＝34，求c的值.
当堂检测参考答案
1. A 2. B 3. B 4. C 6. C
6. 
7. 15
8.