22.2.1 平行线与相似三角形学案(要点讲解+当堂检测+答案)

沪科版数学九年级上册同步学案
第二十二章　相似形
22.2　相似三角形的判定
第1课时　平行线与相似三角形
要 点 讲 解
要点一　相似三角形及相关概念
相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似符号为“∽”.
如△ABC∽△A′B′C′，如图所示.
∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，＝＝.
相似三角形的相似比：相似三角形对应边长度的比叫做相似三角形的相似比或相似系数，通常用字母k表示.
全等三角形和相似三角形的关系：全等三角形是相似比为1的相似三角形，是相似三角形的特例.
经典例题1　已知△ABC∽△DEF，∠A＝30°，∠B＝70°，∴AB＝3cm，DE＝6cm，EF＝9cm，求∠F的度数和BC的长.
解析：由△ABC∽△DEF可得相似三角形的对应顶点：A对应D，B对应E，C对应F，可得∠C＝∠F，BC与EF是对应边.
解：由△ABC∽△DEF，得∠F＝∠C＝180°－∠A－∠B＝80°，＝，即＝，∴BC＝4.5cm.
点拨：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致；(2)相似比是有顺序的，如△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，则△A1B1C1∽△ABC的相似比为.
要点二　用平行线判定两三角形相似
定理：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似.
符合上述特征的图形有三种，如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
(1) (2) (3)
经典例题2　如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC的值是(　　　)
A. 1∶4　　　　 B. 1∶3 C. 2∶3 D. 1∶2
解析：在平行四边形ABCD中，∵AB∥DC，∴AB∥DF，∴△DFE∽△BAE，∴＝.
∵O为对角线的交点，∴DO＝BO. 又∵E为OD的中点，∴DE＝DB.
则DE∶EB＝1∶3，∴DF∶BA＝1∶3. ∵DC＝AB，∴DF∶DC＝1∶3，∴DF∶FC＝1∶2.
答案：D
易错易混警示　求相似比时，没有按照相似三角形的顺序求解
经典例题3　如图所示，△ABC∽△ADE，D为AB的中点，求相似比.
解：△ABC与△ADE的相似比k＝＝＝2.
点拨：易出现不按相似三角形的顺序写的错误，实际上，相似三角形的相似比是有顺序的，△ABC∽△ADE，故相似比应是△ABC与△ADE的对应边的比.不能笼统地说“这两个三角形的相似比是2(或)”.
当 堂 检 测
1. 已知△ABC∽△A1B1C1，且∠A＝50°，∠B＝95°，则∠C1的度数是(　　)
A. 50° B. 95° C. 35° D. 25°
2. 若△ABC∽△A′B′C′，且A′C′＝3cm，BC＝5cm，AC＝4cm，AB＝7cm，则△A′B′C′的周长为(　　)
A. 12cm B. 13cm C. 14cm D. 15cm
3. 如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有(　　)
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

第3题 第4题
4. 如图，DE∥FG∥BC，且AD＝DF＝FB，则△AFG与△ABC的相似比为(　　)
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 2∶3 D. 2∶5
5. 已知有两个三角形相似，其中一个三角形的边长分别为2，3，4，另一个三角形的对应边长分别为x，y，12.则x，y的值分别为 .
6. 如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝3，AB＝5，CE＝3，求AC的长.

7. 如图，AB⊥AE，DC⊥AE，EF⊥AE，垂足分别为A，C，E，求证：＝.

当堂检测参考答案
1. C 2. A 3. C 4. C
5. 6，9
6. 解：设AC＝x，∵DE∥BC.∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝7.5.