2.2.1《椭圆的标准方程》
课标分析
新课程标准对本节内容的要求是
1、了解圆锥曲线的实际背景、感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题的应用；
2、经历从具体情景抽象抽椭圆的过程，掌握椭圆的定义和标准方程；
3、通过学习，进一步体会数学结合的思想。
课标解读
1、研究对象是几何图形，但所研究的方法主要是代数法。
2、能够掌握平面解析结合解决问题的基本过程；
3、根据具体问题情景的特点，建立平面直角坐标系，根据图形的特点，用代数语言把几何问题转化为代数问题；根据对几何问题的分析，探索解决问题的思路。
重点提升：直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象的核心素养。
教材分析
椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中首先遇到的，本节课把坐标法对椭圆的研究放在了重点位置，也是为接下来其他两种曲线做准备。
本节课教材整体来看是两大块内容，一是椭圆的定义，二是椭圆的标准方程。根据新课标的要求对教材内容合理选择，首先椭圆是常见的曲线，对椭圆的定义的引入，要注意借助于直观和形象的模型或教具。让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识。教材给出用绳子画椭圆的方法。对椭圆的定义中的对常数的规定，让学生通过动手实验感知两种特殊情况。
根根据椭圆的定义求解标准方程中，强化坐标法。为了使方程简单，必须注意坐标系的选择，教师可以让学生自己感悟。带根式的方程的化简是学生感到困难的，特别是两个根式的和的化简。教材中为了避免对式子进行两次平方，通过分母有理化进行化简。但学生思维喜欢选择平方的方式，教师选择大胆放手，对移项两次平方给予学生展示。
在例题选择方面，例一是利用待定系数法求椭圆的方程，第二题可以补充定义法。
例2实质上是初步根据方程研究椭圆的简单几何性质，不是标准方程的要先将方程化为椭圆的标准方程。
例3是利用椭圆的定义求椭圆的方程，新课标对曲线方程要求弱化，加上时间原因，选择课下探究。
学情分析
在学习椭圆前，学生对平面解析几何已经有一定的知识储备：在数学2“平面解析几何初步”一章中，学生已经感悟并掌握用数字表示点和用方程表示曲线的重要意义，并学会用坐标法研究直线与圆的一般过程。本节课通过课前回顾，观看微课等方式帮助学生复习已有知识，激发学生已备知识及研究思路，为本节课更好的研究椭圆做准备。
椭圆是圆锥曲线一章所要研究的三种圆锥曲线中首先遇到的，因此学好椭圆并熟悉其研究过程对学好圆锥曲线是非常重要的。
在心理上，椭圆与圆相似，在生活中常见，相比函数等抽象概念，学生更易理解，因此在学习中学生更易接受，学习兴趣也更加浓厚。学生已经具备一定的自学能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。
在思维上，学生已经具备一定的抽象思维能力，对本节课的内容不难理解。
存在的主要问题：学生的计算能力是需要不断培养的，本节课涉及两个根式的和的化简，对学生而言，是一个难点。新课标强化对数学运算能力的培养，因此本节课将花更多时间在标准方程的推导，目的，培养学生的运算能力和数据分析能力，也是为下节课对双曲线的推导做准备。
学习目标：理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程；通过标准方程的推导，熟练掌握解决解析几何问题的方法---坐标法；
学习重点：椭圆的定义及椭圆标准方程得两种形式。
学习难点：椭圆标准方程的建立和推导。关键是掌握建立坐标系与根式化简的方法。
教学设计：
（一）创设问题情境：
椭圆机引入，结合天体运动，日常生活图片。
【设计意图：使学生通过实物感知椭圆的应用，激发学生学习的浓厚兴趣】
概念的形成
1、动手实验： 用图钉穿过准备好的细绳两端的套内，并把图钉固定在两个定点（两个定点间的距离小于绳长）上，然后用笔尖绷紧绳子，使笔尖慢慢移动，看画出的是什么样的一条曲线？
思考1：根据PPT要求，同桌合作完成实验，小组内交流，尝试用文字语言和符号语言给所画的曲线下定义。
【设计意图：通过动手实验，感悟椭圆的定义作图；小组合作交流，激发学生的合作意识；尝试用符合语言下定义，提升学生的数学建模和核心素养】
2.椭圆的定义
平面内与两个定点F1、F2的距离之和是常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。两个定点、称为 ，两焦点之间的距离称为 ，记为2c。若点M设为椭圆上的任意一点，则
小结：
思考2： 改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出是什么图形？
绳长小于两图钉之间的距离呢？
【设计意图：继续通过试验，使学生明白定义中到两定点的距离之和要大于两定点的距离，强化注意点，深入理解定义。】
思考3：类比直线和圆，在直角坐标系中，能否求出椭圆方程利用代数方法来研究椭圆的几何性质呢？那么，如何建立直角坐标系？椭圆的方程又是什么呢？
观看微课：圆的标准方程的推导。
[设计意图：微课形式回顾坐标法研究平面解析几何的一般步骤，并使学生感悟如何建坐标系会简单。]
3.椭圆的标准方程
一般地，原点取在定或者是定线段的中点。以,的中点O为原点，直线F1F2为x轴，建立直角坐标系。如图：
设M（x,y)是椭圆上任一点，设椭圆的焦距为2c（c>0)，那么,的坐标分别为（-c,0),(c,0)，又设M与,的距离的和为2a。
由椭圆的定义，椭圆就是集合|MF1|+|MF2|=2a
将其坐标化为：
化简
为使方程简单、对称、和谐，引入字母b ，令
可得椭圆的标准方程为：
它表示焦点在 轴上的椭圆，焦点是F1 ,F2
【时间5分钟，并给于学生推导的指导，让学生充分展示，
对移项平方，直接平方，分子有理化等方法都加以肯定，】
【设计意图：加强学生对数学运算能力的培养，为下一节
研究双曲线的标准方程做好铺垫】
思考4：如果使F1、F2在y轴上，点F1、F2的坐标分别为
F1(0,-c)、F2(0,c), a,b的意义不变，那么得到方程：
【设计意图：通过类比得到焦点在y轴的标准方程，提升类比推理的数学能力】
(三)概念的深化：
标准方程
不同点
图形
焦点坐标
相同点
定义
a,b,c 的关系
焦点位置的判断
方程形式
【设计意图：图表形式加深学生对椭圆两种标准方程的理解
知识的应用
例1：求下列方程表示的椭圆的焦点坐标：（1） （2）
练习1：下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？
[设计意图：通过例1及练习，充分理解椭圆的标准方程]
例2：求适合下列条件的椭圆的标准方程：
两个焦点的坐标分别是（-3，0）、（3，0），椭圆上一点p到两焦点距离的和等于8；
两个焦点的坐标分别是（0，-4）、（0，4），并且椭圆经过点。
练习⒉ 写出适合下列条件的椭圆的标准方程 ：
（1）,经过点（0，-4），焦点在y轴上；
（2）焦点坐标为（-5，0）和（5，0），椭圆上一点与两个焦点的距离的和为26；
【设计意图：会用待定系数法与定义法求椭圆的标准方程】
（五）、归纳总结
1.知识:
2.题型及方法:
3.数学思想:
（六）、课后作业
1、练习A 2 4
2、探究作业
习题2-2A 借助同心圆画出椭圆。
实践作业 制作椭圆尺
【设计意图：分层次的作业符合新课标的要求，加强学生的动手实践能力】
（七）、探究
【设计意图：课下完成，加深学生对椭圆定义的理解】
课件25张PPT。课程名称：椭圆的标准方程学科： 数学
年级： 高中
版本： 选修2-1 人教版B版
椭圆机创设情境，引发思考
2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程一、学习目标学习重点：椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式学习难点：椭圆标准方程的建立和推导，关键是掌握建立坐标系和根式化简的方法1、理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程；
2、通过标准方程的推导过程，熟练掌握解决
解析几何问题的方法---坐标法；
1.动手作图工 具： 纸板、细绳、图钉
作 法： 用图钉穿过准备好的细绳两端的套内，并把图钉固定在两个定点（两个定点间的距离小于绳长）上，然后用笔尖绷紧绳子，使笔尖慢慢移动，看画出的是什么样的一条曲线椭圆的定义椭圆的定义平面内到两个定点的距离的和（ ）等于定长（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。
定点F1、F2叫做椭圆的焦点。
两焦点之间的距离叫做焦距（2c）。注意（1） 必须在平面内;（2）两个定点---两点间距离确定;（3）定长---轨迹上任意点到
两定点距离和确定.(4)|MF1|+|MF2|>|F1F2| 椭圆定义的文字表述：椭圆定义的符号表述： 1. 改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出是什么图形？2．绳长小于两图钉之间的距离呢？ 概念形成 1. 改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？ 结论：（若 |MF1|＋|MF2|为定长）
|MF1|＋|MF2|> |F1F2|时，M点的轨迹是椭圆。
|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|时,M点的轨迹是一条线段|F1F2| 。
|MF1| ＋ |MF2 | < |F1F2 |时,M点没有轨迹。
? 探讨建立平面直角坐标系的方案方案一原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；
(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.)对称、简洁xyP( x , y )设 P( x，y )是椭圆上任意一点设|F1F2|=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0) 椭圆上的点满足|PF1 | + | PF2 |
为定值，设为2a，则2a>2c则：即：O2、椭圆标准方程的推导法二：分子有理化焦点在x轴焦点在y轴对比方程 概念深化焦点在x轴上的标准方程：焦点在y轴上的标准方程： 1、如果已知椭圆的标准方程，如何确定焦点在哪条坐标轴上？2、比较椭圆两种标准方程的异同点，并完成表格。思考分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然。注意：1、下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？19三：知识应用探究四、回顾小结：定义法、待定系数法数形结合思想、类比思想、方程思想五、作业1、练习A 2 4
2、探究作业
习题2-2A 借助同心圆画出椭圆。
3、实践作业 制作椭圆尺 敬请批评指正谢谢聆听
