22.2.4 相似三角形的判定定理3学案(要点讲解+当堂检测+答案)
文档属性
| 名称 | 22.2.4 相似三角形的判定定理3学案(要点讲解+当堂检测+答案) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-09 09:12:02 | ||
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文档简介
沪科版数学九年级上册同步学案
第二十二章 相似形
22.2 相似三角形的判定
第4课时 相似三角形的判定定理3
要 点 讲 解
要点一 三边成比例的两个三角形相似
判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似(可简单说成：三边成比例的两个三角形相似).
1. 相似三角形的判定，除以上四种判定方法外，还有以下判定方法：
(1)定义法：对应角相等，对应边成比例的三角形相似(这种方法不常用).
(2)几种特殊相似三角形的判定：
①顶角(或底角)对应相等的两个等腰三角形相似；②一腰与底边对应成比例的两个等腰三角形相似；③一锐角相等的两个直角三角形相似；④直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似；⑤等腰直角三角形都相似，等边三角形都相似.
2. 当两个三角形相似，没有用符号“∽”表示，而是用文字“相似”说明时，对应边的关系不确定.
经典例题1 下列各组条件中，使△ABC∽△A′B′C′的有( )
①AB＝1.5，BC＝2，AC＝2.5，B′C′＝16，A′B′＝12，A′C′＝20；
②BC＝8，AC＝7，B′C′＝16，A′C′＝14，∠A＝88°，∠A′＝88°；
③∠A＝82°，AC＝15，AB＝7，∠A′＝82°，A′B′＝14，A′C′＝30；
④AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝4cm，A′B′＝12cm，B′C′＝24cm，A′C′＝18cm；
⑤∠A＝80°，∠B＝60°，∠A′＝80°，∠C′＝40°.
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
解析：直接运用相似三角形的判定定理1，2，3进行判断即可.
①∵＝＝，＝＝，＝＝，∴＝＝，∴△ABC∽△A′B′C′；
②∵＝＝，＝＝，即＝，且∠A＝∠A′，但∠A与∠A′不是BC与AC及B′C′与A′C′的夹角，∴△ABC与△A′B′C′不一定相似；
③∵＝＝，＝＝，∴＝，且∠A＝∠A′(夹角)，∴△ABC∽△A′B′C′；
④∵＝＝，＝＝，＝＝，∴＝＝，∴△ABC∽△A′B′C′；
⑤∵∠A＝∠A′，∠C＝180°－∠A－∠B＝40°，即∠C＝∠C′，∴△ABC∽△A′B′C′.
答案：D
要点二 网格中的相似三角形的判定
证明正方形网格中的三角形相似，一般先计算线段的长度或角的大小，再根据三角形相似的判定来证明.
经典例题2 如图所示，在4×4的正方形网格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
(1)填空：∠ABC＝________，BC＝________；
(2)判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.
解析：本题是一道与正方形网格有关的相似三角形的探索题，应首先掌握正方形网格的特征，证明相似时应从对应边成比例、对应角相等入手.
解：(1)观察图形可知∠ABE＝90°，∠EBC＝45°，∴∠ABC＝90°＋45°＝135°.
根据正方形网格的特征，利用勾股定理可得BC＝＝2.
(2)相似.证明如下：用上面的方法同样可求得∠DEF＝135°，DE＝，∴＝＝，＝＝，∴＝.又∠ABC＝∠DEF，∴△ABC∽△DEF.
易错易混警示 不能明确两三角形元素间的对应关系而出错
经典例题3 要做甲、乙两个形状相同(即相似)的三角形框架，甲框架已做成，它的三边长分别是50cm，60cm，80cm，若乙框架的一边长必须为20cm，那么符合条件的乙框架共有( )
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
答案：C
点拨：本例易出现选A的错误，认为乙中长为20cm的边只能与甲中长为50cm的边对应，实际上这只是其中的一种情况，乙中长为20cm的边的对应边也可以是甲中长为60cm的边，还可以是长为80cm的边.
当 堂 检 测
1. 已知△ABC的三边长分别为2，5，6.若要使△DEF∽△ABC，则△DEF的三边长可以是( )
A. 3，6，7 B. 6，15，18
C. 3，8，9 D. 8，10，12
2. 已知△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似，应选( )
A. 2cm，3cm B. 4cm，5cm
C. 5cm，6cm D. 6cm，7cm
3. 如图，点O是△ABC内任意一点，且AD＝AO，BE＝BO，CF＝CO，则△ABC与△DEF的相似比是( )
A. 3∶1 B. 3∶2 C. 9∶4 D. 2∶3
第3题 第4题
4. 下列4×4的正方形网络中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在顶点上，则与△ABC相似的三角形所在的网络图形是( )
A B C D
5. 在如图所示的正方形网格中，△ABC与△FDE的关系是 ，∠A＝ .
6. 如图，是一名学生制作的劳技作品，他把△ABC各边中点连接得到△DEF并涂色，试问△DEF与△ABC相似吗？为什么？
7. 如图，AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点.求证：△DEF∽△ABC.
当堂检测参考答案
1. B 2. C 3. B 4. B
5. 相似 45°
7. 证明：∵AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点，∴DE＝AB，DF＝AC，EF是△ABC的中位线，∴EF＝BC，∴＝＝＝，∴△DEF∽△ABC.
第二十二章 相似形
22.2 相似三角形的判定
第4课时 相似三角形的判定定理3
要 点 讲 解
要点一 三边成比例的两个三角形相似
判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似(可简单说成：三边成比例的两个三角形相似).
1. 相似三角形的判定，除以上四种判定方法外，还有以下判定方法：
(1)定义法：对应角相等，对应边成比例的三角形相似(这种方法不常用).
(2)几种特殊相似三角形的判定：
①顶角(或底角)对应相等的两个等腰三角形相似；②一腰与底边对应成比例的两个等腰三角形相似；③一锐角相等的两个直角三角形相似；④直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似；⑤等腰直角三角形都相似，等边三角形都相似.
2. 当两个三角形相似，没有用符号“∽”表示，而是用文字“相似”说明时，对应边的关系不确定.
经典例题1 下列各组条件中，使△ABC∽△A′B′C′的有( )
①AB＝1.5，BC＝2，AC＝2.5，B′C′＝16，A′B′＝12，A′C′＝20；
②BC＝8，AC＝7，B′C′＝16，A′C′＝14，∠A＝88°，∠A′＝88°；
③∠A＝82°，AC＝15，AB＝7，∠A′＝82°，A′B′＝14，A′C′＝30；
④AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝4cm，A′B′＝12cm，B′C′＝24cm，A′C′＝18cm；
⑤∠A＝80°，∠B＝60°，∠A′＝80°，∠C′＝40°.
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
解析：直接运用相似三角形的判定定理1，2，3进行判断即可.
①∵＝＝，＝＝，＝＝，∴＝＝，∴△ABC∽△A′B′C′；
②∵＝＝，＝＝，即＝，且∠A＝∠A′，但∠A与∠A′不是BC与AC及B′C′与A′C′的夹角，∴△ABC与△A′B′C′不一定相似；
③∵＝＝，＝＝，∴＝，且∠A＝∠A′(夹角)，∴△ABC∽△A′B′C′；
④∵＝＝，＝＝，＝＝，∴＝＝，∴△ABC∽△A′B′C′；
⑤∵∠A＝∠A′，∠C＝180°－∠A－∠B＝40°，即∠C＝∠C′，∴△ABC∽△A′B′C′.
答案：D
要点二 网格中的相似三角形的判定
证明正方形网格中的三角形相似，一般先计算线段的长度或角的大小，再根据三角形相似的判定来证明.
经典例题2 如图所示，在4×4的正方形网格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
(1)填空：∠ABC＝________，BC＝________；
(2)判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.
解析：本题是一道与正方形网格有关的相似三角形的探索题，应首先掌握正方形网格的特征，证明相似时应从对应边成比例、对应角相等入手.
解：(1)观察图形可知∠ABE＝90°，∠EBC＝45°，∴∠ABC＝90°＋45°＝135°.
根据正方形网格的特征，利用勾股定理可得BC＝＝2.
(2)相似.证明如下：用上面的方法同样可求得∠DEF＝135°，DE＝，∴＝＝，＝＝，∴＝.又∠ABC＝∠DEF，∴△ABC∽△DEF.
易错易混警示 不能明确两三角形元素间的对应关系而出错
经典例题3 要做甲、乙两个形状相同(即相似)的三角形框架，甲框架已做成，它的三边长分别是50cm，60cm，80cm，若乙框架的一边长必须为20cm，那么符合条件的乙框架共有( )
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
答案：C
点拨：本例易出现选A的错误，认为乙中长为20cm的边只能与甲中长为50cm的边对应，实际上这只是其中的一种情况，乙中长为20cm的边的对应边也可以是甲中长为60cm的边，还可以是长为80cm的边.
当 堂 检 测
1. 已知△ABC的三边长分别为2，5，6.若要使△DEF∽△ABC，则△DEF的三边长可以是( )
A. 3，6，7 B. 6，15，18
C. 3，8，9 D. 8，10，12
2. 已知△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似，应选( )
A. 2cm，3cm B. 4cm，5cm
C. 5cm，6cm D. 6cm，7cm
3. 如图，点O是△ABC内任意一点，且AD＝AO，BE＝BO，CF＝CO，则△ABC与△DEF的相似比是( )
A. 3∶1 B. 3∶2 C. 9∶4 D. 2∶3
第3题 第4题
4. 下列4×4的正方形网络中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在顶点上，则与△ABC相似的三角形所在的网络图形是( )
A B C D
5. 在如图所示的正方形网格中，△ABC与△FDE的关系是 ，∠A＝ .
6. 如图，是一名学生制作的劳技作品，他把△ABC各边中点连接得到△DEF并涂色，试问△DEF与△ABC相似吗？为什么？
7. 如图，AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点.求证：△DEF∽△ABC.
当堂检测参考答案
1. B 2. C 3. B 4. B
5. 相似 45°
7. 证明：∵AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点，∴DE＝AB，DF＝AC，EF是△ABC的中位线，∴EF＝BC，∴＝＝＝，∴△DEF∽△ABC.