22.3.2 相似三角形的性质定理2、3及应用学案(要点讲解+当堂检测+答案)

沪科版数学九年级上册同步学案
第二十二章　相似形
22.3　相似三角形的性质
第2课时　相似三角形的性质定理2、3及应用
要 点 讲 解
要点一　相似三角形周长的比等于相似比
该定理是由相似三角形的对应边成比例，结合等比性质推理得到：
若△ABC∽△A′B′C′，且＝＝＝k，则＝＝＝k.
经典例题1　已知△ABC∽△A′B′C′，AB∶A′B′＝2∶5，BC边上的高AD＝10cm，△A′B′C′的周长为100cm.
求：(1)△A′B′C′的边B′C′上的高A′D′的长；
(2)△ABC的周长.
解：(1)∵△ABC∽△A′B′C′，∴＝＝.
∵AD＝10cm，∴A′D′＝＝25(cm).
(2)∵△ABC∽△A′B′C′，∵＝＝.
∵△A′B′C′的周长为100cm，
∴△ABC的周长为＝40(cm).
点拨：相似三角形的性质是利用相似三角形求线段的长、三角形的周长等的依据，在表述其性质时，切不可漏掉关键词“相似”和“对应”.
要点二　相似三角形面积的比等于相似比的平方
在使用这一性质时要注意，防止出现“面积的比等于相似比”的错误.在由相似比求面积比时，面积的比＝相似比的平方；反之，在由面积的比求相似比时，相似比＝.
经典例题2　如图，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们重叠的部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC面积的一半，若AB＝，则此三角形移动的距离AA′是多少？
解析：由题意可以推出△ABC与△A′BO相似.结合它们的面积比，即可推出对应的比.从而求出AA′的长.
解：由题意知∠A＝∠B′A′C′，∠A′BO＝∠ABC，
∴△A′BO∽△ABC.
又S△A′BO∶S△ABC＝1∶2，
∴A′B∶AB＝1∶，又∵AB＝，
∴A′B＝1，∴AA′＝－1.
易错易混警示　混淆相似三角形面积比与相似比的关系
经典例题3　两个相似三角形的相似比为3∶2，面积之差为25cm2，求这两个三角形的面积.
解：设这两个相似三角形的面积分别为xcm2和(x＋25)cm2.
由题意得＝()2，即＝，
∴x＝20，x＋25＝45.
答：这两个三角形的面积分别为20cm2和45cm2.
点拨：相似三角形面积的比等于相似比的平方，而不等于相似比.
当 堂 检 测
1. △ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，若C△ABC∶C△A′B′C′＝1∶3，则AD∶A′D′的值为(　　)
A. 1∶3 B. 3∶1 C. 1∶9 D. 9∶1
2. 若△ABC∽△A′B′C′，且＝，△ABC的周长为15cm，则△A′B′C′的周长为(　　)
A. 18cm B. 20cm C. cm D. cm
3. 若△ABC∽△A′B′C′，AB＝3，A′B′＝4，S△ABC＝18，则S△A′B′C′的值为(　　)
A.  B.  C. 24 D. 32
4. 已知△ABC∽△DEF，其中AB＝5，BC＝6，CA＝9，DE＝3，那么△DEF的周长是 .
5. 如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝. 其中正确的有 .
6. 在比例尺为1∶500的地图上，测得一块三角形地ABC的周长为12cm，面积为6cm2，求这块地的实际周长和面积.
7. 如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE∶S△CDE＝1∶3，求S△DOE∶S△AOC的值.

当堂检测参考答案
1. A 2. B 3. D
4. 12
5. ①③
7. 解：∵S△BDE∶S△CDE＝1∶3，∴BE∶CE＝1∶3，∴BE∶BC＝1∶4.∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，△DOE∽△COA.∴＝＝，∴＝()2＝.