22.3.1 相似三角形的性质定理1及应用学案(要点讲解+当堂检测+答案)

沪科版数学九年级上册同步学案
第二十二章　相似形
22.3　相似三角形的性质
第1课时　相似三角形的性质定理1及应用
要 点 讲 解
要点一　相似三角形的性质定理1
性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
经典例题1　如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一内接正方形DEFC，连接AF交DE于点G，AC＝15，BC＝10.求GE的长.
解析：欲求GE的长，可先求DE与DG的长，由△ADE∽△ACB与△ADG∽△ACF可求.
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，四边形DEFC为其内接正方形，∴DE∥CB，∴△ADE∽△ACB，∴＝＝.
设正方形的边长为x，则＝，∴x＝6.
∵DG∥CF，∴△ADG∽△ACF，∴＝，即＝，
∴DG＝，∴GE＝6－＝.
点拨：从解答本题的过程中可以看出，利用比例式求线段的长度是一种重要方法，主要是根据相似关系列出比例式，由比例式列出方程，通过解方程求得线段的长.
要点二　相似三角形性质定理1的应用
相似三角形的知识，在实际中应用非常广泛，主要是运用相似三角形的有关性质来测量、计算那些不易直接测量的物体的高度或宽度.
经典例题2　如图，在等腰三角形ABC中，底边BC＝60cm，高AD＝40cm，四边形PQRS是正方形.
(1)△ASR与△ABC相似吗？为什么？
(2)求正方形PQRS的边长.
解：(1)△ASR∽△ABC.理由如下：∵四边形PQRS是正方形，∴SR∥BC，
∴∠ASR＝∠ABC，∠ARS＝∠ACB，
∴△ASR∽△ABC.
(2)由(1)可知△ASR∽△ABC.
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得＝.设正方形PQRS的边长为xcm，则AE＝(40－x)cm，∴＝.解得x＝24. ∴正方形PQRS的边长为24cm.
易错易混警示　相似情形考虑不全面，解答不完整
经典例题3　如图所示，正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，点Q在线段BC上，当△ADP与△QCP相似时，求BQ的长.
解析：本题中∠D＝∠C＝90°，所以两个直角三角形相似在对应顺序上有两种可能，即△ADP∽△PCQ或△ADP∽△QCP.
解：由题意得∠D＝∠C＝90°.
(1)当△ADP∽△PCQ时，＝，即＝，得CQ＝，故BQ＝1－＝.
(2)当△ADP∽△QCP时，＝，即＝，得QC＝1，故BQ＝0.
所以，当△ADP与△QCP相似时，BQ的长为或0.
点拨：利用相似三角形对应边成比例的性质求线段的长时关键要找准对应顶点.在某些题中未说明对应关系，解题时应根据点的对应情况进行分类讨论.
当 堂 检 测
1. 如果两个相似三角形对应高的比是1∶2，那么它们的对应角平分线的比是(　　)
A. 1∶2 B. 2∶1 C. 1∶4 D. 4∶1
2. 已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′分别是两个三角形对应角的平分线，且AC∶A′C′＝2∶3，若BD＝4cm，则B′D′的长是(　　)
A. 3cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm
3. 在△ABC中，如果BC＝54cm，AB＝63cm，AC＝45cm，另一个和它相似的三角形的最短边是15cm，则最长边是(　　)
A. 18cm B. 19cm C. 20cm D. 21cm
4. 如图，在△ABC中，∠A＝63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC相交于点D，E，若∠AEN＝133°，则∠B的度数为 .

第4题 第5题
5. 如图，DE∥BC，则△ADE∽△ .若AD＝3，BD＝2，AF⊥BC，交DE于点G，则AG∶AF＝ ；△AGE∽△ ，且它们的相似比为 .
6. 如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD(AB∥CD)的高度应为 cm.

第6题 第7题
7. 如图，身高为1.7m的小明AB站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD的倒影为C′D，A，E，C′在一条视线上，已知河BD的宽度为12m，BE＝3m，则树CD的高为 .
8. 如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，∠B＝50°，△A′B′C′中，A′B′＝6，B′C′＝4.8，∠B′＝50°.AD，A′D′分别是它们的高，AE，A′E′分别是∠BAC，∠B′A′C′的角平分线.
(1)△ABC与△A′B′C′相似吗？为什么？
(2)等于多少？
(3)若AE＝4.5，那么A′E′等于多少？
当堂检测参考答案
1. A 2. C 3. D
4. 70°
5. ABC 3∶5 AFC 3∶5
6. 16
7. 5.1m
8. 解：(1)△ABC∽△A′B′C′，理由：＝，＝＝，∴＝＝，又∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′.