2019-2020学年高中数学新人教A版选修1-1课件：第三章导数及其应用3.3.1函数的单调性与导数（25张PPT）

课件25张PPT。3.3.1　函数的单调性与导数1.函数的单调性与其导数的关系 名师点拨在区间内f'(x)>0(f'(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分条件,而不是必要条件.如果有个别点使f'(x)=0,不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间上的单调性.例如函数f(x)=x3,在定义域(-∞,+∞)上是递增函数,但由f'(x)=3x2知f'(0)=0,即并不是在定义域内的任意一点处都满足f'(x)>0.【做一做1】 若函数f(x)的导数f'(x)=x(x-2),则f(x)在区间　 　上单调递减.?
解析:令f'(x)=x(x-2)<0,解得0所以f(x)在区间(0,2)上单调递减.
答案:(0,2)
【做一做2】 若g(x)=ex+4x,则g(x)的单调递增区间是　　　　.
解析:由已知得g'(x)=ex+4,而对任意实数x,g'(x)>0,所以g(x)的单调递增区间是(-∞,+∞).
答案:(-∞,+∞)2.导数的绝对值与函数值变化的关系
一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时函数的图象就比较“陡峭”;反之,函数的图象就“平缓”一些.思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)“在区间I上,f'(x)<0”是“f(x)在I上单调递减”的充分不必要条件. (　　)
(2)若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则f(x)在(a,b)上各点处的切线的倾斜角都是锐角. (　　)
(3)若f(x)在(a,b)上单调递增,则在(a,b)上必有f'(x)>0. (　　)
(4)单调递增函数的导函数也是单调递增函数. (　　)
(5)如果函数f(x)在(a,b)上变化得越快,其导数就越大. (　　)
答案:(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×探究一探究二探究三思维辨析利用导数判断或证明函数的单调性 探究一探究二探究三思维辨析反思感悟利用导数判断或证明函数的单调性时,一般是先确定函数的定义域,再求导数,然后判断导数在所给区间上的符号,从而确定函数的单调性.探究一探究二探究三思维辨析变式训练1(1)若函数f(x)=sin x-2x,则f(x) (　　)
A.是增函数
B.是减函数
C.在(0,2)上递减,在(2,+∞)上递增
D.在(-∞,2)上递减,在(2,+∞)上递增
(2)若 ,则(　　)
A.f(e)C.f(e)解析:(1)由于f'(x)=cos x-2<0恒成立,所以f(x)在R上单调递减,故选B.
(2)由于 ,因此f(x)在R上单调递增,又2.7答案:(1)B　(2)D探究一探究二探究三思维辨析利用导数求函数的单调区间
【例2】 求下列函数的单调区间:思路点拨:按照利用导数求函数单调区间的步骤转化为解不等式问题进行求解.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.利用导数求函数单调区间的步骤:
(1)确定函数的定义域;
(2)求导数f'(x);
(3)在定义域内,解不等式f'(x)>0得到函数的递增区间;解不等式f'(x)<0得到函数的递减区间.
2.在利用导数求函数单调区间时,必须先求出函数的定义域,然后在定义域内解不等式得到单调区间,否则容易导致错误.
3.当一个函数的递增区间(或递减区间)有多个时,这些区间之间不能用并集符号“∪”连接,也不能用“或”连接,只能用“,”或“和”连接.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析函数图象与其导函数图象之间的关系
【例3】已知定义在R上的函数f(x),其导函数f'(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是(　　)
?
A.f(b)>f(c)>f(d) B.f(b)>f(a)>f(e)
C.f(c)>f(b)>f(a) D.f(c)>f(e)>f(d)
思路点拨:若函数f(x)在某一区间上是增加的,则f'(x)≥0,所以在此区间导函数图象应在x轴的上方;同理,若函数f(x)在某一区间上是单调递减的,则f'(x)≤0,所以在此区间导函数图象应在x轴的下方,据此进行判定.探究一探究二探究三思维辨析自主解答:由导函数f'(x)的图象可知,当x∈(-∞,c)时,f'(x)>0,当x∈(c,e)时,f'(x)<0,当x∈(e,+∞)时,f'(x)>0.
因此f(x)在(-∞,c)上单调递增,在(c,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.
又因为af(b)>f(a).
但f(b),f(c),f(d)以及f(b),f(a),f(e),f(c),f(e),f(d)的大小关系均无法做出判断,故选C.
答案:C
反思感悟解决函数图象与其导函数图象的关系问题时,要抓住各自的关键要素,对于原函数,要重点考察其图象在哪个区间内上升或下降,而对于导函数,则应考察其函数值在哪个区间内大于零、小于零,并考察这些区间与原函数的单调区间是否一致.探究一探究二探究三思维辨析变式训练3已知函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f'(x)的图象可能是(　　)解析:由y=f(x)的图象,知f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,所以在(-∞,0)上f'(x)≥0,在(0,+∞)上f'(x)≤0,故选D.
答案:D探究一探究二探究三思维辨析求单调区间时忽视函数定义域致误
【典例】 求函数 的单调区间.
易错分析:本题常见错误是求得函数的导数后,解不等式f'(x)>0和f'(x)<0时,忽视函数定义域对解集的限制作用,从而得出错误的单调区间.探究一探究二探究三思维辨析纠错心得解答本题时若忽视函数的定义域,就会得到错误的单调区间,因此在利用导数判断函数的单调性和求函数的单调区间时,尤其是函数中含有对数、分式、根式等形式时,必须先求出函数的定义域,然后在定义域范围内解决问题.探究一探究二探究三思维辨析3.如图为函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,那么函数y=f(x)的图象可能为(　　)解析:由导函数y=f'(x)的图象,可知当-13或x<-1时,f'(x)>0,所以y=f(x)在(-∞,-1)和(3,+∞)上单调递增.
综上,函数y=f(x)的图象的大致形状如A中图所示,故选A.
答案:A4.函数f(x)=8x2-ln x的单调递减区间是　　　　　.?5.求证:函数f(x)=sin x+cos x+3x在R上单调递增.