2019-2020学年高中数学新人教A版选修1-1课件：第三章导数及其应用3.3.3函数的最大（小）值与导数（32张PPT）

课件32张PPT。3.3.3　函数的最大(小)值与导数1.函数在闭区间的最值
一般地,如果在区间[a,b]上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.名师点拨函数最值与极值的区别
1.函数在闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值只能各有一个,具有唯一性;而极大值和极小值可能有多个,也可能没有.
2.极值只能在函数区间的内部取得,而最值可以在区间的端点取得,有极值的不一定有最值,有最值的不一定有极值,极值有可能成为最值.【做一做1】 下列说法正确的是(　　)
A.函数的极大值就是函数的最大值
B.函数的极小值就是函数的最小值
C.函数的最值一定是极值
D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
答案:D2.函数在闭区间[a,b]上最值的求法
一般地,求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤如下:
(1)求函数f(x)在(a,b)内的极值;
(2)将函数f(x)的各个极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
特别提醒如果函数f(x)在闭区间[a,b]上恰好是单调函数,那么函数的最值恰好在两个端点处取到.当f(x)在闭区间[a,b]上递增时,f(a)是最小值,f(b)是最大值;当f(x)在闭区间[a,b]上递减时,f(a)是最大值,f(b)是最小值.【做一做2】 函数f(x)=x3-3x2+12在区间[-1,1]上的最大值与最小值分别为　　　　　.?
解析:f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),
令f'(x)=0得x=0(x=2舍去).
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:所以当x=-1时,函数取最小值f(-1)=8,当x=0时,函数取最大值f(0)=12.
答案:12,8思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)在f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线,那么f(x)在[a,b]上存在极值和最值. (　　)
(2)函数y=f(x)在[a,b]上连续,是函数y=f(x)在[a,b]上有最大值或最小值的充分而非必要条件. (　　)
(3)函数的最值有可能在极值点处取得. (　　)
(4)若f(x)在区间(a,b)上的图象是连续不断的曲线,那么f(x)在(a,b)上存在最值. (　　)
(5)如果函数f(x)在(a,b)上只有一个极值,那么这个极值就是相应的最值. (　　)
答案:(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√探究一探究二探究三思想方法求函数在闭区间上的最值
【例1】 求下列函数在相应区间上的最值:
(1)f(x)=2x3-12x,x∈[-1,3];
(2)f(x)= x+sin x,x∈[0,2π].
思路点拨:探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法反思感悟求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤
(1)求函数f(x)的导函数f'(x);
(2)解方程f'(x)=0,求出使得f'(x)=0的所有点;
(3)计算函数f(x)在区间[a,b]内使得f'(x)=0的所有点以及端点的函数值;
(4)比较以上各个函数值,其中最大的是函数的最大值,最小的是函数的最小值.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法求函数在开区间(无穷区间)上的最值
【例2】求下列函数的最值:思路点拨:没有给定相应的闭区间,因此应分析函数在其定义域上的单调性与极值情况,根据单调性与极值画出函数的大致图象,结合图象求出最值.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法反思感悟求一个函数在无穷区间(或开区间)上的最值与在闭区间上的最值的方法是不同的,求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法与最值有关的参数问题
【例3】 已知函数 在区间(a,10-a2)上有最小值,求实数a的取值范围.
思路点拨:先求出函数f(x)的单调区间与极值,然后结合图象建立关于参数a的不等式求解.
自主解答:f'(x)=x2-1=(x+1)(x-1),令f'(x)>0,得x<-1或x>1;
令f'(x)<0,得-10),x∈[1,4],f(x)的最大值为3,最小值为-6,则a+b=　　　　　.?
解析:f'(x)=4ax3-12ax2.
令f'(x)=0,得x=0(舍去)或x=3.
当10,
故x=3为极小值点.
因为f(3)=b-27a,f(1)=b-3a,f(4)=b,
所以f(x)的最小值为f(3)=b-27a,最大值为f(4)=b.探究一探究二探究三思想方法分类讨论思想在解决函数最值问题中的应用【审题视角】 对于(1),可利用导数通过解不等式求得单调区间;对于(2),由于函数的最值只能在极值点和端点处取得,因此需比较极值点和端点处的函数值的大小即可,最后再将讨论的情况进行合并整理.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法方法点睛1.解答含参数的问题,往往需要对参数进行分类讨论后进行求解.
2.在分类讨论的每一种情况中得到参数的值后,要注意检验该结果是否符合讨论的前提条件.
3.分类讨论时,若在所讨论的范围内,问题无法解决,还需要针对参数展开第二层讨论.
4.针对参数的所有情况讨论完成后,应将结论进行整合.探究一探究二探究三思想方法跟踪训练已知函数f(x)=ax-ln x,是否存在实数a,使得函数在(0,e]上的最小值等于2?若存在,求出实数a的值;若不存在,说明理由.探究一探究二探究三思想方法1234512345解析:f'(x)=1-sin x≥0,所以函数f(x)在[0,π]上单调递增,因此最小值为f(0)=1,最大值为f(π)=π-1.
答案:D12345123454.函数f(x)=xe-x,x∈[0,4]的最小值为　　　　　.?12345