2019-2020学年高中数学新人教A版选修1-1课件：第三章导数及其应用习题课——导数的综合应用（30张PPT）

课件30张PPT。习题课——导数的综合应用1.利用导数研究方程的根或函数零点
(1)方程f(x)=0的根就是函数f(x)的零点,亦即f(x)图象与x轴交点的横坐标;
(2)方程f(x)=a的根就是函数g(x)=f(x)-a的零点,亦即f(x)图象与直线y=a交点的横坐标;
(3)方程f(x)=g(x)的根就是函数h(x)=f(x)-g(x)的零点,亦即f(x)图象与g(x)图象交点的横坐标.
2.利用导数解决不等式恒成立问题
(1)不等式λ≥f(x)恒成立,则λ≥[f(x)]max;
(2)不等式λ≤f(x)恒成立,则λ≤[f(x)]min.【做一做1】 方程x3-3x2-2=0实根的个数为 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:令f(x)=x3-3x2-2,则f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),所以f(x)有极大值f(0)=-2,极小值f(2)=-6,结合函数图象可知其与x轴有一个交点,因此方程只有一个实数根.
答案:B
【做一做2】 已知函数f(x)=x3- x2-2x+5,若当x∈[-1,2]时,f(x)A.[7,+∞) B.(7,+∞)
C.(-∞,7) D.(-∞,7]
解析:利用导数可求得x∈[-1,2]时,f(x)max=7,所以m>7,即实数m的取值范围为(7,+∞).
答案:B解析:函数定义域为(0,+∞), 由f'(x)=0得x=4,
因此f(x)在(0,4)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增,
所以f(x)有唯一极小值f(4)=m-2ln 2+1,要使函数没有零点,须有m-2ln 2+1>0,解得m>2ln 2-1.
答案:(2ln 2-1,+∞)探究一探究二规范解答利用导数研究方程的根或函数的零点
【例1】 已知函数f(x)=x3-x2-x+a,g(x)=x3-2x-ln x+3,其中a∈R.
(1)若方程f(x)=0只有一个实数根,求实数a的取值范围;
(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)有两个零点,求实数a的取值范围.
思路点拨:(1)方程f(x)=0只有一个实数根,就是函数f(x)的图象与x轴仅有一个交点,因此可分析函数的单调性与极值,通过极值满足的条件建立关于a的不等式求解;(2)函数h(x)有两个零点,就是其图象与x轴有两个交点.探究一探究二规范解答探究一探究二规范解答因此h(x)在x=1取得极大值h(1)=a-3,即为函数h(x)的最大值.
要使函数h(x)有两个零点,其图象与x轴应有两个交点,因此极大值h(1)=a-3>0.解得a>3.探究一探究二规范解答反思感悟方程f(x)=0的根,就是函数y=f(x)的零点,以及函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.因此与方程的根(函数的零点)有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间与极值点,并结合特殊点,得到函数的大致图象,结合图象讨论它与x轴的位置关系,进而确定参数的取值范围.探究一探究二规范解答变式训练1已知函数f(x)=x2-aln x(a∈R),当x=1时f(x)取得极值.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)与函数g(x)=-x2+2x+k(k∈R)的图象的交点个数.探究一探究二规范解答解:(1)函数f(x)定义域为(0,+∞),
因为当x=1时,f(x)取得极值,
所以f'(1)=2-a=0,即a=2.
(2)令F(x)=f(x)-g(x)=x2-2ln x+x2-2x-k=2x2-2ln x-2k-k,
所以
因为x>0,所以2x+1>0.
令F'(x)=0,则x=1,当x∈(0,1)时,F'(x)<0,
当x∈(1,+∞)时,F'(x)>0.
因此函数F(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
所以F(x)min=F(1)=-k.
①当-k>0,即k<0时,两图象交点个数为0;
②当-k=0,即k=0时,两图象交点个数为1;
③当-k<0,即k>0时,两图象交点个数为2.探究一探究二规范解答利用导数解决不等式恒成立问题
【例2】已知f(x)=xln x,g(x)=x3+ax2-x+2.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若对任意x∈(0,+∞),2f(x)≤g'(x)+2恒成立,求实数a的取值范围.
思路点拨:对于(1)可通过解不等式f'(x)>0和f'(x)<0得到单调区间;对于(2),应先将不等式进行参数分离,把欲求范围的参数a移至不等式的一边,然后利用导数求另一边函数的最值,从而求得参数的取值范围.探究一探究二规范解答探究一探究二规范解答探究一探究二规范解答反思感悟有关不等式的恒成立问题,一般是转化为求函数的最值问题,求解时,要确定这个函数,看哪一个变量的范围已知,即函数应该是以已知范围的变量为自变量的函数,然后利用导数研究其最值,最后求得参数的取值范围.一般地,λ≥f(x)恒成立?λ≥[f(x)]max;λ≤f(x)恒成立?λ≤[f(x)]min.探究一探究二规范解答变式训练2已知函数f(x)= x3-2x2+ax+b(a,b∈R),在曲线y=f(x)的所有切线中,有且只有一条切线l与直线y=x+3垂直.
(1)求实数a的值;
(2)若方程f(x)=0有3个不同的实数根,求实数b的取值范围.
解:(1)因为f(x)= x3-2x2+ax+b,
所以f'(x)=x2-4x+a.
直线y=x+3的斜率等于1,
依题意知在曲线y=f(x)的所有切线中,有且只有一条切线l的斜率等于-1,
故方程x2-4x+a=-1有且只有一个实数根,
于是Δ=16-4(a+1)=0,解得a=3.探究一探究二规范解答探究一探究二规范解答利用导数解决参数的综合问题 【审题策略】 (1)将a的值代入,先求极值,再得到最值;(2)将所给不等式进行转化,化为f(x2)-ax2>f(x1)-ax1,从而可构造函数g(x)=f(x)-ax,通过g(x)的单调性,利用导数转化为不等式恒成立问题即可求得.探究一探究二规范解答探究一探究二规范解答探究一探究二规范解答【答题模板】
(1)第1步:确定函数定义域.
　　　?
第2步:求导数.
　　　?
第3步:分析极值情况.
　　　?
第4步:得到最值.探究一探究二规范解答(2)第1步:假设结论成立.
　　　?
第2步:将所给不等式转化.
　　　?
第3步:构造新函数g(x).
　　　?
第4步:将问题转化为g(x)在(0,+∞)上为增函数.
　　　?
第5步:利用导数转化为g'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立.
　　　?
第6步:分离参数求最值.
　　　?
第7步:得到结果.探究一探究二规范解答【失误警示】 通过阅卷统计分析,失分主要出现在第二问,造成失分的原因是:
(1)不能将所给不等式转化,为构造新函数奠定基础;
(2)虽能对不等式转化,但不能将转化后的不等式合理变形,从而构造新函数;
(3)构造新函数后,无法根据题意推出其单调性;
(4)在得到新函数的单调性后,无法利用导数转化为恒成立问题求解;
(5)分离参数后无法准确求得函数最值.探究一探究二规范解答跟踪训练设函数f(x)= -kln x(k>0).
(1)求f(x)的单调区间和极值;
(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间 上仅有一个零点.探究一探究二规范解答1.若不等式2x+cos x-m<0当x∈[-π,0]上恒成立,则实数m的取值范围是(　　)
A.m>-4π-1 B.m<-4π-1
C.m>1 D.m<1
解析:不等式可化为m>2x+cos x,令f(x)=2x+cos x,
则f'(x)=2-sin x>0,即f(x)在[-π,0]上单调递增,故其最大值为f(0)=1,
故实数m的取值范围是m>1.
答案:C
2.方程x3-6x2+9x-4=0实根的个数为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:利用导数,求出函数的极大值为0,极小值为-4,再结合函数的单调性,通过数形结合可得.
答案:C