2019-2020学年高中数学新人教A版选修1-1课件：第三章导数及其应用习题课——导数运算及几何意义的综合问题（25张PPT）

课件25张PPT。习题课——导数运算及几何意义的综合问题1.导数的几何意义
(1)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率等于函数f(x)在x0处的导数f'(x0).
(2)曲线的切线与该曲线不一定只有一个公共点.
(3)“曲线在点P处的切线”与“曲线过点P的切线”含义是不同的,“曲线在点P处的切线”时,点P就是切点,而“曲线过点P的切线”时,点P不一定是切点.
2.导数的定义【做一做1】 已知函数f(x)=sin x-cos x,且f'(x0)=2f(x0),
则tan x0=(　　)　　　　　　　　　
A.-3 B.3 C.1 D.-1
解析:由f(x)=sin x-cos x,可得f'(x)=cos x+sin x.
又f'(x0)=2f(x0),
∴cos x0+sin x0=2(sin x0-cos x0),
整理得3cos x0=sin x0,
?
故选B.
答案:B探究一探究二探究三思想方法导数几何意义的综合应用
【例1】已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(3,14)处的切线方程;
(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;
(3)若曲线y=f(x)的某一切线与直线y=4x-16平行,求切点坐标与切线的方程.
思路点拨:利用导数的几何意义求解,但要注意(2)中切线经过原点,而原点不在曲线上,故应另设切点;(3)中可知切线斜率,也应设出切点进行求解.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法反思感悟利用导数的几何意义求曲线的切线方程时,要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异:过点P的切线中,点P不一定是切点,点P不一定在已知曲线上;而在点P处的切线,必以点P为切点,点P一定在已知曲线上.遇到类似问题时,首先必须分清所给的点是否在已知曲线上,是否是切点,如果是切点,则该点处的导数即为切线的斜率,如果不是切点,则应首先设出切点坐标,再利用两点连线的斜率公式与导数建立联系,进行求解.探究一探究二探究三思想方法变式训练1若曲线f(x)=acos x与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则a+b=(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
解析:由于f(0)=a=g(0)=1=m,
又f'(0)=g'(0),即-asin 0=2×0+b,
所以b=0,a+b=1.
答案:C探究一探究二探究三思想方法导数定义式的应用
【例2】 已知函数f(x)=2ln x+8x,则 的值为(　　)
A.-20 B.-10 C.10 D.20
思路点拨:将所给极限式进行整理变形,构造出导数定义中的极限式,从而转化为求函数在某一点处的导数值问题,然后利用导数运算法则求解.
自主解答:因为f(x)=2ln x+8x,答案:D 探究一探究二探究三思想方法反思感悟在利用导数的定义解决这类问题时,增量Δx的形式是多种多样的,但不论Δx采用哪种形式,Δy中都必须选择相应的形式,按照这个原则,将所给极限式化为导数中的极限式的形式,根据导数定义得出结果.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法导数运算的综合应用
【例3】 用导数的方法求和:1+2x+3x2+4x3+…+2 017x2 016(x≠0,x≠1).
思路点拨:结合幂函数的求导法则以及等比数列的前n项和公式求解.
自主解答:设f(x)=1+2x+3x2+4x3+…+2 017x2 016,
g(x)=x+x2+x3+x4+…+x2 017,则有f(x)=g'(x).探究一探究二探究三思想方法反思感悟本例中的求和问题,如果不用导数方法,需要用到数列中的乘公比错位相减法进行求解,计算过程复杂,容易出错,但借助导数公式,通过巧妙转化,使得求和过程非常简洁,充分体现了导数的广泛应用.因此在解决问题的过程中,要注意和导数的相关知识进行联系,借助导数求解.探究一探究二探究三思想方法变式训练3已知函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)…(x-2 017),
求f'(1)+f'(2 017)的值.
解:由于f(x)=(x-1)[(x-2)(x-3)…(x-2 017)],
令g(x)=(x-2)(x-3)…(x-2 017),
则f(x)=(x-1)·g(x),
所以f'(x)=g(x)+(x-1)g'(x),
于是f'(1)=g(1)+0·g'(1)=g(1)=-1·2·3·…·2 016.
同理,设h(x)=(x-1)(x-2)…(x-2 016),
即f(x)=(x-2 017)·h(x),
则f'(x)=h(x)+(x-2 017)h'(x),
所以f'(2 017)=h(2 017)=2 016·2 015·2 014·…·1,
故f'(1)+f'(2 017)=0.探究一探究二探究三思想方法等价转化思想在导数几何意义中的应用
【典例】 已知点P是曲线f(x)=x2-ln x上任意一点,求点P到直线y=x-2的距离的最小值.
【审题视角】 所求点P应为与直线y=x-2平行的曲线y=x2-ln x的切线的切点,此时最小距离应为该切线与已知直线之间的距离,亦即切点到已知直线的距离,从而转化为求曲线y=x2-ln x的斜率等于1的切线的切点坐标问题,故可借助导数的几何意义进行求解.探究一探究二探究三思想方法自主解答:由已知,可得当点P是曲线f(x)的平行于直线y=x-2的切线的切点时,点P到直线y=x-2的距离最小.探究一探究二探究三思想方法方法点睛这类“求某曲线上一点到某已知直线的最小距离”问题,都可结合图形,利用等价转化思想,将问题转化为求曲线上平行于已知直线的切线的切点问题,从而借助导数的几何意义进行求解.其基本步骤与方法如下:
(1)根据切线与已知直线平行,它们的斜率相等,得到切线的斜率.
(2)根据导数的几何意义,由切线的斜率得到切点的横坐标.
(3)由切点在曲线上,求得切点的纵坐标,得到切点的坐标.
(4)利用点到直线的距离公式求得最小距离.探究一探究二探究三思想方法跟踪训练点P是曲线f(x)=-x2上任意一点,则点P到直线y=x+2的最小距离为(　　)解析:依题意知,点P就是曲线f(x)=-x2的与直线y=x+2平行的切线的切点.
设点P的坐标为(x0,y0),因为f'(x)=-2x,
所以曲线在点P处的切线的斜率为k=-2x0,
因为该切线与直线y=x+2平行,答案:B 2.已知直线y=-x+m是曲线f(x)=x2-3ln x的一条切线,则m的值为(　　)
A.3 B.2 C.1 D.03.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程为x-y+2=0,则f(1)+f'(1)=(　　)
?
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:由条件知点(1,f(1))在直线x-y+2=0上,且f'(1)=1,
所以f(1)+f'(1)=3+1=4.
答案:D
4.已知直线y=kx+b与曲线f(x)=ax2+2+ln x相切于点P(1,4),则b=　　　　　.?
解析:由点P(1,4)在曲线f(x)=ax2+2+ln x上可得a=2,所以
所以曲线在x=1处的切线的斜率k=f'(1)=5,因此切线方程为y=5x+b,由点P(1,4)在切线上,可得b=-1.
答案:-15.已知曲线C1:y=x2与C2:y=-(x-2)2,若直线l与C1,C2都相切,求直线l的方程.
解:设直线l与两条曲线的切点的坐标分别为A(a,a2),B(b,-(b-2)2).
因为两条曲线对应函数的导函数分别为y'1=2x,y'2=-2(x-2),所以两条曲线在A,B两点处的斜率分别为2a,-2(b-2).所以A(2,4)或(0,0),切线的斜率k=4或0,从而所得的切线方程为y=4x-4或y=0.