2019-2020学年高中数学新人教A版选修1-1课件：第三章导数及其应用习题课——利用导数研究函数的单调性（30张PPT）

课件30张PPT。习题课——利用导数研究函数的单调性1.已知函数的单调性,求参数的取值范围
(1)解题步骤:
函数在区间[a,b]上单调递增(减)→f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间[a,b]上恒成立→利用分离参数法或函数性质求解恒成立问题→对等号单独验证
(2)注意事项:
一般地,要检验由f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立解出的参数取值范围中是否有取值使f'(x)恒等于0,若f'(x)恒等于0,则参数的这个值应舍去;若只有在个别点处有f'(x)=0,则该参数取值范围为最后解.
(3)解决该类问题常用的有关结论:
m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max;
m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.2.解析式中含参数的函数单调区间的求法
函数解析式中含有参数时,讨论其单调性(或求其单调区间)问题,往往要转化为解含参数的不等式的问题,这时应对所含参数进行适当的分类讨论,做到不重不漏,最后再将各种情况分别进行表述.
3.利用导数证明不等式
利用导数证明不等式,是导数应用的一个重要方面,其证明思路主要是运用构造函数的方法.一般地,要证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)0(或h(x)≤h(x)max<0),证得要证明的不等式.
4.利用导数解不等式
利用导数解不等式,也是导数应用的一个重要方面,其求解思路主要是运用构造函数的方法,通过函数的单调性进行求解.【做一做1】 若函数f(x)=x3-ax在[-2,-1]上单调递增,则实数a的取值范围是(　　)
A.a≤3 B.a≤12
C.a≥3 D.a≥12
解析:f'(x)=3x2-a,依题意3x2-a≥0在[-2,-1]上恒成立,即a≤3x2,而g(x)=3x2在[-2,-1]上的最小值等于3,所以实数a的取值范围是a≤3.
答案:A【做一做4】 求证:当x>0时,ex>x+1.
证明:令h(x)=ex-x-1,h'(x)=ex-1,
由于x>0,所以h'(x)>0.
因此h(x)在(0,+∞)上单调递增,
于是h(x)>h(0)=0,故ex>x+1.探究一探究二探究三规范解答已知函数的单调性求参数的值或取值范围
【例1】 求解下列各题:思路点拨:对于(1)和(2),可转化为f'(x)≥0或f'(x)≤0在相应区间上恒成立进行求解,但要注意对端点值的检验;对于(3),可先求f(x)的递增区间,再令所给区间是其子集即可.探究一探究二探究三规范解答探究一探究二探究三规范解答探究一探究二探究三规范解答反思感悟1.已知函数的单调性求参数的取值范围,若参数在函数解析式中,则可转化为不等式恒成立问题求解.一般地,如果函数f(x)在区间I上单调递增(递减),则等价于不等式f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间I上恒成立,然后可借助分离参数等多种方法求出参数的取值范围.在利用这种方法求解时,还应注意:得到参数的取值范围后,要检验端点处的参数值能否使f'(x)恒等于0,若恒等于0,应舍去这个端点值,若f'(x)不恒等于0,则其符合题意.
2.已知函数的单调性求参数的取值范围,若参数出现在区间的端点中,则可以先求出函数的单调区间,然后令给定区间是函数相应单调区间的子区间,建立关于参数的不等式,从而求出参数取值范围.探究一探究二探究三规范解答探究一探究二探究三规范解答求含参数函数的单调区间
【例2】已知函数f(x)= x2+aln x(a∈R,a≠0),求f(x)的单调区间.
思路点拨:先确定函数定义域,再求导数,最后结合定义域以及参数a的取值范围,讨论f'(x)的符号,从而确定函数的单调区间.探究一探究二探究三规范解答探究一探究二探究三规范解答反思感悟当函数解析式中含有参数时,求其单调区间问题往往就要转化解含参数的不等式问题,这时应对所含参数进行科学合理的分类讨论,做到不重不漏.探究一探究二探究三规范解答探究一探究二探究三规范解答利用导数解决不等式问题 探究一探究二探究三规范解答反思感悟利用导数证明不等式的常见形式与步骤
1.常见形式:已知x∈(a,b),求证:u(x)>v(x).
2.证明步骤:
(1)将所给的不等式移项,构造函数f(x)=u(x)-v(x),转化为证明函数f(x)>0;
(2)在x∈(a,b)上,判断f'(x)的符号;
(3)若f'(x)>0,说明f(x)在区间(a,b)上是增函数,只需将所给的区间的左端点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(a)≥0即可;若f'(x)<0,说明f(x)在区间(a,b)上是减函数,只需将所给的区间的右端点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(b)≥0即可.探究一探究二探究三规范解答探究一探究二探究三规范解答【例4】 定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数为f'(x),满足f(x)>f'(x),且f(0)=2,则不等式f(x)<2ex的解集为(　　)
A.(-∞,0) B.(-∞,2)
C.(0,+∞) D.(2,+∞)
思路点拨:构造函数,判断其单调性,根据单调性进行求解.探究一探究二探究三规范解答反思感悟本题关键在于根据题意构造函数,通过导数研究函数的单调性,然后借助单调性求解不等式.构造函数时,注意以下技巧:
(1)若已知条件中有f(x)>f'(x)(或f(x)(2)若已知条件中有f(x)+f'(x)>0(或f(x)+f'(x)<0),可构造函数y=exf(x);
(3)若已知条件中有f(x)+xf'(x)>0(或f(x)+xf'(x)<0),可构造函数y=xf(x).探究一探究二探究三规范解答变式训练4已知函数f(x)的定义域为R,f(0)=2,且对?x∈R,有f(x)+f'(x)>1,则不等式ex·f(x)>ex+1的解集为(　　)
A.{x|x>0} B.{x|x<0}
C.{x|x<-1或x>1} D.{x|x<-1或0解析:令h(x)=exf(x)-ex,
所以h'(x)=ex[f(x)+f'(x)]-ex>ex-ex=0,
所以h(x)在R上单调递增.
又因为h(0)=1,所以不等式ex·f(x)>ex+1可转化为h(x)>h(0),
所以得x>0,故选A.
答案:A探究一探究二探究三规范解答利用导数解决函数单调性综合问题
【典例】 若函数f(x)=x2+2x+aln x(a∈R)在区间(0,1)上为单调函数,求实数a的取值范围.
审题策略:函数为单调函数,应分为两种情况:单调递增或单调递减,分别进行求解,然后合并即得a的取值范围.探究一探究二探究三规范解答规范展示:
解:函数定义域为(0,+∞),
设g(x)=2x2+2x+a.
若f(x)在区间(0,1)上为单调递增函数,则f'(x)≥0恒成立,即g(x)≥0恒成立,因此a≥-2x2-2x,
而当x∈(0,1)时,h(x)=-2x2-2x<0,所以a≥0;
若f(x)在区间(0,1)上为单调递减函数,
则f'(x)≤0恒成立,即g(x)≤0恒成立,
因此a≤-2x2-2x,而当x∈(0,1)时,h(x)=-2x2-2x>-4,所以a≤-4.
综上,实数a的取值范围为a≥0或a≤-4.探究一探究二探究三规范解答答题模板
第1步:确定定义域,求导数.
?
第2步:对导数进行转化.
?
第3步:求当函数在(0,1)上单调递增时,a的取值范围.
?
第4步:求当函数在(0,1)上单调递减时,a的取值范围.
?
第5步:得到a的取值范围.探究一探究二探究三规范解答失误警示通过阅卷统计分析,发现造成失分的原因主要如下:
(1)没有事先确定函数的定义域,从而导致无法对导数进行转化,或即使求出了定义域,但想不到对导数进行转化,导致问题复杂化,无法继续求解.
(2)对“单调函数”理解不全面,只求解函数为单调递增函数这一种情况,导致漏解.
(3)利用导数转化为不等式恒成立问题求解时,相应函数的最值求解错误,导致结果出错.探究一探究二探究三规范解答?3.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=2,且函数f(x)的导数f'(x)在R上恒有f'(x)<1(x∈R),则不等式f(x)A.(1,+∞) B.(-∞,-1)
C.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析:不等式f(x)1.
答案:A
4.求证:当 时,tan x>x.5.求函数f(x)=ex+kx(k∈R)的单调区间.
解:f'(x)=ex+k.
因此当k≥0时,f'(x)>0,f(x)在R上单调递增,函数无减区间;
当k<0时,由f'(x)=ex+k>0,
解得x>ln(-k),由f'(x)=ex+k<0,
解得x综上,当k≥0时,函数的递增区间是(-∞,+∞),无减区间;
当k<0时,函数f(x)的递增区间是(ln(-k),+∞),递减区间是(-∞,ln(-k)).