2019-2020学年高中数学新人教A版选修1-1课件：第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词（27张PPT）
文档属性
| 名称 | 2019-2020学年高中数学新人教A版选修1-1课件：第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词（27张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 525.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-09 09:09:30 | ||
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文档简介
课件27张PPT。1.4 全称量词与存在量词1.全称量词与全称命题
(1)短语“所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“?”表示.
(2)含有全称量词的命题,叫做全称命题.
(3)全称命题的表述形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为:?x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.
(4)全称命题的真假判断:要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立;但要判断一个全称命题是假命题,只需列举出一个x0∈M,使得p(x0)不成立即可.
名师点拨1.全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题,常见的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”.
2.有些命题省去了全称量词,但仍是全称命题,如“有理数是实数”,就是“所有的有理数都是实数”.2.存在量词与特称命题
(1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“?”表示.
(2)含有存在量词的命题,叫做特称命题.
(3)特称命题的表述形式:存在M中的一个x0,使p(x0)成立,可简记为:?x0∈M,p(x0),读作“存在一个x0属于M,使p(x0)成立”.
(4)特称命题的真假判断:要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x0,使得命题p(x0)成立即可.名师点拨1.特称命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题,常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”等.
2.全称命题与特称命题的区别
(1)全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质,无一例外,强调“整体、全部”.
(2)特称命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外,强调“个别、部分”.
特别提醒通过举例验证的方式说明全称命题为真是容易出现的错误,注意规避.【做一做1】 (1)命题“有些长方形是正方形”中含有的量词是 ,该量词是 量词(填“全称”或“存在”),该命题是 命题(填“全称”或“特称”).?
(2)命题“负数没有对数”中省略的量词是 ,这是一个 命题(填“全称”或“特称”).?
答案:(1)有些 存在 特称 (2)所有的 全称【做一做2】 下列命题中,既是真命题又是特称命题的是( )
A.存在一个θ,使tan θ=tan(90°-θ)
B.存在实数x0,使sin x0=
C.对一切θ,使sin θ=sin(180°-θ)
D.sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
解析:只有A,B两个选项中的命题是特称命题,而由于|sin x|≤1,
所以sin x0= 不成立,故B中命题为假命题.
又因为当θ=45°时,tan θ=tan(90°-θ),故A中命题为真命题.
答案:A3.全称命题与特称命题的否定 名师点拨1.写出一个全称命题或特称命题的否定时,通常要将命题的两个地方进行改变,一是量词符号要改变,二是结论要进行否定.
2.全称命题(或特称命题)与其否定的真假性恰好相反.【做一做3】 (1)“至多有三个”的否定为 .?
(2)已知命题p:?x∈R,sin x≤1,则??p是 .?
(3)命题“?x0∈Q, ”的否定是 ,这是 命题(填“真”或“假”).?
答案:(1)最少有四个
(2)?x0∈R,sin x>1
(3)?x∈Q,x2≠5 真思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”. ( )
(2)同一个特称命题的表达形式是唯一的. ( )
(3)全称命题的否定一定是特称命题,特称命题的否定一定是全称命题. ( )
(4)特称命题的否定是对“量词”和“p(x)”的同时否定. ( )
(5)全称命题与其否定的真假可以相同. ( )
答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)×探究一探究二探究三思维辨析全称命题与特称命题的判断
【例1】 判断下列命题是全称命题还是特称命题:
(1)所有的常数数列都是等比数列;
(2)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|;
(3)对任意a,b∈R,若a>b,则 ;
(4)有一个函数,既是奇函数,又是偶函数;
(5)质数都是奇数.
思路点拨:首先看命题中是否含有全称量词或存在量词,或含有相关量词,则根据量词确定命题是全称命题或者是特称命题;若没有,要结合命题的具体意义进行判断.探究一探究二探究三思维辨析自主解答:(1)含有全称量词“所有的”,故是全称命题.
(2)含有存在量词“有些”,故是特称命题.
(3)含有全称量词“任意”,故是全称命题.
(4)含有存在量词“有一个”,是特称命题.
(5)省略了全称量词“所有的”,是全称命题.
反思感悟判断一个命题是全称命题还是特称命题的方法:
(1)分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称命题,含有存在量词的命题是特称命题.
(2)当命题中不含量词时,要注意根据命题的含义进行判断.
(3)全称命题有时会省略全称量词,但特称命题的量词一般不能省略.探究一探究二探究三思维辨析变式训练1下列命题中,是全称命题的是 ,是特称命题的是 .(填序号)?
①正方形的四条边相等;②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.
解析:①②③是全称命题,④是特称命题.
答案:①②③ ④探究一探究二探究三思维辨析全称命题与特称命题的真假判断
【例2】 判断下列命题的真假:
(1)任意直线都存在斜率;
(2)存在实数θ,使得sin(π-θ)=-sin θ;
(3)存在等差数列,其前n项和Sn=n2+2n-1;
(4)?x∈R,sin x+cos x≥-1;
思路点拨:先判断每个命题是全称命题还是特称命题,再根据相应命题真假性判断的方法进行判断.探究一探究二探究三思维辨析自主解答:(1)这是全称命题,由直线斜率的定义知,倾斜角等于90°的直线不存在斜率,故该命题为假命题.
(2)这是特称命题,由于sin(π-θ)=sin θ=-sin θ,因此sin θ=0,这时θ=kπ(k∈Z),即当θ=kπ(k∈Z)时,满足sin(π-θ)=-sin θ,故该命题是真命题.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟全称命题与特称命题真假的判断技巧
(1)全称命题:要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可.
(2)特称命题:要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x=x0,使p(x0)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析全称命题与特称命题的否定
【例3】写出下列各个命题的否定:
(1)一切分数都是有理数;
(2)有些实数的绝对值是正数;思路点拨:先判断每个命题是全称命题还是特称命题,再按照规则写出相应的否定.探究一探究二探究三思维辨析自主解答:(1)命题的否定:有些分数不是有理数;
(2)命题的否定:任意实数的绝对值都不是正数;探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.一般地,对含有一个量词的命题进行否定时,首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题,并找到量词及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,同时否定结论,即得其否定.
2.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再依据规则来写出命题的否定.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析对全称量词与存在量词的意义理解不清致误
【典例】 已知函数f(x)=x2-2x,函数g(x)=ax+2(a>0),?x1∈[-1,2],
?x0∈[-1,2],使f(x1)=g(x0),则a的取值范围是( )易错分析:本题的常见错解是由题意推出函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集,原因是对全称量词与存在量词的意义理解不清.
自主解答:由于函数f(x)在定义域[-1,2]内是任意取值的,且必存在x0∈[-1,2]使得f(x1)=g(x0),因此问题等价于函数f(x)的值域是函数g(x)值域的子集,函数f(x)的值域是[-1,3],函数g(x)的值域是[2-a,2+2a],则有2-a≤-1且2+2a≥3,即a≥3.探究一探究二探究三思维辨析纠错心得:应用全称命题与特称命题求参数的取值范围时应注意:
(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题,当全称命题为真时,命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质,所以可以代入,也可以根据函数或不等式等数学知识来求解.
(2)特称命题的相关题型常用满足某种条件的变量“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达.解答这类问题,一般要先对结论作出肯定的假设,然后从肯定的假设出发,结合已知条件进行推理证明,若推出合理的结论,则变量存在;若导致矛盾,则否定了假设变量不存在,结论不成立.探究一探究二探究三思维辨析跟踪训练若命题p:?x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.(-2,+∞) D.(-2,2)
解析:ax2+4x+a≥-2x2+1是真命题,即不等式ax2+4x+a≥-2x2+1对?x∈R恒成立,即(a+2)x2+4x+(a-1)≥0恒成立.
当a+2=0时,不符合题意.答案:B 1.下列命题不是特称命题的是( )
A.有些实数的平方可以等于零
B.存在x0<0,使
C.至少有一个三角函数的周期是2π
D.二次函数是偶函数
解析:“二次函数是偶函数”意思是“所有的二次函数都是偶函数”,故此命题是全称命题,不是特称命题.
答案:D3.若命题p:?x∈R,x2-2x+m≠0是真命题,则实数m的取值范围是( )
A.m≥1 B.m>1 C.m<1 D.m≤1
解析:依题意,方程x2-2x+m=0没有实数根,因此4-4m<0,解得m>1.
答案:B
4.命题“有些数列既是等差数列又是等比数列”的否定是 .?
答案:任何数列都不能既是等差数列又是等比数列
5.指出下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假:
(1)若a>0,且a≠1,则对任意实数x,ax>0;
(2)?T0∈R,使|sin(x+T0)|=|sin x|;
(3)?x0∈R, .
解:命题(1)为全称命题,根据指数函数的性质可知,该命题为真命题.
命题(2)是特称命题,因为存在T0=π,使|sin(x+T0)|=|sin x|,故该命题为真命题.
命题(3)是特称命题,因为对任意的x∈R,都有x2+1>0,故该命题为假命题.
(1)短语“所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“?”表示.
(2)含有全称量词的命题,叫做全称命题.
(3)全称命题的表述形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为:?x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.
(4)全称命题的真假判断:要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立;但要判断一个全称命题是假命题,只需列举出一个x0∈M,使得p(x0)不成立即可.
名师点拨1.全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题,常见的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”.
2.有些命题省去了全称量词,但仍是全称命题,如“有理数是实数”,就是“所有的有理数都是实数”.2.存在量词与特称命题
(1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“?”表示.
(2)含有存在量词的命题,叫做特称命题.
(3)特称命题的表述形式:存在M中的一个x0,使p(x0)成立,可简记为:?x0∈M,p(x0),读作“存在一个x0属于M,使p(x0)成立”.
(4)特称命题的真假判断:要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x0,使得命题p(x0)成立即可.名师点拨1.特称命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题,常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”等.
2.全称命题与特称命题的区别
(1)全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质,无一例外,强调“整体、全部”.
(2)特称命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外,强调“个别、部分”.
特别提醒通过举例验证的方式说明全称命题为真是容易出现的错误,注意规避.【做一做1】 (1)命题“有些长方形是正方形”中含有的量词是 ,该量词是 量词(填“全称”或“存在”),该命题是 命题(填“全称”或“特称”).?
(2)命题“负数没有对数”中省略的量词是 ,这是一个 命题(填“全称”或“特称”).?
答案:(1)有些 存在 特称 (2)所有的 全称【做一做2】 下列命题中,既是真命题又是特称命题的是( )
A.存在一个θ,使tan θ=tan(90°-θ)
B.存在实数x0,使sin x0=
C.对一切θ,使sin θ=sin(180°-θ)
D.sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
解析:只有A,B两个选项中的命题是特称命题,而由于|sin x|≤1,
所以sin x0= 不成立,故B中命题为假命题.
又因为当θ=45°时,tan θ=tan(90°-θ),故A中命题为真命题.
答案:A3.全称命题与特称命题的否定 名师点拨1.写出一个全称命题或特称命题的否定时,通常要将命题的两个地方进行改变,一是量词符号要改变,二是结论要进行否定.
2.全称命题(或特称命题)与其否定的真假性恰好相反.【做一做3】 (1)“至多有三个”的否定为 .?
(2)已知命题p:?x∈R,sin x≤1,则??p是 .?
(3)命题“?x0∈Q, ”的否定是 ,这是 命题(填“真”或“假”).?
答案:(1)最少有四个
(2)?x0∈R,sin x>1
(3)?x∈Q,x2≠5 真思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”. ( )
(2)同一个特称命题的表达形式是唯一的. ( )
(3)全称命题的否定一定是特称命题,特称命题的否定一定是全称命题. ( )
(4)特称命题的否定是对“量词”和“p(x)”的同时否定. ( )
(5)全称命题与其否定的真假可以相同. ( )
答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)×探究一探究二探究三思维辨析全称命题与特称命题的判断
【例1】 判断下列命题是全称命题还是特称命题:
(1)所有的常数数列都是等比数列;
(2)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|;
(3)对任意a,b∈R,若a>b,则 ;
(4)有一个函数,既是奇函数,又是偶函数;
(5)质数都是奇数.
思路点拨:首先看命题中是否含有全称量词或存在量词,或含有相关量词,则根据量词确定命题是全称命题或者是特称命题;若没有,要结合命题的具体意义进行判断.探究一探究二探究三思维辨析自主解答:(1)含有全称量词“所有的”,故是全称命题.
(2)含有存在量词“有些”,故是特称命题.
(3)含有全称量词“任意”,故是全称命题.
(4)含有存在量词“有一个”,是特称命题.
(5)省略了全称量词“所有的”,是全称命题.
反思感悟判断一个命题是全称命题还是特称命题的方法:
(1)分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称命题,含有存在量词的命题是特称命题.
(2)当命题中不含量词时,要注意根据命题的含义进行判断.
(3)全称命题有时会省略全称量词,但特称命题的量词一般不能省略.探究一探究二探究三思维辨析变式训练1下列命题中,是全称命题的是 ,是特称命题的是 .(填序号)?
①正方形的四条边相等;②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.
解析:①②③是全称命题,④是特称命题.
答案:①②③ ④探究一探究二探究三思维辨析全称命题与特称命题的真假判断
【例2】 判断下列命题的真假:
(1)任意直线都存在斜率;
(2)存在实数θ,使得sin(π-θ)=-sin θ;
(3)存在等差数列,其前n项和Sn=n2+2n-1;
(4)?x∈R,sin x+cos x≥-1;
思路点拨:先判断每个命题是全称命题还是特称命题,再根据相应命题真假性判断的方法进行判断.探究一探究二探究三思维辨析自主解答:(1)这是全称命题,由直线斜率的定义知,倾斜角等于90°的直线不存在斜率,故该命题为假命题.
(2)这是特称命题,由于sin(π-θ)=sin θ=-sin θ,因此sin θ=0,这时θ=kπ(k∈Z),即当θ=kπ(k∈Z)时,满足sin(π-θ)=-sin θ,故该命题是真命题.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟全称命题与特称命题真假的判断技巧
(1)全称命题:要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可.
(2)特称命题:要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x=x0,使p(x0)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析全称命题与特称命题的否定
【例3】写出下列各个命题的否定:
(1)一切分数都是有理数;
(2)有些实数的绝对值是正数;思路点拨:先判断每个命题是全称命题还是特称命题,再按照规则写出相应的否定.探究一探究二探究三思维辨析自主解答:(1)命题的否定:有些分数不是有理数;
(2)命题的否定:任意实数的绝对值都不是正数;探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.一般地,对含有一个量词的命题进行否定时,首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题,并找到量词及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,同时否定结论,即得其否定.
2.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再依据规则来写出命题的否定.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析对全称量词与存在量词的意义理解不清致误
【典例】 已知函数f(x)=x2-2x,函数g(x)=ax+2(a>0),?x1∈[-1,2],
?x0∈[-1,2],使f(x1)=g(x0),则a的取值范围是( )易错分析:本题的常见错解是由题意推出函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集,原因是对全称量词与存在量词的意义理解不清.
自主解答:由于函数f(x)在定义域[-1,2]内是任意取值的,且必存在x0∈[-1,2]使得f(x1)=g(x0),因此问题等价于函数f(x)的值域是函数g(x)值域的子集,函数f(x)的值域是[-1,3],函数g(x)的值域是[2-a,2+2a],则有2-a≤-1且2+2a≥3,即a≥3.探究一探究二探究三思维辨析纠错心得:应用全称命题与特称命题求参数的取值范围时应注意:
(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题,当全称命题为真时,命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质,所以可以代入,也可以根据函数或不等式等数学知识来求解.
(2)特称命题的相关题型常用满足某种条件的变量“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达.解答这类问题,一般要先对结论作出肯定的假设,然后从肯定的假设出发,结合已知条件进行推理证明,若推出合理的结论,则变量存在;若导致矛盾,则否定了假设变量不存在,结论不成立.探究一探究二探究三思维辨析跟踪训练若命题p:?x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.(-2,+∞) D.(-2,2)
解析:ax2+4x+a≥-2x2+1是真命题,即不等式ax2+4x+a≥-2x2+1对?x∈R恒成立,即(a+2)x2+4x+(a-1)≥0恒成立.
当a+2=0时,不符合题意.答案:B 1.下列命题不是特称命题的是( )
A.有些实数的平方可以等于零
B.存在x0<0,使
C.至少有一个三角函数的周期是2π
D.二次函数是偶函数
解析:“二次函数是偶函数”意思是“所有的二次函数都是偶函数”,故此命题是全称命题,不是特称命题.
答案:D3.若命题p:?x∈R,x2-2x+m≠0是真命题,则实数m的取值范围是( )
A.m≥1 B.m>1 C.m<1 D.m≤1
解析:依题意,方程x2-2x+m=0没有实数根,因此4-4m<0,解得m>1.
答案:B
4.命题“有些数列既是等差数列又是等比数列”的否定是 .?
答案:任何数列都不能既是等差数列又是等比数列
5.指出下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假:
(1)若a>0,且a≠1,则对任意实数x,ax>0;
(2)?T0∈R,使|sin(x+T0)|=|sin x|;
(3)?x0∈R, .
解:命题(1)为全称命题,根据指数函数的性质可知,该命题为真命题.
命题(2)是特称命题,因为存在T0=π,使|sin(x+T0)|=|sin x|,故该命题为真命题.
命题(3)是特称命题,因为对任意的x∈R,都有x2+1>0,故该命题为假命题.