课件32张PPT。第1课时 常用逻辑用语答案:①逆命题
②逆否命题
③充要
④p∧q
⑤p∨q
⑥全称命题
⑦特称命题知识网络要点梳理思考辨析知识网络要点梳理思考辨析1.命题的概念
能够判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的命题叫真命题,判断为假的命题叫假命题.
2.命题的四种形式及真假关系互为逆否的两个命题等价(同真或同假);互逆或互否的两个命题真假性没有关系.知识网络要点梳理思考辨析3.充分条件、必要条件与充要条件 4.含逻辑联结词“且”“或”“非”的命题真假性判断(真值表):知识网络要点梳理思考辨析5.全称量词与全称命题
(1)全称量词:短语“对所有的”“对任意一个”在陈述中表示所述事物的全体,逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“?”表示.
(2)全称命题:含有全称量词的命题.
(3)全称命题的符号表示:
形如“对M中的任意一个x,有p(x)成立”的命题,可用符号简记为“?x∈M,p(x)”,读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.知识网络要点梳理思考辨析6.存在量词与存在性命题
(1)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“?”表示.
(2)特称命题:含有存在量词的命题.
(3)特称命题的符号表示:
形如“存在M中的一个x0,使p(x0)成立”的命题,可用符号简记为?x0∈M,p(x0),读作“存在一个x0属于M,使p(x0)成立”.
(4)全称命题与特称命题的否定知识网络要点梳理思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)“x2+2x-3<0”是命题. ( )
(2)“sin 45°=1”是真命题. ( )
(3)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则 q”. ( )
(4)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真. ( )
(5)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件. ( )
(6)当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成立. ( )
(7)命题p和 p不可能都是真命题. ( )
(8)若p∧q为真,则p为真或q为真. ( )
(9)p∧q为假的充要条件是p,q至少有一个为假. ( )
(10)写特称命题的否定时,存在量词变为全称量词. ( )
(11)?x0∈M,p(x0)与?x∈M, p(x)的真假性相反. ( )知识网络要点梳理思考辨析答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)√
(7)√ (8)× (9)√ (10)√ (11)√专题归纳高考体验专题一 四种命题及其真假判定
【例1】 已知下面四个命题:
①对于?x,若x-3=0,则x-3≤0;
②命题“已知非零向量a,b,若a·b=0,则a⊥b”的逆命题;
③“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充分而不必要条件;
④已知p,q为两个命题,若“p∨q”为假命题,则“( p)∧( q)”为真命题.
其中所有真命题的序号是 .?
思路点拨:对于②③注意四种命题及其关系,对于④涉及含逻辑联结词的命题,要根据真值表与逻辑联结词的含义判断.专题归纳高考体验专题归纳高考体验反思感悟1.写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题的步骤
(1)对条件、结论不明显的命题,可以先将命题改写成“若p,则q”的形式;
(2)然后对命题的条件和结论进行互换和否定,即可得到原命题的逆命题、否命题和逆否命题.
2.四种命题真假的判断方法
因为互为逆否命题的真假等价,所以判断四个命题的真假,只需判断原命题与逆命题(或否命题)的真假即可.专题归纳高考体验跟踪训练1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假:
(1)相等的两个角的正弦值相等;
(2)若x2-2x-3=0,则x=3.
解:(1)逆命题:若两个角的正弦值相等,则这两个角相等.假命题.
否命题:若两个角不相等,则这两个角的正弦值也不相等.假命题.
逆否命题:若两个角的正弦值不相等,则这两个角不相等.真命题.
(2)逆命题:若x=3,则x2-2x-3=0.真命题.
否命题:若x2-2x-3≠0,则x≠3.真命题.
逆否命题:若x≠3,则x2-2x-3≠0.假命题.专题归纳高考体验专题二 充分、必要条件的判断及应用
【例2】 (1)设a,b是非零向量,“a·b=|a||b|”是“a∥b”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a⊥b的充要条件是( )专题归纳高考体验自主解答:(1)若a·b=|a||b|,则a与b的方向相同,所以a∥b.若a∥b,则a·b=|a||b|或a·b=-|a||b|,所以“a·b=|a||b|”是“a∥b”的充分不必要条件,故选A.
(2)由a⊥b知a·b=0,即2(x-1)+2=0,所以x=0;
而当x=0时,a=(-1,2),b=(2,1),必有a⊥b,所以a⊥b的充要条件是x=0.
(3)要使不等式x2-2ax+a>0的解集为R,应有Δ=(-2a)2-4a<0,即4a2-4a<0,所以0
0的解集为R”的充要条件,因此一个必要不充分条件是0≤a≤1.
答案:(1)A (2)D (3)C专题归纳高考体验反思感悟1.充分条件与必要条件的判断方法
(1)直接利用定义判断:即若p?q成立,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.(条件与结论是相对的)
(2)利用等价命题的关系判断:p?q的等价命题是 q? p,即若??q? p成立,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.
2.充分条件、必要条件和充要条件的应用
此类问题是指属于已知条件是结论的充分不必要条件、必要不充分条件或者充要条件,来求某个字母的值或范围,涉及的数学知识主要是不等式问题,根据相应知识列不等式(组)求解.专题归纳高考体验跟踪训练2已知p:x2-8x-20>0,q:x2-2x+1-a2>0,若p是q的充分而不必要条件,则正实数a的取值范围是 .?
解析:设A={x|x2-8x-20>0}={x|x<-2或x>10},
B={x|x2-2x+1-a2>0}={x|x<1-a或x>1+a}.
由于p是q的充分而不必要条件,可知A?B,故所求正实数a的取值范围为(0,3].
答案:(0,3]专题归纳高考体验专题三 全称命题与特称命题
【例3】 判断下列命题是全称命题还是特称命题,用符号写出其否定并判断命题的否定的真假性.
(1)有一个实数α,sin2α+cos2α≠1;
(2)任何一条直线都存在斜率;
(3)存在实数x,使得
思路点拨:首先找准量词判断是全称命题还是特称命题,写它们的否定时要注意量词的变化,真假判断可从原命题和原命题的否定两个角度择易处理.
自主解答:(1)特称命题,否定:?α∈R,sin2α+cos2α=1,真命题.
(2)全称命题,否定:?直线l,l没有斜率,真命题.
(3)特称命题,否定:?x∈R, 真命题.专题归纳高考体验反思感悟1.全称命题与特称命题真假的判断方法
(1)判断全称命题为真命题,需严格的逻辑推理证明,判断全称命题为假命题,只需举出反例.
(2)判断特称命题为真命题,需要举出正例,而判断特称命题为假命题时,要有严格的逻辑证明.
2.含有一个量词的命题的否定
全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.否定时既要改写量词,又要否定结论.专题归纳高考体验跟踪训练3下列命题中的假命题是( )
A.?x0∈R,lg x0=0
B.?x0∈R,tan x0=1
C.?x∈R,x3>3
D.?x∈R,2x>0
解析:∵当x=1时,lg 1=0,∴A是真命题;
∵当 ,∴B是真命题;
∵当x<0时,x3<0,∴C是假命题;
由指数函数的性质可知,对?x∈R,2x>0成立,∴D是真命题.
答案:C专题归纳高考体验专题四 转化与化归思想 思路点拨:由于“p或q”为真,“p且q”为假,可以得到p与q一真一假,再转化为集合间的关系求解即可.专题归纳高考体验专题归纳高考体验反思感悟所谓转化与化归思想是指在研究和解决问题时,采用某种手段将问题通过变换、转化,进而使问题得到解决的一种解题策略.一般是将复杂的问题进行变换,转化为简单的问题,将较难的问题通过变换,转化为容易求解的问题,将未解决的问题转化为已解决的问题.
本章主要体现原命题与其逆否命题之间的转化、逻辑语言与一般数学语言的转化等.通过转化,使复杂问题简单化,抽象问题具体化.专题归纳高考体验跟踪训练4已知命题r(x):sin x+cos x>m,s(x):x2+mx+1>0,如果对?x∈R,r(x)为假命题且s(x)为真命题,求实数m的取值范围.专题归纳高考体验考点一:四种命题及其关系
1.(2015山东高考)设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是( )
A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0
B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0
C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0
D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0
解析:原命题的逆否命题是将条件和结论分别否定,作为新命题的结论和条件,所以其逆否命题为“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”.
答案:D专题归纳高考体验专题归纳高考体验考点二:充分条件、必要条件的判断
3.(2016山东高考)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:若直线a,b相交,设交点为P,则P∈a,P∈b.
又因为a?α,b?β,
所以P∈α,P∈β.
故α,β相交.
反之,若α,β相交,设交线为l,当a,b都与直线l不相交时,则有a∥b.
显然a,b可能相交,也可能异面或平行.
综上,“直线a,b相交”是“平面α,β相交”的充分不必要条件.
答案:A专题归纳高考体验4.(2017天津高考)设x∈R,则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:∵x=-3满足2-x≥0,但不满足|x-1|≤1,
∴“2-x≥0”不是“|x-1|≤1”的充分条件.
若|x-1|≤1,则-1≤x-1≤1,即0≤x≤2,可得2-x≥0,
即“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要条件,
故“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要而不充分条件.故选B.
答案:B专题归纳高考体验5.(2017北京高考)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:m,n为非零向量,若存在λ<0,使m=λn,即两向量反向,夹角是180°,则m·n=|m||n|cos 180°=-|m||n|<0.反过来,若m·n<0,则两向量的夹角为(90°,180°],并不一定反向,即不一定存在负数λ,使得m=λn,所以“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件.故选A.
答案:A专题归纳高考体验考点三:逻辑联结词及其应用
6.(2017山东高考)已知命题p:?x∈R,x2-x+1≥0;命题q:若a2取a=1,b=-2,则a2b,故命题q为假命题,所以p∧ q为真命题.
答案:B专题归纳高考体验7.(2014重庆高考)已知命题
p:对任意x∈R,总有2x>0;
q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,
则下列命题为真命题的是( ).解析:根据指数函数值域为(0,+∞),得p为真命题;而“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,故q为假命题.根据复合命题的真假规律,可得p∧ q为真命题,故选D.
答案:D专题归纳高考体验考点四:全称命题与特称命题
8.(2016浙江高考)命题“?x∈R,?n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( )
A.?x∈R,?n∈N*,使得nB.?x∈R,?n∈N*,使得nC.?x∈R,?n∈N*,使得nD.?x∈R,?n∈N*,使得n解析:由含量词命题的否定格式,可知首先改写量词,
而n≥x2的否定为n故选D.
答案:D专题归纳高考体验9.(2014全国Ⅰ高考)不等式组 的解集记为D,有下面四个命题:
p1:?(x,y)∈D,x+2y≥-2,
p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2,
p3:?(x,y)∈D,x+2y≤3,
p4:?(x,y)∈D,x+2y≤-1,
其中的真命题是( ).
A.p2,p3 B.p1,p2 C.p1,p4 D.p1,p3
解析:画出可行域如图阴影部分所示.
作直线l0: ,平移l0,当直线经过A(2,-1)时,x+2y取最小值,此时(x+2y)min=0.故p1:?(x,y)∈D,x+2y≥-2为真.p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2为真.故选B.
答案:B课件24张PPT。第2课时 圆锥曲线的定义、标准方程与简单几何性质知识网络要点梳理思考辨析⑥x2=±2py(p>0);
⑦e=1知识网络要点梳理思考辨析1.圆锥曲线的定义 知识网络要点梳理思考辨析2.圆锥曲线的标准方程 知识网络要点梳理思考辨析3.圆锥曲线的几何性质 知识网络要点梳理思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)若m>n>0,则方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的椭圆. ( )
(2)椭圆的焦点到其一个短轴端点的距离等于长轴长. ( )
(3)双曲线渐近线的斜率的绝对值越大,其开口越大. ( )
(4)抛物线的焦点弦长度的最小值是其通径的长度. ( )
(5)双曲线的一个焦点到其渐近线的距离等于其虚半轴的长度. ( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√专题归纳高考体验专题一 圆锥曲线定义的应用
【例1】如图,已知圆A:(x+2)2+y2=1与点A(-2,0),B(2,0),分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程.
?
(1)△PAB的周长为10;
(2)圆P过点B(2,0)且与圆A外切(P为动圆圆心);
(3)圆P与圆A外切且与直线x=1相切(P为动圆圆心).
思路点拨:考查动点P到定点的距离之和、之差等是否为常数,动点到定点的距离与到定直线的距离是否相等,对照三种圆锥曲线的定义进行判断求解.专题归纳高考体验反思感悟本题主要考查了用圆锥曲线的定义求轨迹以及轨迹方程的相关知识.在圆锥曲线中,定义是基础,要注意对圆锥曲线定义的灵活运用.专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题二 圆锥曲线的标准方程 专题归纳高考体验专题归纳高考体验反思感悟求圆锥曲线标准方程时,先确定其类型,设出方程,然后再根据题目条件求出方程中的参数a,b,p等的值,代入即可求得标准方程.专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题三 圆锥曲线的几何性质 思路点拨:求出|PF1|的表达式,然后根据椭圆上一点与焦点距离的取值范围建立关于a,b,c的不等式进行求解.专题归纳高考体验专题归纳高考体验反思感悟椭圆和双曲线离心率的求解是高考考查的重点,也是有关圆锥曲线性质命题的最热门的考点之一.求解椭圆与双曲线离心率的值或范围,就是建立一个关于离心率的方程或不等式,可以通过建立关于a,b,c的方程或不等式达到目的.不等式的构建有如下一些思考途径:一是根据椭圆的几何性质,如根据椭圆上点的坐标的范围与已知条件建立不等式;二是涉及直线与椭圆相交时,利用直线方程与椭圆方程联立消元后所得到的一元二次方程根的判别式大于零求解;三是利用题目中给出的已知条件得出不等关系式.专题归纳高考体验专题归纳高考体验考点一:圆锥曲线的定义
1.(2015福建高考)若双曲线 的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于( )
A.11 B.9 C.5 D.3
解析:由双曲线的定义知,||PF1|-|PF2||=6.
因为|PF1|=3,所以|PF2|=9.
答案:B专题归纳高考体验考点二:圆锥曲线的标准方程 专题归纳高考体验专题归纳高考体验考点三:圆锥曲线的几何性质 专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验课件36张PPT。第3课时 圆锥曲线中的定点定值、最值范围问题知识网络要点梳理思考辨析知识网络要点梳理思考辨析1.直线与圆锥曲线的位置关系
(1)若直线方程与圆锥曲线方程联立,消去y后的方程为ax2+bx+c=0,Δ=b2-4ac,则知识网络要点梳理思考辨析2.定点与定值问题
(1)在几何问题中,有些几何元素和几何量与位置或参数的值无关,即称为定点与定值问题.
(2)解决定点与定值问题主要采用特殊化方法或消参数法.知识网络要点梳理思考辨析3.最值与范围问题
圆锥曲线中的最值与范围问题,常常利用以下方法进行求解:
(1)定义法
结合定义,利用图形中几何量之间的大小关系求解;
(2)不等式(组)法
根据题意列出所研究的参数满足的不等式(组),通过解不等式(组)得到参数的取值范围或最值;
(3)函数值域法
将所研究的参数作为一个函数,另一个适当的参数作为自变量,建立函数解析式,利用函数方法通过函数的最值求得参数的最值或范围;
(4)基本不等式法
利用均值不等式求参数的取值范围或最值.知识网络要点梳理思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)直线与双曲线只有一个公共点,则直线与双曲线一定相切.( )
(2)直线与抛物线相交,一定有两个公共点. ( )
(3)椭圆上任意一点(非长轴端点)与两个长轴的端点的连线的斜率之积为定值. ( )
(4)抛物线的通径是所有焦点弦中的最短者. ( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√专题归纳高考体验专题一 直线与圆锥曲线的位置关系
【例1】 已知椭圆 ,直线l经过点E(-1,0),且与椭圆C相交于A,B两点,且|EA|=2|EB|.
(1)求直线l的方程;
(2)求弦AB的长度.
思路点拨:(1)可设直线l的斜率,然后将直线方程与椭圆方程联立,利用根与系数的关系以及|EA|=2|EB|求出斜率即得直线的方程;(2)利用弦长公式求解.专题归纳高考体验自主解答:(1)若直线l的斜率不存在,则其方程为x=-1,显然不满足|EA|=2|EB|.
故直线l的斜率一定存在,
设为k,则l的方程为y=k(x+1).专题归纳高考体验专题归纳高考体验反思感悟直线与圆锥曲线的综合问题,主要包括直线与圆锥曲线位置关系的判断问题、弦长问题、面积问题等,求解这类问题时,通常采用代数方法,将直线方程与圆锥曲线的方程联立,消去其中一个未知量,通过讨论所得方程的根的情况来确定位置关系,同时,还经常利用根与系数的关系,采取“设而不求”的办法求解弦长问题、面积问题.专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题二 定点与定值问题 思路点拨:(1)由已知条件求得a,b的值,即得椭圆方程;(2)将直线方程与椭圆方程联立,利用弦长公式将|AQ|,|AR|,|OP|的值表示出来,然后进行化简,即可证明其是定值.专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验反思感悟求解圆锥曲线中的定值问题的基本策略是“大处着眼、小处着手”,从整体上把握问题给出的综合信息,选择解题的思路,注意运用待定系数法、定义法等数学方法.如果题目中没有告诉定值,可考虑用特殊值(特殊点、特殊直线等)进行探求,再就一般情况进行推证.如果定值已经给出,可设参数,通过运算推理,参数必消,定值显露.专题归纳高考体验跟踪训练2已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与x轴的交点坐标是(-4,0).
(1)求抛物线方程;
(2)求定点M,使过点M的直线l与抛物线交于B,C两点(异于原点),且以BC为直径的圆恰好经过原点.专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题三 最值与范围问题
【例3】 已知抛物线C:y2=4x,F是C的焦点,过焦点F的直线l与C交于A,B两点,O为坐标原点.思路点拨:(1)利用根与系数的关系以及向量数量积的坐标运算求解;(2)将三角形ABO的面积表示为λ的函数,然后利用均值不等式求得最值.专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验考点一:直线与圆锥曲线的位置关系
1.(2017全国Ⅱ高考)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为 的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为( )专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验(1)求椭圆C的方程;
(2)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,☉N的半径为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与☉N分别相切于点E,F,求∠EDF的最小值.专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验考点二:定点与定值问题 专题归纳高考体验专题归纳高考体验考点三:最值与范围问题 专题归纳高考体验专题归纳高考体验课件50张PPT。第4课时 导数及其应用知识网络要点梳理思考辨析答案:①概念
②几何意义
③单调性
④极值
⑤最大(小)值知识网络要点梳理思考辨析1.导数的运算
导数的运算法则:[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x),2.导数的几何意义
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数,就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率;
(2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.知识网络要点梳理思考辨析3.利用导数研究函数单调性
(1)利用导数求函数单调区间的步骤:
①确定函数的定义域;②求导数f'(x);③在定义域内,解不等式f'(x)>0得到函数的递增区间;解不等式f'(x)<0得到函数的递减区间.
(2)根据单调性求参数取值范围:
函数f(x)在区间I上单调递增(递减),等价于不等式f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间I上恒成立.知识网络要点梳理思考辨析4.利用导数研究函数的极值与最值
(1)应用导数求函数极值的一般步骤:
①确定函数f(x)的定义域;
②解方程f'(x)=0的根;
③检验f'(x)=0的根的两侧f'(x)的符号.
若左正右负,则f(x)在此根处取得极大值;
若左负右正,则f(x)在此根处取得极小值;
否则,此根不是f(x)的极值点.
(2)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值、最小值的方法与步骤:
①求f(x)在(a,b)内的极值;
②将①求得的极值与端点值f(a),f(b)相比较,其中最大的一个值为最大值,最小的一个值为最小值.知识网络要点梳理思考辨析5.利用导数研究函数、方程、不等式的综合问题
利用导数研究下列问题:(1)函数的零点个数问题;(2)方程的根的问题;(3)不等式恒成立问题;(4)证明不等式问题;(5)解不等式问题;(6)比较大小问题.知识网络要点梳理思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)经过点A(x0,y0)作曲线y=f(x)的切线,则切线斜率等于f'(x0). ( )
(2)若函数f(x)在区间(a,b)上单调递减,则在区间(a,b)上必有f'(x)<0. ( )
(3)可导函数在极值点处的导数必为0. ( )
(4)函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象与x轴最多有3个交点. ( )
(5)若不等式a>f(x)恒成立,则a>[f(x)]min. ( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×专题归纳高考体验专题一 导数的运算 专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题二 导数的几何意义
【例2】 (1)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为 .?
(2)(2015课标全国Ⅱ高考)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= .?
自主解答:(1)y'=-5ex,则k=y'|x=0=-5×e0=-5,
所以所求切线方程为y-(-2)=-5(x-0),即5x+y+2=0.
(2)∵y'= ,∴k=y'|x=1=2,
∴切线方程为y=2x-1.
由y=2x-1与y=ax2+(a+2)x+1联立,得ax2+ax+2=0,再由相切知Δ=a2-8a=0,解得a=0或a=8.
∵当a=0时,y=ax2+(a+2)x+1并非曲线而是直线,
∴a=0舍去,故a=8.
答案:(1)5x+y+2=0 (2)8专题归纳高考体验反思感悟利用导数研究曲线的切线问题,务必要注意所给点是否在曲线上,若点在曲线上,则函数在该点处的导数值就是曲线在该点切线的斜率,如果所给点不在已知曲线上,则应先设出切点坐标,再结合两点连线的斜率公式建立联系求解.专题归纳高考体验跟踪训练2若曲线y=ax2-ln x在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a= .?专题归纳高考体验专题三 利用导数研究函数单调性
【例3】 已知函数f(x)=x2-4x+(2-a)ln x,a∈R.
(1)当a=8时,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在[2,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(3)若f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围.
思路点拨:(1)将a的值代入,确定定义域,求导数,然后解不等式即得;(2)转化为f'(x)≥0在[2,+∞)恒成立求解;(3)转化为不等式f'(x)<0在定义域上有解进行处理.专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题四 利用导数研究函数的极值与最值
【例4】 已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在闭区间[-2,2]上的最大值和最小值.
思路点拨:(1)根据条件可得f'(1)=0,f(1)=-1,求出a,b的值得到函数解析式,然后再利用导数解不等式得到单调区间;(2)按照求最值的步骤求解即可.专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题五 利用导数研究函数、方程、不等式的综合问题思路点拨:(1)将a,b的值代入,然后研究函数的极值,并结合单调性求出最值;(2)方程有唯一实数解,亦即相应函数图象与x轴只有一个交点,可先研究函数的极值情况,并结合图象分析,得到m的值.专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验考点一:导数的运算
1.(2016天津高考)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(0)的值为 .?
解析:∵f'(x)=(2x+3)ex,
∴f'(0)=3.
答案:3专题归纳高考体验考点二:导数的几何意义 3.(2017天津高考)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为 .?
解析:∵f(x)=ax-ln x,∴f'(x)=a- ,f'(1)=a-1,f(1)=a,则切线l方程为y-a=(a-1)(x-1),即y=(a-1)x+1,则l在y轴上的截距为1.
答案:1专题归纳高考体验4.(2016全国丙高考)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 .?
解析:当x>0时,-x<0,f(-x)=ex-1+x.
因为f(x)为偶函数,
所以f(x)=f(-x)=ex-1+x.
因为f'(x)=ex-1+1,所以f'(1)=2,
所求切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
答案:y=2x专题归纳高考体验考点三:利用导数研究函数的单调性
5.(2017浙江高考)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是 ( )专题归纳高考体验解析:设导函数y=f'(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x1<0所以在区间(-∞,x1)和(x2,x3)上,f'(x)<0,f(x)是减函数,
在区间(x1,x2)和(x3,+∞)上,f'(x)>0,f(x)是增函数,
所以函数y=f(x)的图象可能为D,故选D.
答案:D专题归纳高考体验6.(2017全国Ⅰ高考)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.
解:(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).
①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)单调递增.
②若a>0,则由f'(x)=0得x=ln a.
当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0.
故f(x)在(-∞,ln a)单调递减,在(ln a,+∞)单调递增.专题归纳高考体验专题归纳高考体验考点四:利用导数研究函数的极值与最值
7.(2017北京高考)已知函数f(x)=excos x-x.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)在区间 上的最大值和最小值.专题归纳高考体验专题归纳高考体验解:(1)由题意f'(x)=x2-ax,
所以当a=2时,f(3)=0,f'(x)=x2-2x,
所以f'(3)=3,因此曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0.专题归纳高考体验(2)因为g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,
所以g'(x)=f'(x)+cos x-(x-a)sin x-cos x
=x(x-a)-(x-a)sin x
=(x-a)(x-sin x).
令h(x)=x-sin x,则h'(x)=1-cos x≥0,
所以h(x)在R上单调递增.
因为h(0)=0,所以当x>0时,h(x)>0;当x<0时,h(x)<0.
①当a<0时,g'(x)=(x-a)(x-sin x),
当x∈(-∞,a)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当x∈(a,0)时,x-a>0,g'(x)<0,g(x)单调递减;
当x∈(0,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.
所以当x=a时g(x)取到极大值,极大值是g(a)=- a3-sin a,
当x=0时g(x)取到极小值,极小值是g(0)=-a.专题归纳高考体验②当a=0时,g'(x)=x(x-sin x),当x∈(-∞,+∞)时,g'(x)≥0,g(x)单调递增;
所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值.
③当a>0时,g'(x)=(x-a)(x-sin x)
当x∈(-∞,0)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当x∈(0,a)时,x-a<0,g'(x)<0,g(x)单调递减;
当x∈(a,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.
所以当x=0时g(x)取到极大值,极大值是g(0)=-a;专题归纳高考体验专题归纳高考体验考点五:利用导数解决实际问题
9.(2015江苏高考)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l.如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米.以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数 (其中a,b为常数)模型.专题归纳高考体验(1)求a,b的值;
(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;
②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.专题归纳高考体验解:(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验考点六:利用导数研究函数、方程、不等式的综合问题
10.(2017全国Ⅱ高考)设函数f(x)=(1-x2)ex.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验