2018-2019学年上海市浦东新区第四教育署八年级（上）期末数学试卷（五四学制）（解析版）

2018-2019学年上海市浦东新区第四教育署八年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．y2＝2 B．1+x2＝（2﹣x）2
C． D．（m﹣1）x2﹣x﹣1＝0
2．（3分）如果两点P1（﹣1，y1）和P2（﹣2，y2）在反比例函数y＝的图象上，那么y1，y2的符号和大小关系是（　　）
A．y2＜y1＜0 B．y1＜y2＜0 C．y2＞y1＞0 D．y1＞y2＞0
3．（3分）根据下列所给条件判断，△ABC不是直角三角形的是（　　）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝5 B．AB＝9，BC＝40，AC＝41
C．AB＝7，BC＝8，AC＝25 D．AB＝5，BC＝12，AC＝13
4．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边边上的高，∠A＝30°，那么下列说法中正确的是（　　）
A．AD＝2BD B．AD＝BD C．AD＝3BD D．AD＝4BD
5．（3分）下列关于x的方程中一定没有实数根的是（　　）
A．x2﹣x﹣1＝0 B．4x2﹣6x+9＝0 C．x2＝﹣x D．x2﹣mx﹣2＝0
6．（3分）小李家距学校3千米，中午12点他从家出发到学校，途中路过文具店买了些学习用品，12点50分到校．下列图象中能大致表示他离家的距离S（千米）与离家的时间t（分钟）之间的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）如果有意义，那么a的取值范围是　 　．
8．（2分）分母有理化：＝　 　．
9．（2分）在实数范围内因式分解：x2﹣x﹣1＝　 　．
10．（2分）已知函数f（x）＝，那么f（﹣2）＝　 　．
11．（2分）如图，L1是反比例函数y＝在第一象限内的图象，且过点A（2，1），L2与L1关于x轴对称，那么图象L2的函数解析式为　 　（x＞0）．
12．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点M是AB中点，∠A＝25°，∠BCM＝　 　．
13．（2分）如果A地到B地的路程为80千米，那么汽车从A地到B地的速度x千米/时和时间y时之间的函数解析式为　 　．
14．（2分）命题“等腰三角形的两腰相等”的逆命题是　 　．
15．（2分）经过定点A且半径为5cm的圆的圆心的轨迹是　 　．
16．（2分）若点P在x轴上，点A坐标是（2，﹣1），且PA＝，则点P的坐标是　 　．
17．（2分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，如果AB＝10cm，那么AF＝　 　cm．
18．（2分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D处，折痕交另一直角边于E，交斜边于F，则△CDE的周长为　 　．
三、解答题（本大题共6题，满分36分）
19．（6分）（1）计算：﹣2+2x；
（2）解方程：x2+6x﹣5＝0
20．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A，且点A的横坐标为1，点B是x轴正半轴上一点，且AB⊥OA．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）先在∠AOB的内部求作点P，使点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等，且PA＝PB；再写出点P的坐标．（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注清楚点P）
21．（6分）关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1＝0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的解．
22．（6分）温州市处于东南沿海，夏季经常遭受台风袭击，一次，温州气象局测得台风中心在温州市A的正西方向300千米的B处，以每小时10千米的速度向东偏南30°的BC方向移动，距台风中心200千米的范围是受台风严重影响的区域．试问：
（1）台风中心在移动过程中离温州市最近距离是多少千米？
（2）温州市A是否受台风影响？若不会受到，请说明理由；若会受到，求出温州市受台风严重影响的时间．
23．（6分）已知，如图在△ABC中，AD、BE分别是BC，AC边上的高，AD、BE交于H，DA＝DB，BH＝AC，点F为BH的中点，∠ABE＝15°．
（1）求证：△ADC≌△BDH；
（2）求证：DC＝DF．
24．（6分）已知：如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．
四.综合题（满分10分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题2分）
25．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝4，点Q是边AC上动点（点Q不与点A、C重合），过点Q作QR∥AB，交BC边于点R．
（1）求∠CRQ的大小；
（2）若把△QCR沿着直线QR翻折得到△QPR，设AQ＝x
①如图2，当点P落在斜边AB上时，求x的值；
②如图3，当点P落在Rt△ABC外部时，RP与AB相交于点E，如果BE＝y，写出y与x的函数关系式以及定义域．

2018-2019学年上海市浦东新区第四教育署八年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．【解答】解：A、符合一元二次方程，正确；
B、1+x2＝（2﹣x）2化简后1＝4﹣4x，是一元一次方程，错误；
C、未知数在分母上，不是整式方程，错误；
D、当m＝1时，不是一元二次方程，错误；
故选：A．
2．【解答】解：把点P1（﹣1，y1）代入反比例函数y＝得，y1＝﹣1；
点P2（﹣2，y2）代入反比例函数y＝得，y2＝﹣；
∵﹣1＜﹣＜0，
∴y1＜y2＜0．
故选：B．
3．【解答】解：A、32+42＝52，故是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、92+402＝412，故是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、72+82≠252，故不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、52+122＝132，故是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
4．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC，∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90；
∴BC＝2BD，
∴BD＝AB，
∴AD＝AB，
∴AD＝3BD，
故选：C．
5．【解答】解：A、△＝5＞0，方程有两个不相等的实数根；
B、△＝﹣108＜0，方程没有实数根；
C、△＝1＝0，方程有两个相等的实数根；
D、△＝m2+8＞0，方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
6．【解答】解：∵小李距家3千米，
∴离家的距离随着时间的增大而增大，
∵途中在文具店买了一些学习用品，
∴中间有一段离家的距离不再增加，
综合以上C符合，
故选：C．
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．【解答】解：∵有意义，
∴a﹣1≥0，
∴a≥1．
故答案为：a≥1．
8．【解答】解：＝＝+．
故答案为：+．
9．【解答】解：x2﹣x﹣1＝（x﹣）（x﹣）．
故答案为：（x﹣）（x﹣）．
10．【解答】解：∵f（x）＝，
∴f（﹣2）＝＝＝＝．
故答案为：．
11．【解答】解：y＝过点A（2，1），得它的解析式为y＝，
由反比例函数及轴对称的知识，l2的解析式应为y＝﹣．
故答案为：y＝﹣．
12．【解答】解：如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝25°，点M是AB中点，
∴AM＝CM，
∴∠ACM＝∠A＝25°，
∴∠BCM＝90°﹣25°＝65°，
故答案为：65°．
13．【解答】解：∵速度＝路程÷时间，
∴y＝
故答案为：y＝．
14．【解答】解：命题“等腰三角形的两腰相等”的逆命题是：两边相等的三角形是等腰三角形，
故答案为：两边相等的三角形是等腰三角形．
15．【解答】解：所求圆心的轨迹，就是到A点的距离等于5厘米的点的集合，因此应该是一个以点A为圆心，5cm为半径的圆，
故答案为：以点A为圆心，5cm为半径的圆．
16．【解答】解：由题意设P（x，0），因为PA＝，
，
解得：x＝3或x＝1，
所以点P的坐标是（3，0）或（1，0），
故答案为：（3，0）或（1，0），
17．【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB＝5，
∵FC∥DE，
∴∠AFC＝∠D＝45°，
∴FC＝AC＝5，
由勾股定理得，AF＝＝5（cm），
故答案为：5．
18．【解答】解：当角B翻折时，B点与D点重合，DE与EC的和就是BC，也就是说等于8，CD为AC的一半，故△CDE的周长为8+3＝11；
当A翻折时，A点与D点重合．同理DE与EC的和为AC＝6，CD为BC的一半，所以CDE的周长为6+4＝10．故△CDE的周长为10．
三、解答题（本大题共6题，满分36分）
19．【解答】解：（1）原式＝2﹣+
＝；
（2）x2+6x﹣5＝0，
x2+6x＝5，
x2+6x+9＝5+9，
（x+3）2＝14，
x+3＝±，
x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．
20．【解答】解：（1）由题意，设点A的坐标为（1，m），
∵点A在正比例函数y＝x的图象上，
∴m＝．∴点A的坐标（1，），
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴＝，解得k＝，
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）过点A作AC⊥OB⊥，垂足为点C，
可得OC＝1，AC＝．
∵AC⊥OB，
∴∠ACO＝90°．
由勾股定理，得AO＝2，
∴OC＝AO，
∴∠OAC＝30°，
∴∠ACO＝60°，
∵AB⊥OA，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝30°，
∴OB＝2OA，
∴OB＝4，
∴点B的坐标是（4，0）．
（3）如图作∠AOB的平分线OM，AB的垂直平分线EF，OM与EF的交点就是所求的点P，
∵∠POB＝30°，
∴可以设点P坐标（m，m），
∵PA2＝PB2，
∴（m﹣1）2+（m﹣）2＝（m﹣4）2+（m）2，
解得m＝3，
∴点P的坐标是（3，）．
21．【解答】解：由题意知，m≠0，△＝b2﹣4ac＝[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣1）＝1
∴m1＝0（舍去），m2＝2，∴原方程化为：2x2﹣5x+3＝0，
解得，x1＝1，x2＝3/2．
22．【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC于D，
由题意得AB＝300，∠ABD＝30°
∴AD＝AB＝150（km）；（3分）
（2）∵150＜200
∴温州市点A受到台风严重影响
设台风中心距A点200km处，
刚好处在BC上的E，F两点则
在Rt△ADE中，AE＝200，AD＝150
∴DE＝＝
∴EF＝2DE＝
∴温州市A受台风严重影响的时间为．（6分）
23．【解答】证明：（1）∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠BDH＝90°，
在Rt△ADC和Rt△BDH中，
，
∴△ADC≌△BDH（HL）．
（2）∵DB＝DA，
∴∠DBA＝∠DAB＝45°，
∵∠ABE＝15°，
∴∠DBH＝30°，
∴DH＝BH，
∵BF＝FH，
∴DF＝BH，
∴DF＝DH，
∵△ADC≌△BDH；
∴CD＝DH，
∴DC＝DF．
24．【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，
∴∠ODC+∠OCD＝90°，
∴∠DOC＝90°，又CE平分∠BCD，
∴CE是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，又∠DOC＝90°，
∴EC平分∠BED，
∴点O到EB与ED的距离相等．
四.综合题（满分10分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题2分）
25．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵AC＝2，AB＝4，
∴sinB＝＝，
∴∠B＝30°，
∵QR∥AB，
∴∠CRQ＝∠B＝30°；
（2）①如图2，当点P落在斜边AB上时，
∵∠CRQ＝∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠A＝60°，∠CQR＝60°，
由翻折的性质可知，∠PQR＝∠CQR＝60°，QP＝QC，
∴∠AQP＝60°，又∠A＝60°，
∴△AQP为等边三角形，
∴AQ＝QP，
∴AQ＝QC＝1，即x＝1；
②如图3，当点P落在Rt△ABC外部时，
作QG⊥AB于G，RH⊥AB于H，
∵QR∥AB，
∴QG＝RH，
在Rt△AQG中，QG＝AQ×sinA＝x，
由翻折的性质可知，∠PRP＝∠CRQ＝30°，
∵QR∥AB，
∴∠REB＝∠PRQ，
∴∠REB＝∠B，
∴RE＝RB，
∵RH⊥AB，
∴EH＝EB＝y，
在Rt△ERH中，EH＝，即y＝，
整理得，y＝3x，
则y与x的函数关系式为y＝3x（0＜x＜1）．