江西省同文中学2018-2019学年高二下学期期中数学（理）试题 word版

同文中学2018—2019学年度下学期考试
高二年级期中数学试卷(理科)
考试时间：120分钟 试卷分数：150分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1、复数 (为虚数单位)的虚部是( )
A．　　 B．　　 C．　 D．
2、下列曲线中离心率是的是（ ）
A．　 B．　　 C．　 D．

3、“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4、下列判断正确的是（ ）
A． “若，则”的否命题为真命题
B．函数的最小值为2
C．命题“若，则”的逆否命题为真命题
D．命题“”的否定是：“”。
5、函数的单调递减区间是(　　)
A． B． C． D．
6、由直线，曲线及轴所围成的封闭图形的面积是( )
A． B． C． D．
7、在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8、记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（　　）
A．1440种 B．960种 C．720种 Ｄ．480种
9、设有下面四个命题
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数，则.
其中的真命题为（ ）
A． B． C． D．
10、已知抛物线的焦点为，过点和抛物线上一点的直线交抛物线于另一点，则等于（ ）
A． B． C． D．
11、若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12、设椭圆的左、右顶点分别为，是椭圆上不同于的一点，设直线的斜率分别为，则当取得最小值时，椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、给出下列不等式:


………
则按此规律可猜想第个不等式为____________
14、已知函数.则函数的图像在处的切线方程为____________.
15、5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，则不同的分配方法有______种.
16、已知，若不等式对所有的都成立，则的取值范围是____________.
三、解答题：本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、（10分）在中，内角的对边分别是，已知。
（1）求的值；
（2）若，求的面积。



18、（12分）设数列{}的前项和为，并且满足
（1）求数列{}的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为。



19、（12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行了分析研究，分别记录了2016年12月1日至12月5日每天的昼夜温差以及实验室100颗种子中的发芽数，得到的数据如下表所示：
日期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日
温差x/℃ 10 11 13 12 8
发芽数y/颗 23 25 30 26 16
该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取两组，用剩下的三组数据求线性回归方程，再对被选取的两组数据进行检验．
(1)求选取的两组数据恰好是不相邻的两天数据的概率．
(2)若选取的是12月1日和12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程．
(3)由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是可靠的，据此说明(2)中所得线性回归方程是否可靠？并估计当温差为9 ℃时，100颗种子中的发芽数．
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：







20、（12分）如图所示，等腰梯形ABCD的底角A等于60°．直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD，∠EDA=90°，且ED=AD=2AF=2AB=2．
（Ⅰ）证明：平面ABE⊥平面EBD；
（Ⅱ）点M在线段EF上，试确定点M的位置，使平面MAB与平面ECD所成的角的余弦值为．

21、已知抛物线的焦点为，直线与相切于点，
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设直线交于两点，是的中点，若，求点到轴距离的最小值及此时直线的方程。

22、已知函数.
（1）若在定义域上不单调，求的取值范围；
（2）设分别是的极大值和极小值，且，求的取值范围.


同文中学2018—2019学年度下学期考试
高二年级期中数学试卷(理科)
答案
DBBCB ADBAA CD
13、
14、
15、150
16、
17、解:(1)由题意得到
（5分）
(2) (10分)
18、解：（1）求得， （6分）
（2）（12分）
19、解：(1)将这五组数据分别记为1，2，3，4，5，则从中任取两组共有10个结果，分别为(1，2)，(1，3)，(1，4) ，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，不相邻的结果有(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，5)，共6种，则所求概率P＝＝.
(2)由题得 ＝12，＝27，＝＝ ，＝－＝－3，
所以线性回归方程为＝x－3.
(3)当x＝10时，＝×10－3＝22，|22－23|<2；
当x＝8时，＝×8－3＝17，|17－16|<2.
所以所得到的线性回归方程是可靠的．
当x＝9时，＝19.5，故100颗种子中的发芽数约为19或20.
20、【解答】（I）证明：∵平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD，ED⊥AD，ED?平面ADEF，
∴ED⊥平面ABCD，∵AB?平面ABCD，
∴ED⊥AD，
∵AB=1，AD=2，∠BAD=60°，
∴BD==，
∴AB2+BD2=AD2，∴AB⊥BD，
又BD?平面BDE，ED?平面BDE，BD∩ED=D，
∴AB⊥平面BDE，又AB?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面EBD．
（II）解：以B为原点，以BA，BD为x轴，y轴建立空间直角坐标系B﹣xyz，
则A（1，0，0），B（0，0，0），C（﹣，，0），D（0，，0），E（0，，2），
F（1，0，1），则=（，，0），=（0，0，2），=（1，0，0），=（1，﹣，﹣1），
设=λ=（λ，﹣λ，﹣λ）（0≤λ≤1），则=+=（λ，﹣，2﹣λ），
设平面CDE的法向量为=（x1，y1，z1），平面ABM的法向量为=（x2，y2，z2），
则，，
∴，，
令y1=1得=（﹣，1，0），令y2=2﹣λ得=（0，2﹣λ，），
∴cos＜＞===，解得λ=，
∴当M为EF的中点时，平面MAB与平面ECD所成的角的余弦值为．

21、【解析】（Ⅰ）设，联立方程，得
由，得
，解得
故抛物线的方程为
（Ⅱ）由题意可得直线l的斜率不为0，设l：x＝my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立抛物线方程可得y2﹣4my﹣4n＝0，
△＝16m2+16n＞0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，
|AB|?8，
可得nm2，
2m，2m2+nm2
m2+1﹣1≥21＝3，
当且仅当m2+1，即m2＝1，即m＝±1，
T到y轴的距离的最小值为3，
此时n＝1，直线的方程为x±y﹣1＝0.
22、解：由已知，
（1）①若在定义域上单调递增，则，即在（0，+∞）上恒成立，
而，所以；
②若在定义域上单调递减，则，即在（0，+∞）上恒成立，
而，所以.
因为在定义域上不单调，所以，即.
（2）由（1）知，欲使在（0，+∞）有极大值和极小值，必须.
又，所以.
令的两根分别为，
即的两根分别为，于是.
不妨设，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以


令，于是.
，
由，得.
因为，
所以在上为减函数.
所以.





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