天津市塘沽区第一中学高考数学复习课件：常微分第三章

课件63张PPT。第三章　高阶常微分方程本章主要内容1.高阶线性微分方程解的性质与构成(n阶)齐线性(微分)方程通解的构造(特解如何构成通解的).非齐线性方程通解如何构成.2. 解的求法常系数线性方程：四种求解方法.变系数齐线性方程：幂级数法(以二阶为例，可扩充).3. 一般高阶方程的降阶手段——线性微分方程的一般理论讨论非齐线性方程和它对应的齐线性方程它们的初始条件是定理1定理2(叠加原理)也是(4.2)的解.定理3　　　此定理不可逆. 若这n个函数是方程(4.2)的n个解，则由下面定理4知，它这时可逆.推论定理4定理5 方程(4.2) 一定存在 n 个线性无关的解.定理6 (通解的结构)是(4.2)的通解.方程(4.2)的线性无关解的最大个数等于n——它的　　方程(4.2)的任一组n个线性无关解(基本解组)都可作所有解构成一个n维线性空间. 为这n维线性空间的基底. 对于非齐线性方程我们首先有两个简单的性质：性质1性质2方程(4.1)的任意两个解之差必为方程(4.2)的解.定理7(非齐方程通解结构)是方程(4.1)的某一解，则方程(4.1)的通解是方程(4.1)的通解具有形式解组则(4.2)的通解是由于方程(4.1)与(4.2)关系密切，我们希望非齐线性我们有定理8　　方程组解出的积分得代入(4.16)，得非齐线性方程(4.1)的通解程的基本解组是cost , sint.解　用常数变易法.令通解形式解得积分得代入上面，得通解解积分得再积分，得(2) 用常数变易法求原方程的等价方程的通解. 令它的通解形式为解出于是代入通解形式，得原方程通解§4.2 线性微分方程的解法　　4.2.1　实变量复值函数——预备知识4.2.2　常系数线性方程的解法4.2.3　求变系数齐线性方程特解的幂级数法1. 实变量复值指数函数的定义：可推出2. 实变量复值函数极限定义：连续定义：4.2.1　实变量复值函数——预备知识导数定义：3. 导数的四则运算：5. 结论实变量复值函数的极限、连续、导数定义用其实部、虚部的实定义；实变量复值函数导数的运算规则与实变量实值函数完全类似；实变量复值指数函数具有与实值指数函数相应的运算性质.定理9　若齐线性方程(4.2)中所有系数是它的复值解，则定理10 非齐线性微分方程和的解.4.2.2　常系数线性方程的解法Ⅰ. 求常系数齐线性方程通解的特征根法Ⅱ. 求常系数非齐线性方程特解的比较系数法Ⅲ. Laplace 变换法Ⅰ. 求常系数齐线性方程通解的特征根法这时，方程为我们有理由希望它有指数函数形式的解代入方程，有的根. 这个方程称为(4.19)对应的 　　　　特征根. 特征方程,它的根称为1　特征根是单根的情形. 它们是线性无关的，从而组成方程的基本解组. 这时，若根成对出现)，它们对应方程(4.19)的两个实值解2　特征根有重根的情形. 个线性无关的解若其它的特征根方程(4.19)还有解它们一共 n 个解, 是线性无关的, 构成了(4.19)的基本解组.也是 k 重复根，我们将用以下的 2k 个实值解来替代：解对应的特征方程是它有根对应解四阶齐线性方程，有了 4 个线性无关的解，故通解为解写出特征方程即求得特征根故通解为解特征方程是特征根是故通解为欧拉方程可经变换化为常系数齐线性方程.解且有［附］代入原方程，化为它的特征方程是特征根是通解是故原方程通解为Ⅱ. 求常系数非齐线性方程特解的比较系数法讨论方程在实际应用中最广泛而常见的右端函数是数是 m .注意，这时代数方程(4.20)仍然称为(4.32)对应的特征方程. 式代入方程，用比较 t 的同次项系数来确定. 解对应的特征方程是方程(4.32)有如下形式的特解代入原方程，有比较 t 的同次项系数，得原方程通解为解特解形式为这是最重要的一步，其余略.解特征方程为式为其余步骤略.解法一不是特征根.故特解形式为代入原方程，化简得通解是解法二因为右端函数应用定理10的结论，先求方程的复值特解，再取其实部，就是原方程的解. 特解形式为故特解为所以，原方程的实特解为通解为质点振动(单摆的振动方程)我们分下面四种情形来讨论：1　无阻尼自由振动2　有阻尼自由振动3　无阻尼强迫振动4　有阻尼强迫振动它的特征方程为若取1 无阻尼自由振动则通解可写成这时单摆的运动以正弦函数描述，是 t 的周期函数，称为为圆频率.特征方程是特征根是方程有不同形式的解. 2 有阻尼自由振动这时方程的通解为这时，摆的运动是一种衰减的振动，“振幅”是绝对值随 t 实根. 方程的通解为这是不起振的衰减运动，图形如下：这时方程的通解为这也不起振的衰减运动，图形如上类似. 或方程有特解形如方程的通解是(1)3　无阻尼强迫振动它由两部分组成：第一部分是系统的无阻尼固有振动，第二部分是外力引起的强迫振动；后者在外力圆频率 p 愈接代入方程，比较同类项系数，得这时，方程的通解是(2)共振现象.形式代入方程，比较同类项系数求得M 和N ，代入上式，再写成更具物理意义的故通解为4 有阻尼强迫振动这个式子说明，摆的运动由两部分叠加而成：第一部分是有阻尼的自由振动，是系统本身的固有振动，它随时间的增长而衰减；第二部分是外力引起的强迫振动，振动频率与外力的一样，振幅不随时间增长而衰减，称为“长期项”. 我们可以研究外力的圆频率 p 取什么值时，所引起需讨论 p 取何值时，函数达到最小值. 结论是：只要频率 p 称为共振频率，所产生的现象也叫共振现象.Ⅲ. Laplace 变换法 1　定义定义域原函数，象函数反过来拉氏反变换.拉氏变换，可表示为解(见拉氏变换表) .2 基本性质(1) 拉氏变换线性性质：(2) 原函数的微分性质：(3) 拉氏反变换的线性性质：求方程解因此解为解反查表将问题化为再取拉氏变换反查拉氏表，可得再回到自变量 t ，得所要求的解解由分解式得故反查表得前一项是非齐线性方程的特解, 后两项是齐线性方程的通解.这些例子表明，拉氏变换法的特点是：1。依靠拉氏变换表，把解线性微分方程的积分运算转化为代数运算；2。可一次性求出指定初始条件的特解；3。也可求解常系数线性微分方程的通解. 4.2.3　求变系数齐线性方程特解的幂级数法我们以二阶变系数齐线性方程定理11解初始条件，使解的展开式中因此可设解的级数形式为则将它们代入原方程，合并 x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到解得即这就是所要求的解.求解方程解这虽是一阶方程，也可沿用定理11所提供的理论依据，但有两点不符合条件：(1) 写成令则程组，决定§3.3 一般高阶方程的的降阶手段　　一般的 n 阶高阶方程没有一般性的求解方法，但我们如果能把它的阶数降下来，就增加了求解的可能性. 下面我们介绍三种可降阶的情形：2 方程不显含自变量 t ，呈形状3 齐线性变系数方程若已知它的 k 个线性无关的特解，可通过一系列同类型的变换，使方程降低 k 阶，而仍保持齐线性性质. 1这时，只要令若能得它的通解解积分得于是阶方程解或积分后得所以第二宇宙速度的计算火箭能克服地球的引力，到外空间绕其它星球运行所需的最小发射速度, 称为第二宇宙速度. 它是如何计算的?解以 M 和 m 分别表示地球和火箭的质量，r 表示地球的中心到火箭重心间的距离；把火箭发射近似比作物体上抛运动. 由牛顿万有引力定律，有由牛顿第二定律，有两者联系起来，考虑加速度是负的，得或解得代入初始条件，定出故解为任意小，因此，必有右端第二项方程化为成立. 因而最小发射速度是有代入上式，得3 齐线性变系数方程若已知它的 k 个线性无关的特解，可通过一系列同类型的变换，使方程降低 k 阶，而仍保持齐线性性质. 的解，试求出它的通解. 解代入方程，经整理得得一阶微分方程它仍是齐线性的，且可解：令再积分，得即