天津市塘沽区第一中学高考数学复习课件：常微分第四章

课件74张PPT。第四章　一阶常微分方程组一、基本概念与通解的构成二、常系数线性微分方程组的解法§ 5.1 基本概念与通解的构成5.1.1　基本概念5.1.2　齐线性微分方程组的通解构成5.1.3　非齐线性微分方程组的通解构
　　　成及解的常数变易公式5.1.1　基本概念1. n个一阶线性微分方程组成的“一阶线性方程组”满足(5.1)每一个方程的一组函数续函数.称为(5.1)的一个解.2. 方程组(5.1)的向量表达形式其中它们的连续、求导、积分，均落实到每个元素上.运算法则：(1) 加、减、乘均与相应的常矩阵、常向量相同；3. 初值问题和初值问题的解试验证向量是初值问题首先它满足初始条件：又按向量求导规定解4. n阶线性微分方程可化为一阶线性微分方程组n阶线性微分方程组的初值问题引进代换则有并且写成向量形式为两者关系：它就是(5.7)解；反之，若已知(5.7)的解将初值问题化为一阶方程组的初值问题. 解令且写成向量的形式为则有［注］一阶线性方程组不一定能化为一个高阶线性方程！5.　存在唯一性定理定理1试用逐次逼近法求方程组满足初始条件的第三次逼近解. 解5.1.2　齐线性微分方程组的通解构成定理2定理3Wronsky行列式定理4定理5定义解矩阵；再若这 n 个解是线性无推论基(本)解矩阵.试验证是方程组的基解矩阵. 再因解定理6（通解的构成）则(5.15)的通解是推论性质1性质2定理7（非齐线性方程组的通解构成）的通解是5.1.3 非齐线性微分方程组的通解构成及解的常数变易公式定理8给出. (5.27)称为非齐线性微分方程组(5.14)解的常数变易公式，它由常数变易法推导而得. 试用常数变易公式(5.27)求初值问题的解. 在例4中，已知解按公式(5.27)，有§5.2 常系数线性微分方程组的解法5.2.1　常系数齐线性方程组的解法5.2.2　常系数非齐线性方程组的解法1. 待定系数法（补充）2. 消元法（补充）3. 拉氏变换法1. 待定系数法（补充）2. 常数变易法3. 拉氏变换法4. 标准基解矩阵5.2.1　常系数齐线性方程组的解法1. 待定系数法待定系数法是解常系数线性微分方程常用的方法，它理论简明，便于记忆，运算初等但有时较繁. 具体步骤是：写出特征方程的解，将它代入方程组 (5.33) ，比较 t 的同次幂系数得诸组(5.33)有形如特征方程为代入方程组，得比较上式两边 t 的同次幂系数，得解代入形式解中，得方程组通解特征方程为解代入方程组，得四个方程只有两个是独立的，即2. 消元法这个方法的思想来自代数方程组的消元法, 有时运算较简便，适用性较广. 具体步骤是：成代数方程组；(2) 应用克莱默(Cramer) 法则消元，得到多个只含一个变元的方程——高阶常系数齐线性微分方程, 求出若干个这种方程的通解；(3) 把上述通解再代入原方程组中适当的方程，求出余下变元的解；(4) 最后将得到的一切变元的解凑成方程组的通解. 以最简单的方程组记我们可由这里的第一个方程求出 x(t) 的通解，代入原方程组的通解. 记解二阶方程它对应的特征方程解将它代入原方程组的第一个方程，得这就是与例1所得完全一致的通解了. 3. 拉氏变换法对方程组的拉氏变换法与高阶常系数线性方程所用的拉氏变换法思路是一样的. 在应用原函数的微分公式时，把初值以任意常向量代替，则可得通解. 在例子中还可看到，用此法解方程组的初值问题，其优越性更为突出. 对方程组两边取拉氏变换即解计算出所以再反查拉氏表，得通解有例1，例3的同样形式求非标准型的常系数线性微分方程组取拉氏变换，有计算出解因此有反查拉氏表，就得初值问题的解[附]矩阵又称它为标准基本解矩阵. 因为定义所以故它是(5.33)的基解矩阵. 试用拉氏变换法求方程组对方程组取拉氏变换，得即其中解初值向量计算出反查拉氏表，得一个解向量反查拉氏表，得第二个解向量反查拉氏表，得第三个解向量这样，我们就得基本解矩阵定理9的解为它的每一列是方程组(1)的一个解，则这个矩阵的各个元素如
何求出．解II．一般情形1．矩阵的特征值与特征向量解[附] 特征向量的作用：它们构成了二维欧氏空间的基底．得这时解解定理10在上述条件下是常系数线性微分方程组(1)的一个基解矩阵．解是(1)的一个基解矩阵.也是一个“实化”的过程．且有定理10'求方程组解这里由例4知，特征值中的代入上式，得到三个线性无关的解，分别作为矩阵的列，即得解而5.2.2　常系数非齐线性方程组的解法1. 待定系数法由§5.1中的5.1.3知，只要已知它对应的齐线性方程组法、拉氏变换法. 本方法与上一章中介绍的，求高阶非齐线性微分方程特解时所用的待定系数法，在思路与步骤上是一致的，但在正确写出待定解的形式时，要注意与那里所用的形式略有区别. 本方法适用于应用中相当广泛出现的两种情形：则(5.60)的特解有待定形式(2) 若则特解有待定形式(1)先求对应的齐线性方程组的基本解矩阵. 特征方程为分别代入齐线性组，比较同类项，得解它们显然是线性无关的，故齐线性组的基解矩阵是均是零次多项式，所以特解的待定形式为故原方程组的通解为特征方程为解特征方程为特解解次多项式，故特解形式为最后得原方程组的一个特解代入上面方程组，按以上同样步骤求得它的特解为式为2. 常数变易法及其公式常数变易法是在已知相应的齐线性方程组的基本解矩阵时，求非齐线性方程组解的一种较普遍可用的方法，它的思想也适用于变系数线性方程组. 对常系数非齐线性方程组，下面的常数变易公式，即可用以求解，在理论研究中也是非常有用的. 在5.1.3 的定理8 中，我们已对变系数非齐线性方程组导出了常数变易公式(5.27)我们可用待定系数法或拉氏变换法求得解利用公式或分部积分法，有代入上式，经整理，最后得特解3. 拉氏变换法这里用拉氏变换法解题的思路和步骤，与上节齐线性用拉氏变换法再解例10：求取拉氏变换，有整理得解用克莱默法则，解得反查拉氏表，得满足所给初始条件的解出它的基本解矩阵. 为了能同时解决提出的两项要求，我们先对一般的初 在一般的初始条件下，对方程组取拉氏变换，有解即按克莱默法则解得反查拉氏表，得相应特解反查拉氏表，得解故方程组的基本解矩阵为