天津市塘沽区第一中学高考数学复习课件：常微分第一二章

课件52张PPT。常微分方程　　　　　目 录第一章　常微分方程的基本概念第二章　一阶常微分方程的初等积分法第三章　高阶常微分方程第四章　一阶常微分方程组第五章　解的存在唯一性定理 第一章　常微分方程的基本概念一、为什么要学习常微分方程二、怎样学好常微分方程1、微分方程是数学联系实际的主要桥梁之一，是各门专业课重要的数学工具——实践中的一些常微分方程.2、数学分析（微积分）、高等代数、解析几何等提供的数学方法，在（常）微分方程中得到了综合应用——进一步加深了对数学的理解和兴趣，认识到学习数学的必要性；同时，我们也可看到物理、力学、电学等的一些基本概念、基本定理，在建立实际问题的数学模型中可起到的重要作用.一、为什么要学习常微分方程例1.物体冷却过程的数学模型解(1)物理依据——Newton冷却定律：物质温度变化速度与该物质和其所在介质的温差成正比，即(2)数学模型——一阶常微分方程初始条件实际问题中的一些常微分方程(3)求解(4)本问题的温度与时间的关系——确定k 的值(5)答案 例2.解析几何模型解(2)数学模型(3)求解曲线族过(1,2)满足题意的一条曲线例3.单摆运动数学模型解(2)数学模型(3)求解得摆动球的运动规律. 一根长为l 的细杆，一端联结一个质量为m 的球M, 另一端悬挂在O点，若不计细杆的质量，在重力的作用下细杆在某一铅直平面上摆动，求摆球的运动规律.(1)物理依据：牛顿第二定律——力的分析：
作用在M上且对摆动起作用的力有： ?一些基本概念1.微分方程，“阶”：2.线性和非线性3.通解和特解，初始条件（定解条件之一）4.方向场（线素场）和积分曲线　　一阶微分方程的积分曲线是这样一种曲线，在它上的每一点 (x, y)处的切线斜率等于已知的f (x,y)——一阶微分方程(*) (解）的几何意义.　　一阶方程(*)的在G内每一点(x, y)上给出了一个斜率，它以一小段斜率为f(x,y)的直线表示，形成了G内的一个线素场.画出方程的线素场，并近似地描出积分曲解在等倾线上作出斜率为k的诸线素，我们令
　　　 k=0,1,4,9,……；　　 按线素场的变化趋势，就可近似描出此方程的各条解曲　　这是利用一阶方程定义的线素场作积分曲线(族)的方法. 备注：自学P.2-3上的例题线.可作出此方程决定的线素场.线在x－y 平面上的几何图形——积分曲线(族).是分别过点(0, 0),(1/2, 0),(1, 0)的三条积分曲线.图中所示的 二、怎样学好常微分方程教　学　原　则理科的思维，工科的处理. 1. 内容适度加深，方法适度加多，道理讲得更透；2. 初步学习理科（数学）论证的思维方法；3. 重视应用，重视计算，重视解题格式；4. 适度减弱教材中某些理论证明，补充工程中常用的，工程师喜用的解题方法. 体现在：1. 准确、熟练地掌握基本概念、基本解法，了解相关的基本理论.2. 初步学会由实际问题建立数学模型、求解、再回到（解释、解决）实际问题的方法.3. 认真听好课，及时预习和复习;上好习题课，按质、按量及时完成作业.4. 40学时的初步分配：
　　第一、二章：用6次课;（穿插课堂习题）　
　　第　三　章：用4次课;
　　第　四　章：用6次课;
　　第　五　章：用4次课.学　习　要　求第二章　一阶微分方程的初等解法一阶微分方程显式隐式六种解法（工具箱）分离变量法常数变易法变量代换法凑全微分法积分因子法引入参数法一、分离变量法（直接积分法）主要对象：变量已分离方程 解得隐式通解 解将变量分离两边积分，得通解为代入初始条件，得所求特解为 解即　　显然还有解y=0，但它可包含在上式中（对应c=0)，上式就是显式通解.将变量分离，得积分之，得通积分注意:可能遗解.解解对象:一阶线性方程标准化为　它对应的齐线性方程是前面例2中已知它的通解是非齐线性方程的解希望有形式　二、常数变易法解代入方程，化简得得代入上述形式，得非齐线性方程通解公式先标准化为求出的通解为令原方程解的形式为代入后，化简为求出最后得原方程通解解原方程改写成用公式，得解　　一些有代表性的方程（类），常常可通过引入适当的1. 齐次方程可令y=ux,化为方程三、变量代换法变量代换，化为变量已分离型方程或线性方程，从而用已知方法求解.积分得代回原变量为解方程化为此时变量已分离.1。求出两直线交点2。作坐标平移得解3。作代换得积分后，整理得4。代回原变量再整理得通解3. 恰当的变量代换也可使以下类型的方程达到分离变量的目的：4. 贝努里方程它可写成或令得这是线性方程. 有通解解用公式得通解是解 对象：恰当方程（全微分方程）定义　形如则称该方程是恰当方程.这时，它的隐式通解是 四、凑全微分法方程（*）是恰当方程的充要条件是且 u(x,y) 一定可以通过积分求得，即这是恰当方程.解　　验证条件（H）成立时（恰当方程），先把那些本再看例9.重新“分项组合”：则通解为身已是全微分的项分出，再把剩下的项凑成全微分.解它是恰当方程，重组成通解为对象：对称形式方程定义　若存在连续可微函数五、积分因子法定理 方程（*）的积分因子总是存在的，它是一的解；若阶线性偏微分方程是方程（*）的一个仅与x有关的积分因子； 若则是方程（*）的一个仅与y有关的积分因子.用积分因子法解线性方程解（1）改写成对称形式因此方程有只与x有关的积分因子（2）用以求解.用求得的积分因子乘方程积分，得或分别用积分因子法，变量代换法和常数变易公式解方程六、引入参数法对象：隐式 方程已总结出规范解法的有以下四种类型：　　引进适当的参数使之变为导数已解出的方程类型，再用前面介绍的方法求解. 最后的解多数情况下仍以参数表出.解用前面介绍的方法求解，它可能是三种形式之一：对x求导，得写成或得通解解出 x，为代入(*)，整理得原方程参数形式的通解对y求导，得整理得即积分得代入(**)，化简得通解同样，从方程直接看出 y =0 也是解.　　以几何观点看，上式可不同的是，这里多一个限制即于是得该方程的参数形式通解应有参数表达式和限制即于是，方程的通解是或看作平面上的一条曲线，应有参数表达式 这里的关键技巧是，如何针对给出的方程找出具体解 从而的参数表达式最后得通解解 从而用限制即因此得通解或消去参数t ,得显式解2.对一些有代表性的方程，常常对应一种代表性的解一阶微分方程初等积分法小结1.求解一个显式方程　　一般可采用多种方法（介绍了五种）去解；方法3.这五种解法在理论上的联系是:（3）积分因子法处于理论上的核心地位.（1）分离变量法（直接积分法）是（最终）必经之路；见下图：选得对路，解题速度就快，还不易出错.法，虽不一定是最好的但多数情况下是有效的.因此把方程与其对应解法联系起来记忆，一般是有效的，但不要思想固化.（2）根本的方法是变量代换法和积分因子法；