湖南省邵阳市武冈市2017-2018学年八年级（下）期末数学试卷含解析

湖南省邵阳市武冈市2017-2018学年八年级（下）期末数学试卷
一、细心选一选（将正确答案的序号填在对应的题号下面，本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．以下列各组数为边长能构成直角三角形的是（　　）
A．1，1， B．2，3，4 C．4，5，6 D．6，8，11
3．在平面直角坐标系中，点M到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，且在第二象限，则点M的坐标是（　　）
A．（3，﹣2） B．（﹣2，3） C．（﹣3，2） D．（﹣2，﹣3）
4．已知直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，则△AOB面积为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
5．一次函数y＝kx+k的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．一组数据的最大值与最小值的差为80，若确定组距为9，则分成的组数为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．12
7．汽车由重庆驶往相距400千米的成都，如果汽车的平均速度是100千米/时，那么汽车距成都的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系用图象表示为（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4cm，点D为AB的中点，则CD＝（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
9．如图，在矩形ABCD中，有以下结论：
①△AOB是等腰三角形；②S△ABO＝S△ADO；③AC＝BD；④AC⊥BD；⑤当∠ABD＝45°时，矩形ABCD会变成正方形．
正确结论的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（　　）

A．4S1 B．4S2 C．4S2+S3 D．3S1+4S3
二、细心填一填（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．函数y＝中自变量x的取值范围是　 　．
12．将点P（﹣3，4）先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得到点Q，则点Q的坐标是　 　．
13．过点P（0，﹣1）且与直线y＝2x+3平行的直线的表达式是　 　
14．已知一等腰三角形有两边长分别是10cm和12cm，则底边上的高为　 　．
15．?ABCD中，若∠A：∠B＝2：3，则∠C＝　 　度，∠D＝　 　度．
16．如图，△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，DE⊥AB于E，且AE＝EB，DE＝DC，则∠B的度数为　 　．

17．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长是　 　．

18．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为　 　（用n表示）．

三、用心做一做（本大题共7个小题，共66分，要求写出证明步骤或解答过程）
19．（9分）在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，
（1）点B关于y轴的对称点坐标为　 　；
（2）请画出△AOB关于原点O成中心对称的图形△A1OB1；
（3）在（2）的条件下，A1的坐标为　 　．

20．（9分）为了提高学生书写汉字的能力．增强保护汉字的意识，我区举办了“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：
组别 成绩x分 频数（人数）
第1组 25≤x＜30 4
第2组 30≤x＜35 6
第3组 35≤x＜40 14
第4组 40≤x＜45 a
第5组 45≤x＜50 10
请结合图表完成下列各题：
（1）求表中a的值；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？

21．（10分）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2．
求证：（1）△ADE≌△BEC
（2）△CDE是直角三角形．

22．（8分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
求证：四边形ADCE为矩形；

23．（9分）某汽车行驶的路程S（km）与时间t（min）的函数关系图．观察图中所提供的信息，解答问题：
（1）汽车在前9分钟内的平均速度是多少？
（2）汽车在中途停了多长时间？
（3）当16≤t≤30时，求S与t的函数关系式．

24．（10分）“五四”期间，小张购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如下表：
型号 进价（元/只） 售价（元/只）
A型 10 12
B型 15 23
（1）设购进A型文具x只，销售利润为w元，求w与x的函数关系式？
（2）要使销售文具所获利润最大，且所获利润不超过进货价格的40%，请你帮小张设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．
25．（11分）如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝100cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤25）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．



参考答案与试题解析
一、细心选一选（将正确答案的序号填在对应的题号下面，本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：C．
2．解：A、∵12+12＝2＝（）2，∴能构成直角三角形，故本选项正确；
B、∵22+32＝25≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
C、∵42+52＝41≠62，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
D、∵62+82＝100≠112，∴不能构成直角三角形，故本选项错误．
故选：A．
3．解：由题意，得
|y|＝3，|x|＝2，
点M到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，且在第二象限，得
x＝﹣2，y＝3，
则点M的坐标是（﹣2，3），
故选：B．
4．解：∵直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（﹣2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，
∴S△AOB＝?OA?OB＝×2×4＝4；
故选：C．
5．解：当k＞0时，函数图象经过一、二、三象限；
当k＜0时，函数图象经过二、三、四象限，故B正确．
故选：B．
6．解：在样本数据中最大值与最小值的差为80，已知组距为9，那么由于＝8，故可以分成9组．
故选：C．
7．解：根据题意可知s＝400﹣100t（0≤t≤4），
∴与坐标轴的交点坐标为（0，400），（4，0）．
要注意x、y的取值范围（0≤t≤4，0≤y≤400）．
故选：C．
8．解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4cm，
∴AB＝2BC＝8cm，
∵点D为AB的中点，
∴CD＝4cm，
故选：B．
9．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝DO＝CO，AC＝BD，故①③正确；
∵BO＝DO，
∴S△ABO＝S△ADO，故②正确；
当∠ABD＝45°时，
则∠AOD＝90°，
∴AC⊥BD，
∴矩形ABCD变成正方形，故⑤正确，
而④不一定正确，矩形的对角线只是相等，
∴正确结论的个数是4个．
故选：C．
10．解：设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，
则S2＝（a+c）（a﹣c）＝a2﹣c2，
∴S2＝S1﹣S3，
∴S3＝2S1﹣2S2，
∴平行四边形面积＝2S1+2S2+S3＝2S1+2S2+2S1﹣2S2＝4S1．
故选：A．
二、细心填一填（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．解：由题意得，x+2≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣2且x≠1．
故答案为：x≥﹣2且x≠1．
12．解：根据题意，知点Q的坐标是（﹣3+2，4﹣3），即（﹣1，1），
故答案为：（﹣1，1）．
13．解：设所求的一次函数解析式为y＝kx+b，
∵直线y＝kx+b与y＝2x+3平行，
∴k＝2，
∵点P（0，﹣1）在直线y＝2x+b上，
∴﹣0+b＝﹣1，解得b＝﹣1，
∴所求的一次函数解析式为y＝2x﹣1．
故答案为y＝2x﹣1．
14．解：作AD⊥BC于D，
当AB＝AC＝10，BC＝12时，BD＝BC＝6，
底边上的高AD＝＝8，
当AB＝AC＝12，BC＝10时，BD＝BC＝5，
底边上的高AD＝＝，
故答案为：8cm或cm．

15．解：根据平行四边形的性质可知，∠A+∠B＝180°，
∵∠A：∠B＝2：3，
∴∠A＝72°，∠B＝108°
∴∠C＝72°，∠D＝108°．
故答案为72，108．
16．解：∵AE＝EB，DE⊥AB，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAE，
∵DE⊥AB，DC⊥AC，DE＝DC，
∴∠DAE＝∠DAC，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°，
故答案为30°．
17．解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝2EF＝2×2＝4，
∴菱形ABCD的周长＝4BC＝4×4＝16．
故答案为16．

18．解：由图可知，n＝1时，4×1+1＝5，点A5（2，1），
n＝2时，4×2+1＝9，点A9（4，1），
n＝3时，4×3+1＝13，点A13（6，1），
所以，点A4n+1（2n，1）．
故答案为：（2n，1）．
三、用心做一做（本大题共7个小题，共66分，要求写出证明步骤或解答过程）
19．解：（1）点B关于y轴的对称点坐标为（﹣3，2）；
（2）如图所示，△A1OB1即为所求；
（3）在（2）的条件下，A1的坐标为（﹣1，﹣3）．
故答案为：（1）（﹣3，2）；（3）（﹣1，﹣3）

20．解：（1）a＝50﹣4﹣6﹣14﹣10＝16；
（2）如图所示：
（3）本次测试的优秀率是：×100%＝52%．

21．证明：（1）∵∠1＝∠2，
∴DE＝CE，
∵∠A＝∠B＝90°，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，

∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；
（2）∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠3＝∠4，
∵∠3+∠5＝90°，
∴∠4+∠5＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴△CDE是直角三角形．

22．证明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．
∴∠ADC＝90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN．
∴∠DAE＝90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC＝90°．
∴四边形ADCE为矩形．
23．解：（1）由图可得，
汽车在前9分钟内的平均速度是：12÷9＝km/min；
（2）由图可得，
汽车在中途停了：16﹣9＝7min，
即汽车在中途停了7min；
（3）设当16≤t≤30时，S与t的函数关系式是S＝at+b，
，得，
即当16≤t≤30时，S与t的函数关系式是S＝2t﹣20．
24．解：（1）由题意可得，
w＝（12﹣10）x+（23﹣15）（100﹣x）＝﹣6x+800
∴w与x之间的函数关系式为w＝﹣6x+800；
（2）由题意可得，
﹣6x+800≤40%[10x+15（100﹣x）]
解得：x≥50
又由（1）得：w＝﹣6x+800，k＝﹣6＜0，
∴w随x的增大而减小
∴当x＝50时，w达到最大值，即最大利润w＝﹣50×6+800＝500元，
此时100﹣x＝100﹣50＝50只
答：购进A型文具50只，B型文具50只时所获利润最大，利润最大为500元．
25．证明：（1）由题意得：AE＝2t，CD＝4t，
∵DF⊥BC，
∴∠CFD＝90°，
∵∠C＝30°，
∴DF＝CD＝×4t＝2t，
∴AE＝DF；
∵DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠B＝90°，
∴DF∥AE，
∴四边形AEFD是平行四边形．
（2）四边形AEFD能够成为菱形，理由是：
由（1）得：AE＝DF，
∵∠DFC＝∠B＝90°，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
若?AEFD为菱形，则AE＝AD，
∵AC＝100，CD＝4t，
∴AD＝100﹣4t，
∴2t＝100﹣4t，
t＝，
∴当t＝时，四边形AEFD能够成为菱形；
（3）分三种情况：
①当∠EDF＝90°时，如图3，
则四边形DFBE为矩形，
∴DF＝BE＝2t，
∵AB＝AC＝50，AE＝2t，
∴2t＝50﹣2t，
t＝，
②当∠DEF＝90°时，如图4，
∵四边形AEFD为平行四边形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，
在Rt△ADE中，∠A＝60°，AE＝2t，
∴AD＝t，
∴AC＝AD+CD，
则100＝t+4t，
t＝20，
③当∠DFE＝90°不成立；
综上所述：当t为或20时，△DEF为直角三角形．