湖南省永州市新田县2017-2018学年八年级（下）期末数学试卷（解析版）

湖南省永州市新田县2017-2018学年八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）
1．下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　）
A．y＝2x B．y＝x+2 C．y＝ D．y＝5（x﹣1）
2．函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≠2 D．x≥2
3．下列命题正确的是（　　）
A．两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形
B．两条对角线互相平分且垂直的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
4．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（　　）

A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
5．如图，EF过?ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若?ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为（　　）

A．14 B．13 C．12 D．10
6．在平面直角坐标系中，已知点P在第四象限，且点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为（　　）
A．（﹣4，3） B．（﹣3，4） C．（4，﹣3） D．（3，﹣4）
7．小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y（米）与时间t（分钟）之间关系的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
8．某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是（　　）
A．正方形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形
9．某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x（kg）与其运费y（元）由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（　　）

A．20 kg B．25 kg C．28 kg D．30 kg
10．如图所示，已知点C（1，0），直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是线段AB，OA上的动点，则△CDE的周长的最小值是（　　）

A．4 B．10 C．4 D．12
二、填空题（共8个小题，每小题4分，共32分）
11．直线y＝﹣2x+1过第　 　象限，且y随x的增大而　 　．
12．学习委员调查本班学生课外阅读情况，对学生喜爱的书籍进行分类统计，其中“古诗词类”的频数为15人，频率为0.3，那么被调查的学生人数为　 　．
13．在平面直角坐标系中，将点P（﹣2，3）向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点Q，则点Q的坐标为　 　．
14．已知，菱形ABCD的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为　 　．
15．一个弹簧不挂重物时长12cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂1kg重物后，弹簧伸长2cm，弹簧总长为y（单位：cm）随所挂重物x（单位：kg）变化的函数解析式为　 　．
16．如图，函数y＝ax（a＞0）和y＝kx+4（k＜0）的图象相交于点A（1，m），则不等式ax≤kx+4的解集为　 　．

17．如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是　 　．

18．如图，在平面直角坐标系中，点A （0，），B（﹣1，0），过点A作AB的垂线交x轴于点A1，过点A1作AA1的垂线交y轴于点A2，过点A2作A1A2的垂线交x轴于点A3……按此规律继续作下去，直至得到点A2019为止，则点A2019的坐标为　 　．

三、解答题（78分）
19．（8分）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣5，2），C（﹣2，1）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出其顶点坐标；
（2）画出将△ABC先向下平移4个单位，再向右平移3单位得到的△A2B2C2，并写出其顶点坐标．

20．（8分）如图，点B，E，C，F在同一直线上，∠A＝∠D＝90°，BE＝FC，AB＝DF． 求证：∠ACB＝∠DEF．

21．（8分）正比例函数y＝kx（k≠0）和一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象都经过点A（1，2），且一次函数的图象交x轴于点B（3，0）．
（1）求正比例函数和一次函数的表达式；
（2）在右图所示的平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图象；
（3）求出△OAB的面积．

22．（10分）为贯彻落实习总书记关于“传承和弘扬中华优秀传统文化”的重要讲话精神，2018年5月27日我市举办了第二届湖南省青少年国学大赛永州复赛．本次比赛全市共有近200所学校4.6万名学生参加．经各校推荐报名、县区初赛选拔、市区淘汰赛的层层选拔，推选出优秀的学生参加全省的总决赛．下面是某县初赛时选手成绩的统计图表（部分信息未给出）．
频数分布表
成绩 频数 频率
90≤x＜105 10 m
105≤x＜120 15 0.3
120≤x＜135 n 0.4
135≤x＜150 5 0.1
请根据图表信息回答下列问题：
（1）在频数分布表中，m＝　 　，n＝　 　．
（2）请将频数直方图补充完整；
（3）若测试成绩不低于120分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？

23．（10分）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．
（1）求证：PM＝PN；
（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．

24．（10分）一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利情况如表所示：
销售方式 粗加工后销售 精加工后销售
每吨获利（元） 1000 2000
已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行．受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完．
（1）如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？
（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工．
①试求出销售利润W元与精加工的蔬菜吨数m之间的函数关系式；
②若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多获得多少利润？此时如何分配加工时间？
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣分别交x，y轴于A，B两点，C为线段AB的中点，D（t，0）是线段OA上一动点（不与A点重合），射线BF∥x轴，延长DC交BF于点E．
（1）求证：AD＝BE；
（2）连接BD，记△BDE的面积为S，求S关于t的函数关系式；
（3）是否存在t的值，使得△BDE是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

26．（12分）【问题】如图甲，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．
【探究】解题思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，如图乙所示，连接PP′．
（1）△P′PB是　 　三角形，△PP′A是　 　三角形，∠BPC＝　 　°；
（2）利用△BPC可以求出△ABC的边长为　 　．
【拓展应用】
如图丙，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，BP＝，PC＝1；
（3）求∠BPC度数的大小；
（4）求正方形ABCD的边长．



参考答案与试题解析
一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）
1．解：A、y是x的正比例函数，故此选项正确；
B、是一次函数，故此选项错误；
C、是反比例函数，故此选项错误；
D、是一次函数，故此选项错误；
故选：A．
2．解：由题意，得
x﹣2≠0，
解得x≠2，
故选：C．
3．解：A、两条对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，是假命题；
B、两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是假命题；
C、两条对角线互相平分且垂直且相等的四边形是正方形，是假命题；
D、角平分线上的点到角两边的距离相等，是真命题；
故选：D．
4．解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，
∴AB2＝0.72+2.42＝6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2，
∴BD2+22＝6.25，
∴BD2＝2.25，
∵BD＞0，
∴BD＝1.5米，
∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2米．
故选：C．

5．解：∵四边形ABCD是平行四边形，周长为18，
∴AB＝CD，BC＝AD，OA＝OC，AD∥BC，
∴CD+AD＝9，∠OAE＝∠OCF，
在△AEO和△CFO中，，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OE＝OF＝1.5，AE＝CF，
则EFCD的周长＝ED+CD+CF+EF＝（DE+CF）+CD+EF＝AD+CD+EF＝9+3＝12．
故选：C．
6．解：因为点P在第四象限，且点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，
所以点P的坐标为（3，﹣4），
故选：D．
7．解：根据题中信息可知，相同的路程，跑步比漫步的速度快；在一定时间内没有移动距离，则速度为零．故小华的爷爷跑步到公园的速度最快，即单位时间内通过的路程最大，打太极的过程中没有移动距离，因此通过的路程为零，还要注意出去和回来时的方向不同，故B符合要求．
故选：B．
8．解：A、正方形的每个内角是90°，90°×2+60°×3＝360°，∴能密铺；
B、正六边形每个内角是120°，120°+60°×4＝360°，∴能密铺；
C、正八边形每个内角是180°﹣360°÷8＝135°，135°与60°无论怎样也不能组成360°的角，∴不能密铺；
D、正十二边形每个内角是150°，150°×2+60°＝360°，∴能密铺．
故选：C．
9．解：设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
由题意可知，
解得，
所以函数关系式为y＝30x﹣600，
当y＝0时，即30x﹣600＝0，所以x＝20．
故选：A．
10．解：作点C关于y轴的对称点C'，作点C关于y＝﹣x+7的对称点C''，连接C'C''，则△CDE的周长的最小值为C'C''的长；
∵C（1，0），
∴C'（﹣1，0），
设C''（m，n），则有
＝﹣+7，＝1，
∴m＝7，n＝6，
∴C''（7，6），
∴C'C''＝10；
故选：B．
二、填空题（共8个小题，每小题4分，共32分）
11．解：直线y＝﹣2x+1过第一、二、四象限，且y随x的增大而减小，
故答案为：一、二、四；减小．
12．解：设被调查的学生人数为x，
∴＝0.3，
∴x＝50，
故答案为：50
13．解：将点P（﹣2，3）向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点Q，则点Q的坐标为（﹣1，1）．
故答案为（﹣1，1）．
14．解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠DAB+∠B＝180°，
∵AE＝1，AE⊥BC，
∴AE＝AB，
∴∠B＝30°，
∴∠DAB＝150°，
∴∠DAB：∠B＝5：1
故答案为：5：1（或1：5）

15．解：∵挂上1kg的物体后，弹簧伸长2cm，
∴挂上xkg的物体后，弹簧伸长2xcm，
∴弹簧总长y＝2x+12．
故答案为：y＝2x+12．
16．解：由图可知，不等式ax≤kx+4的解集为x≤1；
故答案为：x≤1
17．解：连接O1B、O1C，如图：
∵∠BO1F+∠FO1C＝90°，∠FO1C+∠CO1G＝90°，
∴∠BO1F＝∠CO1G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠O1BF＝∠O1CG＝45°，
在△O1BF和△O1CG中

∴△O1BF≌△O1CG（ASA），
∴O1、O2两个正方形阴影部分的面积是S正方形，
同理另外两个正方形阴影部分的面积也是S正方形，
∴S阴影部分＝S正方形＝2．
故答案为：2．

18．解：∵A（0，）、B（﹣1，0），
∴AB⊥AA1，
∴A1的坐标为：（3，0），
同理可得：A2的坐标为：（0，﹣3），A3的坐标为：（﹣9，0），
…
∵2019÷4＝504…3，
∴点A2019横坐标为﹣3×，即：﹣31010，
点A2019坐标为（﹣31010，0），
故答案为：（﹣31010，0）．
三、解答题（78分）
19．解：（1）△A1B1C1如图所示．A1（3，4），B1（5，2），C1（2，1）
（2）△A2B2C2如图所示．A2（0，0），B2（﹣2，2），C2（1，﹣3）．

20．证明：∵∠A＝∠D＝90°，

∴△ABC和△DEF都是直角三角形；
∵BE＝FC，
∴BE+EC＝FC+EC 即BC＝EF；
在Rt△ABC和Rt△DFE中，

∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠ACB＝∠DEF．
21．解：（1）把A（1，2）代入y＝kx中，得k＝2，
所以正比例函数的表达式为y＝2x．
把A（1，2），B（3，0）代入y＝ax+b中，得
解得：，
所以一次函数的表达式为y＝﹣x+3；
（2）如图所示．

（3）S△AOB＝．
22．解：（1）本次调查的人数为：15÷0.3＝50，
m＝10÷50＝0.1，
n＝50×0.4＝20，
故答案为：0.1，20；
（2）由（1）知，n＝20，
补全完整的频数分布直方图如右图所示；
（3）（0.4+0.1）×100%＝50%，
答：本次测试的优秀率是50%．

23．（1）证明：连接MN，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD∥BC，AD＝BC，
∵M、N分别是AD、BC的中点，
∴AM＝DM＝AD，BN＝CN＝BC，
∴AM＝BN，
∴四边形AMNB是平行四边形，
∴平行四边形AMNB是矩形，
∴∠MNB＝90°，
∵P是BM的中点，
∴PN＝BM＝PM；
（2）四边形MPNQ是菱形；理由如下：
解：∵DM∥BN，DM＝BN，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∴BM∥ND，BM＝ND，
又∵P、Q分别是BM、DN的中点，
∴PM＝NQ，
∴四边形MPNQ是平行四边形，
由（1）得PM＝PN，
∴四边形MPNQ时菱形．

24．解：（1）设应安排x天进行精加工，y天进行粗加工，
根据题意得，
解得，
答：应安排4天进行精加工，8天进行粗加工．
（2）①精加工m吨，则粗加工（140﹣m）吨，根据题意得：
W＝2000m+1000（140﹣m）
＝1000m+140000；
②∵要求在不超过10天的时间内将所有蔬菜加工完，
∴+≤10，
解得：m≤5
∴0≤m≤5，
又∵在一次函数W＝1000m+140000中，k＝1000＞0，
∴W随m的增大而增大，
∴当m＝5时，W最大＝1000×5+140000＝145000．
∴精加工天数为5÷5＝1，
粗加工天数为（140﹣5）÷15＝9．
∴安排1天进行精加工，9天进行粗加工，可以获得最多利润为145000元．
25．（1）证明：∵射线BF∥x轴，
∴∠EBC＝∠DAC，∠CEB＝∠CDA，
又∵C为线段AB的中点，
∴BC＝AC，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD；
（2）解：在直线y＝﹣中，
令x＝0，则y＝3，
令y＝0，则x＝4，
∴A点坐标为（4，0），B点坐标为（0，3），
∵D点坐标为（t，0），
∴AD＝4﹣t＝BE．
∴S△BDE＝S＝BE?yB＝（4﹣t）×3＝﹣t+6（0≤t＜4）；
（3）当BD＝BE时，
在Rt△OBD中，∠BOD＝90°，
由勾股定理得：OB2+OD2＝DB2，
即32+t2＝（4﹣t）2
解得：t＝．
当BD＝DE时，
过点E作EM⊥x轴于M，
∴∠BOD＝∠EMD＝90°，
∵BF∥OA，
∴OB＝ME
∴Rt△OBD≌Rt△MED（HL），
∴DM＝OD＝t
由OM＝BE得：2t＝4﹣t 解得：t＝
综上所述，当t＝或时，使得△BDE是以BD为腰的等腰三角形．

26．解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
将△BPC绕点B顺时针旋转60°得出△ABP′，
∴AP′＝CP＝1，BP′＝BP＝，∠PBC＝∠P′BA，∠AP′B＝∠BPC，
∵∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，
∴∠ABP′+∠ABP＝∠ABC＝60°，
∴△BPP′是等边三角形，
∴PP′＝，∠BP′P＝60°，
∵AP′＝1，AP＝2，
∴AP′2+PP′2＝AP2，
∴∠AP′P＝90°，则△PP′A是 直角三角形；
∴∠BPC＝∠AP′B＝90°+60°＝150°；
（2）过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，
∴∠MP′B＝30°，BM＝，
由勾股定理得：P′M＝，
∴AM＝1+＝，
由勾股定理得：AB＝＝，
故答案为：（1）等边；直角；150；；
（3）将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，
与（1）类似：可得：AE＝PC＝1，BE＝BP＝，∠BPC＝∠AEB，∠ABE＝∠PBC，
∴∠EBP＝∠EBA+∠ABP＝∠ABC＝90°，
∴∠BEP＝（180°﹣90°）＝45°，
由勾股定理得：EP＝2，
∵AE＝1，AP＝，EP＝2，
∴AE2+PE2＝AP2，
∴∠AEP＝90°，
∴∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°；
（4）过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F；
∴∠FEB＝45°，
∴FE＝BF＝1，
∴AF＝2；
∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB＝；
∴∠BPC＝135°，正方形边长为．
答：（3）∠BPC的度数是135°；
（4）正方形ABCD的边长是．