《平面向量基本定理》教学设计
一、教材分析
教材用具体例子引出了定理，意在培养学生的观察、抽象、概括能力。在平面上任一向量都可唯一的表示为两个不共线向量的线性组合。对于平面上的向量，任意一组不共线向量都可作为基底。平面向量基本定理是平面向量坐标表示的依据。对于定理的证明教材作为选学内容出现，意在降低要求。但证明存在性、唯一性的方法，既要证明存在性，又要证明唯一性，可以介绍给学生。作为定理的应用，教材安排了例1、例2两个例题，给出了直线的向量参数方程式，以及线段中点的向量表达式。
二、教学基本条件分析
1．学生条件：学生有较好的数学基础和数学理解能力，喜欢思考，乐于探究。
2．前期内容准备：前期学生刚刚学习了平面向量的加法、减法、数乘运算，以及向量共线的条件。
3．教学媒体条件：支持幻灯片及投影展示。
三、教学内容分析
本节课的主要内容是平面向量基本定理，平面向量基本定理的应用
1．教学重点：平面向量基本定理的应用
2．教学难点：对平面向量基本定理的理解
知识与技能目标：了解平面向量基本定理的条件和结论，会用它来表示平面的任一向量，为向量坐标化打下基础；
过程与方法目标：通过平面向量基本定理的学习过程，让学生体验数学定理的产生、成过程，体验定理所蕴涵的数学思想方法；
情感态度与价值观目标：通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识,让学生进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一，培养学生的精神。
3．教学媒体条件：支持幻灯片展示。
四、教学方法
本节内容是在学习了平面向量先行运算的基础上，进一步学习向量的坐标运算的基础。教学中引导学生联系已有知识，在平面向量基本定理的教学中，采用让学生观察、抽象、概括的方式，自主得出定理；在定理的运用中，引导学生分析思路，总结规律，体验解题方法。
五、教学过程设计
（一）音频、图片引入，出示课题
（板书课题）
【设计意图】：激发学生兴趣，引出课题。
（二）逐层深化，定理形成
温故而知新：平行向量基本定理：
【设计意图】：回顾平行向量基本定理内容，引导学生发现在一维线性关系中数与形的完美结合，为下一步探索和理解平面向量基本定理做铺垫。
探究点1：平面向量基本定理
如图，是同一平面内两个不共线的向量，用表示出：
+ + +
总结 —— 一般性结论
平面向量基本定理：
【设计意图】：让学生通过自主探索，自主发现向量按不共线两向量基线分解的存在性和唯一性，学生通过动手探索发现平面向量基本定理。在学生动手过程中，经历探究和发现，通过不断完善自己的思维过程，体会探究的乐趣。
（通过微课视频对定理进行严谨的证明）
【设计意图】：根据教参要求，对于定理的证明作为选学内容出现，意在降低要求，因此只需介绍给学生。选择微课形式，激发学生兴趣，提升学生学习欲望。
进一步理解定理：
（要求学生动手做出同一向量按不同两组不共线向量向量方向分解）
【设计意图】：通过让学生动手自主发现基底的不唯一性。教师板书平面向量基本定理，再次引导学生发现，定理是二维角度阐述向量之间的关系，同时发现定理的内容又将数与形完美的结合在一起。
定理理解：
1．判断下列说法哪些是错误的：
（1）平面内存在着一对共线向量可以作为该平面内所有向量的基底;
（2）平面向量的任何一组基底都是一对不共线的向量;
（3）平面内只有一对不共线的向量可以作为表示该平面所有向量的基底;
（4）只要是平面内的一对不共线向量, 就可以成为该平面内所有向量的基底;
（5）零向量不可作为平面向量基底中的向量.
2.已知不共线，实数满足，则的值等于( )
总结：
【设计意图】：通过练习深刻理解定理内容，使学生的思维得到发散，提高学生的解题能力。
（三）应用举例
探究点2：平面向量基本定理的应用
例1.如图平行四边形的两条对角线交于点，且=，=，用，表示，，和.
总结：
【设计意图】：应用定理解决问题，为下一环节作铺垫。
（四）逐层深化，知识延伸
探究点3：直线的向量参数方程式
例2. 中，为直线上一点，在下列条件下，把用基底来表示:
(1）；
(2)；
(3)
【设计意图】：学生应用平面向量基本定理解决问题，并通过自主探索发现基底系数的关系，由特殊推出一般结论，同时由(3)自主发现随t取遍所以实数点P可取直线AB上任一点，由此得出直线向量参数方程。并由一般到特殊得出线段中点的向量表达式。体现特殊到一般，再有一般到特殊，并且渗透转化的思想。
反馈练习：
3.中，已知是边上一点，若，则
总结：
【设计意图】：让学生初步感受向量参数方程在解题中的应用，通过练习使学生的思维得到发散，提高学生的解题能力。体现一般到特殊。
（五）学以致用， 当堂训练
当堂检测：
1.设是同一平面内的两个向量，则有( )
A. 一定平行； B. 的模相等；
C. 同一平面内的任一向量都有；
D. 若不共线，则同一平面内的任一向量都有.
2.如图，已知用表示,则等于（ ）
A. B. C. D.
【设计意图】：让学生初步感受平面向量基本定理在解题中的应用，通过检测，检查学生课堂效率及落实情况。
（六）总结升华
本课总结：
通过本节课的学习，你在知识、数学思想方法等方面有哪些收获?
学生活动，教师进行简要的概括和升华。
【设计意图】：通过小结，理清思路，归纳总结，更好的掌握知识技能，理解数学思想方法，提高解决问题的经验．
（七）学以致用，课后巩固落实
【课后作业】
1.（ ）已知、不共线，且，若与共线，则 .
2、（ ）如图，已知、分别是三边上的点，且如果，选择基底，写出向量在此基底下的分解式.
（ ）中，点满足.若存在实数使得成立，则 .
4、（ ）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，求的值．
【设计意图】：通过分层作业，让学生巩固本节课所学习的内容.
六、板书设计
七、 课后反思
在设计这节课之前，我思考的主要问题有两个：一是如何引入，二是“平面向量基本定理”如何呈现出来
首先得到解决的是第二个问题，“自主探究式”的方向很快被确定下来，那么又怎样探究呢？我查了相关资料，在借鉴同行做法的基础上，主要结合自己的教学风格和学生的特点形成了教学设计中的处理方式。
然后就是解决引入的问题，教学设计中的处理方式的形成主要基于以下三方面的考虑：一、定理内容不难，但是要让学生发现存在性和唯一性两方面，所以选择让学生自主探索发现。二、文字不多但信息量大，考查学生的阅读理解能力；三、音频、图片引入，让学生有一种别样的感觉，引起学生兴趣。
事实上，课后我发现，这种“非文字方式”引入，很能调动学生热情，引人入胜，加上教师表情语言的配合，收到了很好的效果。
此外，环环相扣的引导式学生自主动手的设计也使得学生在探索精神和思维水平上得到了提升，作业分层设置教师得意之作。
教学设计在实施后发现，让学生探究的过程中教师还是可以放得再开一些，给学生的空间再大一点。
八、 效果评价
这节课从总体上激发了学生主动参与课堂的愿望，激发了学生探究发现的兴趣，引导学生自主动手探索，有利于学生学习能力的提高。
课件23张PPT。 相逢是歌 相聚是缘
同学们好！平面向量基本定理
2019年7月26日星期五平行向量基本定理：温故而知新：一维直线：数形结合思想
2344（- 4）探究点1.平面向量基本定理-
4（- 4）-423e1e21、共起点2、画基线MN3、作平行向量分解的步骤猜想任一向量的表示式？平面向量基本定理： 深化对定理的理解：进一步理解定理：平面向量的基底唯一吗？(3) 基底具有不唯一性.牛刀小试（1），（3）A探究点2.平面向量基本定理的应用方法总结：同起点，用基底平面向量基本定理的进一步应用：例2的再探究：探究点3.直线的向量参数方程(1) 起点相同；(2) 终点共线；(3) 系数和为1.直线的向量参数方程:反馈练习：当堂检测：DB分享你的收获吧！知 识：思想方法：总结谢谢！
十载基石铸造成功阶梯三年拼搏铺就锦绣前程《平面向量基本定理》评测练习
探究点1：平面向量基本定理
如图，是同一平面内两个不共线的向量，用表示出：
+ + +
总结 —— 一般性结论
平面向量基本定理：
进一步理解定理：
（要求学生动手做出同一向量按不同两组不共线向量向量方向分解）
定理理解：
1．判断下列说法哪些是错误的：
（1）平面内存在着一对共线向量可以作为该平面内所有向量的基底;
（2）平面向量的任何一组基底都是一对不共线的向量;
（3）平面内只有一对不共线的向量可以作为表示该平面所有向量的基底;
（4）只要是平面内的一对不共线向量, 就可以成为该平面内所有向量的基底;
（5）零向量不可作为平面向量基底中的向量.
2.已知不共线，实数满足，则的值等于( )
总结：
探究点2：平面向量基本定理的应用
例1.如图平行四边形的两条对角线交于点，且=，=，用，表示，，和.
总结：
探究点3：直线的向量参数方程式
例2. 中，为直线上一点，在下列条件下，把用基底来表示:
(1）；
(2)；
(3)
反馈练习：
3.中，已知是边上一点，若，则
当堂检测：
1.设是同一平面内的两个向量，则有( )
A. 一定平行； B. 的模相等；
C. 同一平面内的任一向量都有；
D. 若不共线，则同一平面内的任一向量都有.
2.如图，已知用表示,则等于（ ）
A. B. C. D.
