22.4.1 位似图形学案(要点讲解+当堂检测+答案)
文档属性
| 名称 | 22.4.1 位似图形学案(要点讲解+当堂检测+答案) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-10 15:21:09 | ||
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文档简介
沪科版数学九年级上册同步学案
第二十二章 相似形
22.4 图形的位似变换
第1课时 位似图形
要 点 讲 解
要点一 位似图形的概念
如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线交于一点，这样的相似变换叫做位似变换，这样的两个多边形叫做位似图形，每组对应顶点的连线都经过的点叫做位似中心.
经典例题1 如图所示，指出下列各组图形：(1)中指两个三角形，(2)中指内、外两层花瓣，(4)中指两个矩形，它们是不是位似图形？若是，指出位似中心.
解析：根据位似图形的定义判断，位似图形不仅是相似图形，而且每对对应点所在直线相交于同一点.
答案：(1)(2)(4)中的两个图形都是位似图形，位似中心分别为点A，P，O；(3)中的两个图形不是位似图形.
点拨：位似图形是具有特殊位置关系的相似图形，因而判断是否为位似图形，首先要看它们是否相似，再看对应点连线是否经过同一点.
要点二 位似图形的性质
位似图形除了具有相似图形的性质外，还有以下性质：
1. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；
2. 不经过位似中心的对应线段互相平行.
经典例题2 如图所示，五边形ABCDE与五边形A′B′C′-D′E′是位似图形，且＝.若五边形ABCDE的面积为17cm2，周长为20cm，求五边形A′B′C′D′E′的面积和周长.
解析：利用位似比等于相似比、周长之比等于相似比、面积之比等于相似比的平方来求解.
解：∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，
∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′.
由＝得＝.
∴＝()2，∴＝.
又∵五边形ABCDE的面积为17cm2，周长为20cm，∴五边形A′B′C′D′E′的面积为cm2，周长为10cm.
点拨：本例主要应用位似图形是特殊的相似图形这一性质，将位似多边形转化为相似多边形，再应用相似多边形的性质列比例式求解.
要点三 位似图形的画法
画位似图形的步骤如下：①确定位似中心；②作过图形上各点与位似中心的射线；③按位似比取点；④顺次连接各点.所得的图形就是所求作的图形.
经典例题3 画一个三角形，使它与已知△ABC位似(如图)，且原三角形与所画三角形的位似比为3∶1.
解：作法一：(平行截取法)在AB上取一点D，使AD＝AB，过点D作DE∥BC，交AC于点E，则△ADE即为所求，如图(1).
作法二：(反向延长法)延长CA到点C′，使得AC′＝AC，延长BA到点B′，使得AB′＝AB，则△AB′C′即为所求，如图(2).
作法三：(位似图形法)任取一点O，连接OA，OB，OC.取OA，OB，OC的三等分点A′，B′，C′(靠近O的点)，连接A′B′，B′C′，C′A′，则△A′B′C′即为所求，如图(3).
点拨：本题作图方法很多，注意这几种画法要根据题目的要求进行选择.
易错易混警示 对位似图形的定义理解不透彻而致错
经典例题4 如图所示，在正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上顺次截取AA′＝BB′＝CC′＝DD′，连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，根据所学知识可以知道四边形A′B′C′D′是正方形，且正方形A′B′C′D′∽正方形ABCD，其中点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′，点D与点D′为对应顶点，那么这两个正方形是位似图形吗？如果是，请找出其位似中心；如果不是，请说明理由.
解析：两个图形是位似图形的条件是：(1)它们是相似图形；(2)两个图形的对应点所在直线相交于一点，即位似中心.本题中的两个正方形虽然是相似图形，但无论顶点间是怎样的对应关系，其对应点所在直线都不能交于同一点.如图甲所示，可知当点A与A′，B与B′，C与C′，D与D′对应或点A与D′，B与A′，C与B′，D与C′对应时，对应顶点所在直线的交点为大正方形的四个顶点；如图乙中(1)所示，当点A与B′，B与C′，C与D′，D与A′对应时，对应顶点所在直线的交点为一个正方形的四个顶点；如图乙中(2)所示，当点A与C′，B与D′，C与A′，D与B′对应时，对应顶点所在直线的交点为一个正方形的四个顶点.以上对应顶点所在直线不相交于同一点，因此它们不是位似图形.
解：这两个正方形不是位似图形.理由如下：
因为它们对应顶点所在直线的交点不是同一点，所以不是位似图形.
点拨：理解位似图形的定义时应明确两点：(1)两图形相似；(2)对应点的所在直线交于一点.
当 堂 检 测
1. 下列各组图形中，是位似图形的有( )
A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
2. 如图，五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，且PA1＝PA，则AB∶A1B1等于( )
A. B. C. D.
第2题 第3题
3. 如图，已知△ABC，任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F得△DEF，有下列说法：①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长之比为2∶1；④△ABC与△DEF面积比为4∶1.其中正确的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 下列关于位似中心的说法：①位似中心都在图形的外部；②位似中心可以取在图形的内部；③位似中心可以取在图形的一边上；④位似中心可以取在图形的一个顶点上.其中正确的有 (填序号).
5. 如图，位似图形是由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2∶5，且三角尺的一边长为8cm，则投影三角形的对应边长为 .
6. 如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且相似比是1∶2，若AB＝2cm，求A′B′的长，并请在图中画出位似中心O.
当堂检测参考答案
1. D 2. B 3. D
4. ②③④
5. 20cm
第二十二章 相似形
22.4 图形的位似变换
第1课时 位似图形
要 点 讲 解
要点一 位似图形的概念
如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线交于一点，这样的相似变换叫做位似变换，这样的两个多边形叫做位似图形，每组对应顶点的连线都经过的点叫做位似中心.
经典例题1 如图所示，指出下列各组图形：(1)中指两个三角形，(2)中指内、外两层花瓣，(4)中指两个矩形，它们是不是位似图形？若是，指出位似中心.
解析：根据位似图形的定义判断，位似图形不仅是相似图形，而且每对对应点所在直线相交于同一点.
答案：(1)(2)(4)中的两个图形都是位似图形，位似中心分别为点A，P，O；(3)中的两个图形不是位似图形.
点拨：位似图形是具有特殊位置关系的相似图形，因而判断是否为位似图形，首先要看它们是否相似，再看对应点连线是否经过同一点.
要点二 位似图形的性质
位似图形除了具有相似图形的性质外，还有以下性质：
1. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；
2. 不经过位似中心的对应线段互相平行.
经典例题2 如图所示，五边形ABCDE与五边形A′B′C′-D′E′是位似图形，且＝.若五边形ABCDE的面积为17cm2，周长为20cm，求五边形A′B′C′D′E′的面积和周长.
解析：利用位似比等于相似比、周长之比等于相似比、面积之比等于相似比的平方来求解.
解：∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，
∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′.
由＝得＝.
∴＝()2，∴＝.
又∵五边形ABCDE的面积为17cm2，周长为20cm，∴五边形A′B′C′D′E′的面积为cm2，周长为10cm.
点拨：本例主要应用位似图形是特殊的相似图形这一性质，将位似多边形转化为相似多边形，再应用相似多边形的性质列比例式求解.
要点三 位似图形的画法
画位似图形的步骤如下：①确定位似中心；②作过图形上各点与位似中心的射线；③按位似比取点；④顺次连接各点.所得的图形就是所求作的图形.
经典例题3 画一个三角形，使它与已知△ABC位似(如图)，且原三角形与所画三角形的位似比为3∶1.
解：作法一：(平行截取法)在AB上取一点D，使AD＝AB，过点D作DE∥BC，交AC于点E，则△ADE即为所求，如图(1).
作法二：(反向延长法)延长CA到点C′，使得AC′＝AC，延长BA到点B′，使得AB′＝AB，则△AB′C′即为所求，如图(2).
作法三：(位似图形法)任取一点O，连接OA，OB，OC.取OA，OB，OC的三等分点A′，B′，C′(靠近O的点)，连接A′B′，B′C′，C′A′，则△A′B′C′即为所求，如图(3).
点拨：本题作图方法很多，注意这几种画法要根据题目的要求进行选择.
易错易混警示 对位似图形的定义理解不透彻而致错
经典例题4 如图所示，在正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上顺次截取AA′＝BB′＝CC′＝DD′，连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，根据所学知识可以知道四边形A′B′C′D′是正方形，且正方形A′B′C′D′∽正方形ABCD，其中点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′，点D与点D′为对应顶点，那么这两个正方形是位似图形吗？如果是，请找出其位似中心；如果不是，请说明理由.
解析：两个图形是位似图形的条件是：(1)它们是相似图形；(2)两个图形的对应点所在直线相交于一点，即位似中心.本题中的两个正方形虽然是相似图形，但无论顶点间是怎样的对应关系，其对应点所在直线都不能交于同一点.如图甲所示，可知当点A与A′，B与B′，C与C′，D与D′对应或点A与D′，B与A′，C与B′，D与C′对应时，对应顶点所在直线的交点为大正方形的四个顶点；如图乙中(1)所示，当点A与B′，B与C′，C与D′，D与A′对应时，对应顶点所在直线的交点为一个正方形的四个顶点；如图乙中(2)所示，当点A与C′，B与D′，C与A′，D与B′对应时，对应顶点所在直线的交点为一个正方形的四个顶点.以上对应顶点所在直线不相交于同一点，因此它们不是位似图形.
解：这两个正方形不是位似图形.理由如下：
因为它们对应顶点所在直线的交点不是同一点，所以不是位似图形.
点拨：理解位似图形的定义时应明确两点：(1)两图形相似；(2)对应点的所在直线交于一点.
当 堂 检 测
1. 下列各组图形中，是位似图形的有( )
A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
2. 如图，五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，且PA1＝PA，则AB∶A1B1等于( )
A. B. C. D.
第2题 第3题
3. 如图，已知△ABC，任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F得△DEF，有下列说法：①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长之比为2∶1；④△ABC与△DEF面积比为4∶1.其中正确的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 下列关于位似中心的说法：①位似中心都在图形的外部；②位似中心可以取在图形的内部；③位似中心可以取在图形的一边上；④位似中心可以取在图形的一个顶点上.其中正确的有 (填序号).
5. 如图，位似图形是由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2∶5，且三角尺的一边长为8cm，则投影三角形的对应边长为 .
6. 如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且相似比是1∶2，若AB＝2cm，求A′B′的长，并请在图中画出位似中心O.
当堂检测参考答案
1. D 2. B 3. D
4. ②③④
5. 20cm