参考答案
1. A 2. B 3. A 4. D 5. B 6. C 7. B 8. C 9. B 10. D 11. A 12. B
13. 36
14. －5
15. 3
16. 2
17. 2∶3
18. (2，3)或(－2，－3)
19. (4，2)
20. 答案不唯一，如∠B＝∠DEF或∠ACB＝∠F或AB∥DE或AC∥DF
21.
22. (，0)或(，0)或(9，0)
23. 解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求.
(2)如图所示，△A2B2C即为所求，点A2的坐标为(－2，－2).
24. 解：(1)设矩形地砖的长为acm，宽为bcm，由题意可知4b＝60，即b＝15.∵a＋b＝60，∴a＝60－b＝45.答：矩形地砖的长为45cm，宽为15cm.
(2)不相似.理由：∵所铺成的矩形地面的长为2a＝2×45＝90(cm)，宽为60cm，∴＝＝，而＝＝，≠，即所铺成的矩形地面的长与宽和地砖的长与宽不成比例，∴它们不相似.
25. 证明：在?ABCD中，∠B＝∠D，AD＝BC，又∵∠AMB＝∠AND＝90°，∴Rt△AMB∽Rt△AND，∴＝＝.又∵AB∥CD，AN⊥CD，∴AN⊥AB.∴∠BAM＋∠MAN＝∠BAM＋∠B＝90°，∴∠B＝∠MAN，∴△AMN∽△BAC，∴＝.
26. 解：(1)相似.理由如下：∵EC∥AB，∴∠A＝∠DEC.又∵EB∥DC，∴∠AEB＝∠D，∴△ABE∽△ECD.
(2)由(1)可知△ABE∽△ECD，∴()2＝＝，∴＝.又∵S△ECD＝1，S△ABE＝3，AB∥CE，∴＝＝，∴S△BCE＝＝.
27. 证明：(1)∵∠BGD＝∠C，∠DBG＝∠EBC，∴△BGD∽△BCE，∴＝，∴BD·BC＝BG·BE.
(2)∵∠BAD＝∠C，∠ABD＝∠CBA，∴△BAD∽△BCA，∴＝，∴BA2＝BC·BD.由(1)可知BD·BC
沪科版数学九年级上册第二十二章《相似形》
复习巩固专讲专练
章 末 知 识 复 习
类型一 相似三角形性质的实际应用
要点简介：1. 用平行线判定的三角形相似；2. 相似三角形的性质.
经典例题1 小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如图(1)所示，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同，此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m(点A，E，C在同一直线上).
已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB(结果精确到0.1m).
解：如图(2)所示，过点D作DG⊥AB，分别交AB，EF于点G，H，则EH＝AG＝CD＝1.2m，DH＝CE＝0.8m，DG＝CA＝30m.
由题意知，FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5(m).
∵EF∥AB，∴＝.
∴＝，解得BG＝18.75.
∴AB＝BG＋AG＝18.75＋1.2＝19.95≈20.0(m).
∴楼高AB约为20.0m.
点拨：利用相似三角形的性质解决实际问题是中考常考内容.解决此类问题关键要找到相似三角形的对应角和对应边，根据对应边成比例求解.
类型二 位似作图及位似变换
要点简介：1. 位似变换；2. 位似图形的性质；3. 位似作图.
经典例题2 在如图所示的方格纸中，△OAB的顶点分别为O(0，0)，A(－2，－1)，B(－1，－3)，△O1A1B1与△OAB是以点P为位似中心的位似图形.
(1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P及点B的对应点B1的坐标；
(2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出与△OAB位似的△OA2B2，使它与△OAB对应边的比为2∶1，并写出点B的对应点B2的坐标；
(3)△OAB内部一点M的坐标为(a，b)，写出M在△OA2B2中的对应点M2的坐标.
解析：(1)各对应点所连线段所在直线的交点即为位似中心P，根据图形可直接写出点B的对应点B1的坐标.(2)根据位似变换的知识，找出变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点，写出点B的对应点B2的坐标即可.(3)根据位似变换的性质可求得点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标.
解：(1)点P的位置如图，点P及点B的对应点B1的坐标分别为：(－5，－1)，(3，－5).
(2)如图，点B2的坐标为(－2，－6).
(3)点M2的坐标为(2a，2b).
类型三 相似三角形的性质与判定的综合应用
要点简介：1. 相似三角形的判定；2. 相似三角形的性质.
经典例题3 已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图①所示)或线段AB的延长线(如图②所示)于点P.
(1)当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；
(2)当△PQB为等腰三角形时，求AP的长.
图① 图②
解析：(1)由∠AQP＝∠ABC＝90°，∠A＝∠A，根据“两角对应相等的两个三角形相似”易证△AQP∽△ABC.(2)△PQB为等腰三角形，有两种情况，需要分类讨论：①当点P在线段AB上时，如图①所示，由△AQP∽△ABC，根据对应边成比例，可计算出AP的长；②当点P在线段AB的延长线上时，如图②所示，利用角之间的关系，可证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP的长.
解：(1)证明：∵PQ⊥AC，∴∠AQP＝90°.
又∵∠ABC＝90°，∴∠AQP＝∠ABC.又∵∠A＝∠A，∴△AQP∽△ABC.
(2)在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，由勾股定理，得AC＝5.
①当点P在线段AB上时，如图①所示.
∵∠BPQ＝∠A＋∠AQP＝∠A＋90°，
∴∠BPQ为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝PQ.
由(1)可知△AQP∽△ABC，∴＝，即＝，解得PB＝.
∴AP＝AB－PB＝3－＝.
②当点P在线段AB的延长线上时，如图②所示.
∵∠PBQ为钝角，∴BP＝BQ，∴∠BQP＝∠P.
∵∠BQP＋∠AQB＝90°，∠A＋∠P＝90°，
∴∠AQB＝∠A，∴BQ＝AB，∴AB＝BP，
∴点B为线段AP的中点，∴AP＝2AB＝2×3＝6.
综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6.
点拨：本题考查相似三角形及分类讨论的数学思想，难度不大.在第(2)问的第一种情况中，解题的突破口是确定∠BPQ为钝角，△PQB为等腰三角形时，只能是PB＝PQ.
综 合 检 测
一、选择题
1. 已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA＝3AB，则线段CA与线段CB的比为( )
A. 3∶4 B. 2∶3 C. 3∶5 D. 1∶2
2. 某机器零件在图纸上的长度是21mm，它的实际长度是630mm，则图纸的比例尺是( )
A. 1∶20 B. 1∶30 C. 1∶40 D. 1∶50
3. 如图，三个矩形中，相似的是( )
A. 甲和丙 B. 甲和乙 C. 乙和丙 D. 甲、乙和丙
4. 若＝，则的值为( )
A. 1 B. C. D.
5. 若b是a，c的比例中项，且a∶b＝7∶3，则b∶c的值是( )
A. 9∶7 B. 7∶3 C. 3∶7 D. 7∶9
6. 如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E.在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
第6题 第7题
7. 如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF并延长交AC于点E.若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8. 如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
9. 如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则S△BDE与S△CDE的比是( )
A. 1∶3 B. 1∶4 C. 1∶5 D. 1∶25
第9题 第10题
10. 如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F.已知＝，则的值为( )
A. B. C. D.
11. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为( )
A. (3，2) B. (3，1) C. (2，2) D. (4，2)
第11题 第12题
12. 如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于点H，若＝2，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题
13. 一个四边形的边长分别是3，4，5，6，另一个与它形状相同的四边形最短边长为6，则另一个四边形的周长是 .
14. 已知＝＝≠0，则＝ .
15. 已知线段a＝1cm，b＝2cm，c＝3cm，若第四条线段与它们成比例，则这样的线段有 条.
16. 如图，直线a∥b∥c，点B是线段AC的中点，若DE＝2，则EF＝ .
第16题 第17题
17. 如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AB∶DE＝ .
18. △OAB三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(4，6)，B(3，0)，以O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，得到△OA′B′，则点A的对应点A′的坐标为 .
19. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(2，0)，B(2，1)，C(0，1)，以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的2倍，记所得矩形为OA1B1C1.B的对应点为B1，且B1在OB的延长线上，则B1的坐标为 .
第19题 第20题
20. 如图，已知∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需要添加一个条件，你添加的条件是 .(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)
21. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB.若AB＝8，BD＝3，BF＝4，则FC的长为 .
第21题 第22题
22. 如图，直线y＝3x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B.过B点作直线BP与x轴正半轴交于点P，取线段OA，OB，OP，当其中一条线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，P点的坐标为 .
三、解答题
23. 如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0，－3)，B(3，－2)，C(2，－4).(正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度)
(1)画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；
(2)以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使与△ABC位似，且与△ABC的位似比为2∶1，并直接写出点A2的坐标.
24. 为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，为了使每一部分都铺成如图所示的形状，且由8块地砖组成，问：
(1)每块地砖的长与宽分别为多少？
(2)这样的地砖与所铺成的矩形地面是否相似？试说明你的结论.
25. 如图，在?ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，点M，N分别为垂足.求证：＝.
26. 如图，在四边形ABCD中，E是AD上一点，EC∥AB，EB∥DC.
(1)△ABE与△ECD相似吗？为什么？
(2)若△ABE的面积为3，△ECD的面积为1，求△BCE的面积.
27. 如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC边上，点G是BE边上一点，且∠BAD＝∠BGD＝∠C，连接AG.求证：
(1)BD·BC＝BG·BE；
(2)∠BGA＝∠BAC.
