北师大版数学八年级上册1.1 探索勾股定理教学设计
课题
1.1探索勾股定理
单元
第一单元
学科
数学
年级
八
学习
目标
知识与技能：经历用测量法和数格子的方法探索勾股定理的过程,发展合情推理能力,体会数形结合的思想.
过程与方法：经历“测量—猜想—归纳—验证”等一系列过程,体会数学定理发现的过程.
情感态度与价值观：通过让学生参加探索与创造,获得参加数学活动成功的经验.
重点
勾股定理的探索及应用.
难点
勾股定理的探索过程.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师：让我们看一看下面的几幅图片
图一是希腊为纪念一个重要数学定理而发行的邮票
图二是2002年国际数学家大会会标——弦图
图三：华罗庚教授建议向外太空发射与外星人联系的图案
学生观看图片
通过看图片，激发学生的学习兴趣，为下面的学习做好铺垫。
讲授新课
师：如图所示,从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索,如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m,那么需要多长的钢索?
怎么解决这个问题？
在直角三角形中,任意两条边确定了,第三条边也就随之确定,三边之间存在着一种特定的数量关系。
事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系.让我们一起去探索吧!【做一做】任意画一个直角三角形,分别测量三条边长,把长度标在图形中,
观察表格,有什么发现?
a2+b2=c2
怎样验证直角三角形三边之间的平方关系呢?
【思考】如图，直角三角形三边的平方分别是多少,它们满足上面所猜想的数量关系吗?你是如何计算的?
求直角三角形三边的平方就是求三个正方形的面积。
A的面积是9，B的面积也是9，C的面积是18.
满足上面所猜想的数量关系：
我们看到上面的三角形具有特殊性，是等腰直角三角形，一般三角形能验证吗？观察下面的直角三角形，是否也有这样的关系？你是如何计算的？
A的面积是16，B的面积也是9，C的面积是25.
【思考】如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？
上面猜想的数量关系依然成立。
【思考】通过上面的活动，你发现了什么？
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，因此，我国称上面的结论为勾股定理。
如图所示,从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索,如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m,那么需要多长的钢索?
由题意可得：直角三角形的两直角边分别为8m和6m，根据勾股定理得：62+82=100
答：需要10m的钢索。
【想一想】公式a2+b2=c2有哪些变形公式?
由勾股定理的基本形式a2+b2=c2可以得到一些变形关系式,如a2=c2-b2；b2=c2-a2.
【拓展】
在钝角三角形中,三角形三边长分别为a,b,c,若c为最大边长,则有a2+b2在锐角三角形中,三角形三边长分别为a,b,c,若c为最大边长,则有a2+b2>c2
学生思考回答问题。
学生任意画三角形，教师选取典型的几个三角形进行讲解。
学生回答自己的发现。
观察图中的正方形，猜想是否满足上面所猜想的数量关系。
通过三个正方形面积的关系,得到直角三角形三边的关系.
学生思考、交流,教师请学生口答,并板书,指出这就是这节课要学习的勾股定理.
创设问题情境,造成学生的认知冲突,激发学生的求知欲望.
1．探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力；2．通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望.
探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.
1．让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力；2．通过作图培养学生的动手实践能力
课堂练习
1.直角三角形ABC的两直角边BC=12,AC=16,则ΔABC的斜边AB的长是 ( A )
A.20 B.10 C.9.6 D.8
2.直角三角形两直角边长分别是6和8,则周长与最短边长的比是( B )
A.7∶1 B.4∶1 C.25∶7 D.31∶7
3.如图所示，在ΔABC中，AB=AC，AD是ΔABC的角平分线，若BC=10，AD=12，则AC= 13 .
4. 如图所示，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AB=10，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于12.5π
.
5.如图所示，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD= 2 .
6.（2018?滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解析】∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦的平方为32+42=25，弦长为5．
7.（2018?模拟）如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．64
【解析】∵正方形PQED的面积等于225，∴即PQ2=225，
∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2=289，
又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2=PQ2+QR2，
∴QR2=PR2﹣PQ2=289﹣225=64，则正方形QMNR的面积为64．
学生认真做课堂练习。通过课堂习题练习，进一步理解并掌握新知。
提高练习是为了巩固学生所学的新知，并让学生学会对新知识的正用、逆用、变形用的能力，加强学生的计算能力和解决问题能力的培养，同时实现了优等生有事做，学困生跟着做的隐性分层教学。
课堂小结
这节课你学到了什么？
1.勾股定理的由来.
2.勾股定理的探索方法:测量法和数格子法.
3.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.
学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳。
在教师的引导下，学生自主对本节课的所学内容进行归纳小结，使所学的知识及时的纳入学生的认知结构。
板书
1.概念:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2.表示法:如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.
课件29张PPT。1.1 探索勾股定理北师大版 八年级上新知导入观看下面几幅图片希腊为纪念一个重要数学定理而发行的邮票新知导入观看下面几幅图片2002年国际数学家大会会标——弦图新知导入观看下面几幅图片华罗庚教授建议向外太空发射与外星人联系的图案新知讲解如图所示,从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索,如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m,那么需要多长的钢索?怎么解决这个问题？新知讲解在直角三角形中,任意两条边确定了,第三条边也就随之确定,三边之间存在着一种特定的数量关系。
事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系.让我们一起去探索吧!新知讲解【做一做】任意画一个直角三角形,分别测量三条边长,把长度标在图形中,3cm4cm5cm3cm4cm5cm新知讲解【做一做】任意画一个直角三角形,分别测量三条边长,把长度标在图形中,6cm8cm10cm3cm4cm5cm6cm8cm10cm新知讲解【做一做】任意画一个直角三角形,分别测量三条边长,把长度标在图形中,5cm12cm13cm3cm4cm5cm6cm8cm10cm5cm12cm13cm观察表格,有什么发现?新知讲解【思考】三边长的平方之间有什么关系呢？ca2+b2=c23cm4cm5cm6cm8cm10cm5cm12cm13cm怎样验证直角三角形三边之间的平方关系呢?新知讲解【思考】如图，直角三角形三边的平方分别是多少,它们满足上面所猜想的数量关系吗?你是如何计算的?求直角三角形三边的平方就是求三个正方形的面积。A的面积是9，B的面积也是9，C的面积是18.新知讲解【思考】如图，直角三角形三边的平方分别是多少,它们满足上面所猜想的数量关系吗?你是如何计算的?满足上面所猜想的数量关系：SA+SB=SCa2+b2=c2新知讲解我们看到上面的三角形具有特殊性，是等腰直角三角形，一般三角形能验证吗？观察下面的直角三角形，是否也有这样的关系？你是如何计算的？A的面积是16，B的面积也是9，C的面积是25.SA+SB=SCa2+b2=c2新知讲解【思考】如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？上面猜想的数量关系依然成立。理由：可以用更小的网格纸进行验证，或者用拼接或割补图形的方法验证。新知讲解【思考】通过上面的活动，你发现了什么？直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,
那么a2+b2=c2.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，因此，我国称上面的结论为勾股定理。新知讲解如图所示,从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索,如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m,那么需要多长的钢索?由题意可得：直角三角形的两直角边分别为8m和6m，根据勾股定理得：62+82=100答：需要10m的钢索。新知讲解【想一想】公式a2+b2=c2有哪些变形公式?由勾股定理的基本形式a2+b2=c2可以得到一些变形关系式,如a2=c2-b2；b2=c2-a2.新知讲解在钝角三角形中,三角形三边长分别为a,b,c,若c为最大边长,则有
a2+b2在锐角三角形中,三角形三边长分别为a,b,c,若c为最大边长,则有
a2+b2>c2【拓展】课堂练习1.直角三角形ABC的两直角边BC=12,AC=16,则ΔABC的斜边AB的长是 ( )
A.20 B.10 C.9.6 D.8
A2.直角三角形两直角边长分别是6和8,则周长与最短边长的比是( )
A.7∶1 B.4∶1 C.25∶7 D.31∶7
B课堂练习3.如图所示，在ΔABC中，AB=AC，AD是ΔABC的角平分线，
若BC=10，AD=12，则AC= . 13课堂练习4. 如图所示，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AB=10，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于 .12.5π拓展提高5.如图所示，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD= . 解析:∵在RtΔABC中,AC=3,BC=4,
∴AB=5,∵以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点D,∴AD=AC,∴AD=3,
∴BD=AB-AD=5-3=2.2中考链接6.（2018?滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
A【解析】∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦的平方为32+42=25，弦长为5．
中考链接7.（2018?模拟）如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）A．4 B．8
C．16 D．64【解析】∵正方形PQED的面积等于225，∴即PQ2=225，
∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2=289，
又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2=PQ2+QR2，
∴QR2=PR2﹣PQ2=289﹣225=64，则正方形QMNR的面积为64．D课堂总结1.勾股定理的由来.
2.勾股定理的探索方法:测量法和数格子法.
3.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.这节课你学到了什么？板书设计1.概念:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2.表示法:如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.作业布置课本 P3 练习题
P4 习题1.1谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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